任小康，鄧琳凱

(西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

基于尺度空間的小波紋理描述算法的壁畫修復(fù)*

任小康，鄧琳凱

(西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

近年來(lái)，壁畫的數(shù)字化修復(fù)技術(shù)得到了很大的發(fā)展，但是其主要算法在圖像紋理方向的修復(fù)效果一般。為了解決這些問題，還原壁畫的原有樣貌，提出了一種簡(jiǎn)單快速的壁畫修復(fù)算法。該算法在改進(jìn)的Telea算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)圖像紋理的多尺度特征性，利用小波紋理描述算法對(duì)壁畫的紋理結(jié)構(gòu)進(jìn)行了修復(fù)處理，運(yùn)用非局部梯度算子，通過計(jì)算待修復(fù)區(qū)域的像素點(diǎn)的非局部梯度值并依據(jù)曲率選取的全局最優(yōu)方向進(jìn)行擴(kuò)散，達(dá)到壁畫紋理修復(fù)的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該算法的有效性。

壁畫修復(fù)；Telea算法；尺度空間；小波紋理描述算法；梯度算子

1 引言

敦煌壁畫作為世界文化遺產(chǎn)，有較高的歷史和藝術(shù)價(jià)值。由于地處戈壁荒漠，常年風(fēng)沙侵蝕，敦煌壁畫面臨著各種自然及人為因素的影響，損壞嚴(yán)重,極其嚴(yán)重地影響了其文化價(jià)值及觀賞價(jià)值。通過計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)敦煌壁畫進(jìn)行修復(fù)，虛擬重現(xiàn)敦煌壁畫的風(fēng)貌，是了解敦煌藝術(shù)，對(duì)敦煌藝術(shù)的美學(xué)和歷史進(jìn)行探索，更好地展示敦煌壁畫的宏偉氣勢(shì)，為敦煌藝術(shù)的發(fā)展提供更好的交流平臺(tái)，為敦煌壁畫的保護(hù)與研究開拓新方法的有效途徑。

現(xiàn)有壁畫修復(fù)方法主要有:Bertalmio M等[1,2]提出的基于非線性高階偏微分方程的方法；Chan T等人[3～5]提出的基于曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散CDD (Curvamre Driven Diffusions) 的修復(fù)模型、TV 修復(fù)模型、Euler’s Elastica修復(fù)模型;Esedoglu S等人[6]為圖像修補(bǔ)提出的Mumford-shah-Euler修復(fù)模型等。這些方法實(shí)質(zhì)上都是求解一個(gè)描述信息擴(kuò)散的偏微分方程。求解偏微分方程需要大量的迭代運(yùn)算以致修復(fù)速度很慢,針對(duì)這種情況，Telea A[7]提出了一種FMM(Fast Marching Method)算法，具有較快的修復(fù)速度。該方法通過FMM來(lái)建立近似的邊界距離場(chǎng)，然后沿該方向通過對(duì)已知圖像值的局部加權(quán)平均得到待修補(bǔ)區(qū)域的值。該方法無(wú)需迭代，可以快速實(shí)現(xiàn)圖像修補(bǔ)，效果不錯(cuò)，所以后期大部分的圖像修復(fù)算法[8～10]都是在該算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)。但是，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這些圖像修復(fù)算法都有一個(gè)主要缺點(diǎn)：修補(bǔ)信息只沿著修補(bǔ)區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)方向傳播，因此沒有考慮圖像紋理結(jié)構(gòu)的信息。文獻(xiàn)[9,10]雖然對(duì)紋理結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一定的修復(fù)，但是修復(fù)時(shí)間上有些長(zhǎng)。對(duì)此，本文提出了基于尺度空間[11]的小波紋理描述算法的壁畫修復(fù)算法，它在一般的圖像修復(fù)算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)圖像紋理的多尺度性特征，借助正交小波，對(duì)圖像進(jìn)行小波分解，運(yùn)用非局部梯度算子，計(jì)算待修復(fù)區(qū)域的像素點(diǎn)的非局部梯度值并依據(jù)曲率選取的全局最優(yōu)方向進(jìn)行擴(kuò)散，從而保證在短時(shí)間的情況下使破損區(qū)域的紋理結(jié)構(gòu)得到較好的修復(fù)，使壁畫修復(fù)效果得到很大的提高。

