李雅靜, 劉旭華, 賈曉鵬, 焦崗

(1.中國飛行試驗(yàn)研究院 飛機(jī)所, 陜西 西安 710089;2.西安飛豹科技發(fā)展有限公司 設(shè)計(jì)部, 陜西 西安 710089)

0 引言

等效系統(tǒng)在飛機(jī)動態(tài)特性評價(jià)中是很重要的方法,對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)域、頻域轉(zhuǎn)換是進(jìn)行低階等效系統(tǒng)擬配的基礎(chǔ),試飛數(shù)據(jù)頻域響應(yīng)分析的質(zhì)量直接影響擬配效果。

使用快速傅里葉方法進(jìn)行頻域分析時(shí)存在兩方面問題:第一,需要人工選擇窗口寬度[1],且由于單一窗口尺寸不能在整個(gè)頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生滿意的相干性,因此單個(gè)窗口寬度存在局限性;第二,頻域辨識更適用于長時(shí)間數(shù)據(jù)[2],而試飛中使用脈沖、倍脈沖等短時(shí)輸入較多,包含的頻段較窄導(dǎo)致頻域辨識結(jié)果較差,降低了采集數(shù)據(jù)的可用性。

本文針對上述問題提出了頻域響應(yīng)辨識的優(yōu)化方法,即組合窗法和頻域辨識修正法。仿真和真實(shí)飛行數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果說明這兩種方法能較好地解決前述問題。

1 組合窗法

1.1 窗口選擇

首先給出兩個(gè)公式說明窗口寬度與辨識最小頻率和頻率響應(yīng)中的隨機(jī)誤差的關(guān)系。

(1)窗口寬度直接決定傅里葉變換中的最小頻率fmin:

fmin=1/Twin

(1)

式中,Twin為窗口寬度。

(2)頻率響應(yīng)估計(jì)中的隨機(jī)誤差計(jì)算公式:

(2)

式中,Cε為常數(shù),用于反應(yīng)窗口重疊效應(yīng),增加窗口重疊比能減小隨機(jī)誤差,代價(jià)是快速增加計(jì)算量;γxy為相干函數(shù),飛行試驗(yàn)應(yīng)在風(fēng)和湍流擾動最小時(shí)進(jìn)行,以獲得數(shù)據(jù)最大信噪比,使相干函數(shù)最大化;nd=Trec/Twin為用于求平均的獨(dú)立時(shí)間歷程數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。較短的窗口Twin能增加nd,但會損害低頻范圍的辨識精度。式(1)和式(2)表明,大窗口可以增加低頻的數(shù)據(jù)信息、加寬動態(tài)范圍,而小窗口有助于抑制高頻部分的隨機(jī)誤差,所以在不同的頻率點(diǎn)應(yīng)該選擇不同的窗口。

1.2 組合窗法

選擇單一窗口寬度需要進(jìn)行折中處理,即為了提高部分頻率點(diǎn)的頻率響應(yīng)精度,必須在其他頻率點(diǎn)做出犧牲。即使人工找到一個(gè)窗口寬度,也僅對所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)有限頻段具有最優(yōu)性。因此需要一種方法能夠去除重復(fù)的、人工的窗口尺寸優(yōu)化工作,在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)生成一個(gè)單一的、較準(zhǔn)確的頻率響應(yīng)。為此,本文提出了組合窗法。

根據(jù)不同窗口寬度在不同頻段作用,對動作段采用4個(gè)常用窗口寬度32 s,16 s,8 s和4 s進(jìn)行頻域辨識,給出窗口權(quán)值曲線如圖1所示。32 s窗口有效頻段為0.1～5.0 rad/s,16 s窗口有效頻段為1～8 rad/s,8 s窗口有效頻段為3～10 rad/s,4 s窗口有效頻段為5～50 rad/s。