2 Telea算法

設(shè)Ω是圖像中待修復(fù)的區(qū)域，?Ω是待修復(fù)區(qū)域的邊界，p是該邊界上的任意一點(diǎn)，在點(diǎn)p周圍的圖像已知區(qū)域內(nèi)部，選擇一個(gè)以ε為尺度的鄰域B(ε),如圖1所示。那么，p的像素值可以由鄰域B(ε)內(nèi)部的像素值來(lái)近似計(jì)算得到。當(dāng)尺度參數(shù)ε足夠小的時(shí)候，給定點(diǎn)q的像素值I(q)以及q的梯度值I(q)，那么點(diǎn)p的一階估計(jì)：

點(diǎn)p周圍的已知信息越多，其優(yōu)先權(quán)越大。點(diǎn)p的像素值可以由式(1)計(jì)算得到：

(1)

Figure 1 Telea algorithm圖1 Telea算法

加權(quán)函數(shù)W(p,q)向待修復(fù)區(qū)域傳遞圖像邊緣細(xì)節(jié)以及其平滑區(qū)域，它在修復(fù)過程中起到關(guān)鍵作用。在這里首先取以p點(diǎn)為中心、大小為ε的區(qū)域作為其鄰域，然后在該鄰域中計(jì)算該點(diǎn)的梯度，并取前幾個(gè)最大梯度的平均作為該點(diǎn)梯度。然后，沿著等照度線c⊥(p)對(duì)待修復(fù)區(qū)域進(jìn)行圖像信息傳遞，這樣便可以保證等照度線盡可能平滑。其計(jì)算公式為：

(2)

要修復(fù)整個(gè)Ω，需要迭代地把公式(1)應(yīng)用到?Ω上的所有離散點(diǎn)，并不斷增加離初始邊界?Ω的距離，為了保持圖像邊緣處的邊界連續(xù)性，圖像修補(bǔ)應(yīng)當(dāng)使用圖像的等照度線盡量光滑地?cái)U(kuò)散到待修補(bǔ)區(qū)域的內(nèi)部像素中。相對(duì)梯度向量，結(jié)構(gòu)張量對(duì)于提取圖像的局部方向信息更為有效。

(3)

當(dāng)λ1=λ2時(shí)為圖像的平滑區(qū)域，μ值較?。划?dāng)λ1、λ2差異較大時(shí)，μ值較大。這樣，當(dāng)q點(diǎn)位于邊緣信息比較豐富的區(qū)域，并在p點(diǎn)的一致性方向上，就能取得較大的權(quán)重。

最后,將計(jì)算得到的特征向量作為一致性方向向Ω內(nèi)部推進(jìn)其邊界，直到所有的區(qū)域被修復(fù)。但是，由于圖像不能保證當(dāng)前待修復(fù)像素點(diǎn)的周圍有足夠多的已知像素點(diǎn)，所以直接利用Telea算法來(lái)修復(fù)圖像是不穩(wěn)定的，當(dāng)ε取值過大時(shí)會(huì)造成圖像的細(xì)節(jié)呈現(xiàn)不夠細(xì)膩，從而造成失真的情況。由上所述，Telea算法對(duì)于圖像修復(fù)存在一定的缺陷，并不能很好地修復(fù)圖像的紋理特征，對(duì)此提出基于尺度空間的小波紋理描述算法來(lái)對(duì)圖像的紋理信息進(jìn)行修復(fù)處理。

3 紋理修復(fù)

由于圖像紋理往往表現(xiàn)出多尺度特征，而尺度空間理論最早出現(xiàn)在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域，其目的是模擬圖像數(shù)據(jù)的多尺度特征，其中小波變換為多尺度思想提供了一個(gè)清晰的數(shù)學(xué)框架。借助正交小波，對(duì)圖像進(jìn)行小波分解，得到不同分辨率的一系列圖像。多尺度方法應(yīng)用于紋理分割的基本思想就是要在低分辨率下獲得穩(wěn)定的紋理特征，快速可靠地識(shí)別不同紋理區(qū)域；在高分辨率下精確定位，以得到紋理邊緣的真實(shí)位置。因此，本文采用基于尺度空間的小波紋理描述算法來(lái)對(duì)壁畫的紋理結(jié)構(gòu)進(jìn)行修復(fù)。

3.1 圖像的尺度空間生成

首先定義一幅二維圖像的尺度空間為：

其中,G(x,y,σ)是尺度可變高斯函數(shù)：

其中,(x，y)是空間坐標(biāo)，代表圖像的像素位置；符號(hào)*表示卷積,σ是尺度空間因子，值越小表示圖像被平滑的越少，相應(yīng)的尺度也就越小。大尺度對(duì)應(yīng)于圖像的概貌特征，小尺度對(duì)應(yīng)于圖像的細(xì)節(jié)特征。

為了有效地在尺度空間檢測(cè)到穩(wěn)定的關(guān)鍵點(diǎn)，提出了高斯差分尺度空間DOG scale-space(Difference of Gaussi scale-space)。利用不同尺度的高斯差分核與圖像卷積生成:

(4)

選擇高斯差分函數(shù)主要有兩個(gè)原因:(1)其計(jì)算效率高；(2)其可作為尺度歸一化的拉普拉斯高斯函數(shù)σ2▽2G的一種近似。因?yàn)楦咚共罘趾瘮?shù)是歸一化的高斯拉普拉斯函數(shù)的近似，所以可以從高斯差分金字塔分層結(jié)構(gòu)提取出圖像中的極值點(diǎn)作為候選的特征點(diǎn)。對(duì)DOG 尺度空間每個(gè)點(diǎn)與相鄰尺度和相鄰位置的點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行比較，得到的局部極值位置即為特征點(diǎn)所處的位置和對(duì)應(yīng)的尺度。

3.2 小波紋理描述算法

對(duì)于紋理有損失的壁畫圖像，根據(jù)原圖的已知信息添加必要的細(xì)節(jié)。紋理區(qū)域有較強(qiáng)的全局相似性，對(duì)于紋理破損較嚴(yán)重的壁畫圖像，運(yùn)用非局部梯度算子，通過計(jì)算待修復(fù)區(qū)域的像素點(diǎn)的非局部梯度值以及依據(jù)式(3)選取的全局最優(yōu)方向進(jìn)行擴(kuò)散，達(dá)到壁畫紋理修復(fù)的目的。

利用梯度函數(shù)求得各像素點(diǎn)的梯度值：

(5)

其中，F(xiàn)是經(jīng)小波重構(gòu)后的四個(gè)高頻圖層，利用式(5)求出X和Y。X是F在X方向的微分，Y是F在Y方向的微分。

3.3 本文算法描述

本文算法步驟如下：

步驟1用一般的圖像修復(fù)算法(公式(1))對(duì)圖像破損區(qū)域的像素值進(jìn)行計(jì)算，其中權(quán)重函數(shù)為公式(2)；

步驟2生成圖像的尺度空間，并通過公式(4)將圖像的尺度計(jì)算出來(lái)；

步驟3根據(jù)公式(5)計(jì)算出待修復(fù)區(qū)域的像素點(diǎn)的非局部梯度值；

步驟4將步驟1、步驟3中計(jì)算出的待修復(fù)區(qū)域像素點(diǎn)的權(quán)重和梯度值按照公式(3)計(jì)算得到的特征向量作為推進(jìn)方向修復(fù)整個(gè)破損區(qū)域。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

此算法以Matlab 7.8.0作為平臺(tái)，在Windows XP操作系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)所用圖片均為24位bmp真彩色位圖，這里首先列舉了Telea算法和尺度空間下的小波修復(fù)算法對(duì)一些壁畫的修復(fù)實(shí)驗(yàn)效果圖，如圖2所示，圖2a為要修復(fù)的壁畫；圖2b為用Telea算法得到的初步修復(fù)效果。從圖2b中可以看出，一般壁畫修復(fù)算法對(duì)于破損區(qū)域的紋理信息修復(fù)效果不好；而圖2c為尺度空間下的小波紋理描述算法對(duì)圖2b中的壁畫進(jìn)行進(jìn)一步的修復(fù)，從圖2c中可以看出紋理修復(fù)后的壁畫更接近原圖。圖3和圖4的實(shí)驗(yàn)效果圖也說(shuō)明了這點(diǎn)。其次，用表1列舉了文獻(xiàn)[8～10]與尺度空間下的小波修復(fù)算法的時(shí)間比較。通過實(shí)驗(yàn)可以看出，本算法解決了人工修復(fù)、臨摹的不可重復(fù)性和不可回溯等難題，對(duì)于有劃痕及褪色、缺損的壁畫有著較好的修復(fù)功能，使古老的壁畫原貌重現(xiàn)在人們的面前；同時(shí)在修復(fù)時(shí)間上有了很大的改進(jìn)，為今后數(shù)字化快速修復(fù)敦煌壁畫打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

Figure 2 Mural inpainting 1圖2 壁畫修復(fù)1

Figure 3 Mural inpainting 2圖3 壁畫修復(fù)2

Figure 4 Mural inpainting 3圖4 壁畫修復(fù)3

算法迭代次數(shù)修復(fù)時(shí)間/s修復(fù)像素文獻(xiàn)[9]算法560076880文獻(xiàn)[10]算法300257960本文算法1201431214

5 結(jié)束語(yǔ)

通過實(shí)驗(yàn)可以看出，基于尺度空間的小波紋理描述算法的壁畫修復(fù)對(duì)于壁畫的色彩及紋理修復(fù)都有很好的效果，它根據(jù)小波高頻子帶特征反映圖像的紋理特性，分析小波基對(duì)圖像紋理的影響，從而提出了使用小波紋理描述算法對(duì)紋理的修復(fù)，利用小波分解變換，對(duì)低頻、高頻信息進(jìn)行重構(gòu)。為紋理分析提供了一種更加精細(xì)的分析方法，從而為紋理修復(fù)提供了一種依據(jù)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，本算法達(dá)到了較好的修復(fù)效果，在保持原有算法的快速性下，不僅對(duì)于缺損部分的色彩進(jìn)行了修復(fù)，而且對(duì)于其紋理結(jié)構(gòu)信息也進(jìn)行了較好的修復(fù)。

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RENXiao-kang,born in 1963,professor,his research interest includes multimedia technology.

鄧琳凱(1989),女,河南輝縣人，碩士，研究方向?yàn)槎嗝襟w技術(shù)。E-mail:997953605@qq.com

DENGLin-kai,born in 1989,MS,her research interest includes multimedia technology.

Muralsinpaintingofthewavelettexturedescriptionalgorithmbasedonscalespace

REN Xiao-kang,DENG Lin-kai

(College of Computer Science and Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

In recent years,murals digital restoration is greatly developed,but its main algorithms has no obvious effect on the restoration of image texture direction.In order to solve this problem and restore the original appearance of murals, we propose a simple and rapid mural repairing algorithm in which the Telea algorithm is improved. According to the multi-scale feature of image texture,the proposal repairs texture structure of murals by using the wavelet texture description algorithm. To repair the murals’ texture, nonlocal gradient operator is used to calculate the nonlocal gradient value of pixels in unrepaired areas and diffusion is performed according to the global optimal direction. The experimental results demonstrate the effectiveness of the algorithm.

mural inpainting;Telea algorithm;scale space;wavelet texture description algorithm;gradient operator

1007-130X(2014)11-2191-05

2013-04-07;

：2013-07-04

TP391.41

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.11.023

任小康(1963),男,甘肅蘭州人，教授，研究方向?yàn)槎嗝襟w技術(shù)。E-mail:renxk@nwnu.edu.cn

通信地址：730070 甘肅省蘭州市西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院

Address:College of Computer Science and Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,P.R.China