圖1 窗口寬度權(quán)重Fig.1 Window size weighting coefficient

本文以幅值為例對每個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行加權(quán),相位、相干函數(shù)類似,不再陳述。

(3)

式中,GDBC為綜合后的幅值;GDBi為相應(yīng)窗口寬度對應(yīng)的幅值;γi為相應(yīng)窗口寬度對應(yīng)的相干系數(shù);Wi為相應(yīng)窗口寬度對應(yīng)的權(quán)重值。根據(jù)上述加權(quán)方法可得到最終的估計(jì)幅值、相位和相關(guān)函數(shù)。以波音747模型為例進(jìn)行仿真,圖2和圖3為模型的輸入、輸出時(shí)間歷程;根據(jù)數(shù)據(jù)估計(jì)得到不同窗口寬度的頻域響應(yīng)如圖4所示。

圖2 仿真輸入時(shí)間歷程Fig.2 Simulation input time history

圖3 仿真輸出時(shí)間歷程Fig.3 Simulation output time history

圖4 頻域響應(yīng)Fig.4 Frequency response

圖4中r2為相干系數(shù)。由仿真結(jié)果可以看出,使用小窗口計(jì)算得到的頻率響應(yīng)在低頻段相干性較差,使用大窗口計(jì)算得到的結(jié)果在高頻段隨機(jī)誤差較大,而使用組合窗法計(jì)算得到的結(jié)果在整個(gè)頻段都有較好的相干性且較為平滑。辨識結(jié)果與建模傳遞函數(shù)頻響比較如圖5所示?？梢钥闯龆呤纸咏?表明使用組合窗法不需人工選擇窗口寬度,并能得到一個(gè)單一的、在整個(gè)頻率范圍內(nèi)較精確的頻域響應(yīng)。

圖5 真實(shí)頻響與辨識結(jié)果比較Fig.5 Comparison between true frequency response and identification result

2 頻域辨識修正法

頻域辨識方法適合長時(shí)間數(shù)據(jù),時(shí)域辨識方法適用于短時(shí)間數(shù)據(jù)。試飛中脈沖、倍脈沖等短時(shí)間動作較多、數(shù)據(jù)較短,對時(shí)域辨識結(jié)果進(jìn)行頻域分析,既可用于修正頻域辨識結(jié)果,也可用于驗(yàn)證頻域辨識結(jié)果,最終能得到較好的辨識結(jié)果。

2.1 時(shí)域辨識方法

設(shè)飛機(jī)的高階增穩(wěn)系統(tǒng)及其等效系統(tǒng)在相同的輸入u(t)作用下的輸出響應(yīng)分別為yH(t)和yL(t),則兩個(gè)系統(tǒng)近似為輸入、輸出等效的條件。這里yL(t)并不是一般意義上的低階等效系統(tǒng),而是一個(gè)若干階的系統(tǒng)。

代價(jià)函數(shù)[3]為:

(4)

yH(t)可以通過直接測量得到;yL(t)在第k個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)值應(yīng)滿足如下差分方程:

A(q-1)yL(k)=B(q-1)u(k)+e(k)

(5)

其中:

A(q-1)=1+a1q-1+…+anq-n

(6)

B(q-1)=b1q-1+…+bnq-n+1

(7)

式中,e(k)為方程殘差,由剩余高階特性、隨機(jī)風(fēng)干擾及測量噪聲等引起。

MATLAB自帶的系統(tǒng)辨識工具箱[4]使得辨識方法十分簡便,上述時(shí)域辨識方法只是其中的一種ARX,還包括PEM,BJ,OE,ARMAX等。時(shí)域法辨識采用多個(gè)模型結(jié)構(gòu)和不同的辨識算法。使用不同辨識函數(shù)進(jìn)行辨識后,比較辨識系統(tǒng)輸出與真實(shí)系統(tǒng)輸出的相似度并選出最優(yōu)辨識結(jié)果,即選擇相似度最大的一組進(jìn)行頻域響應(yīng)計(jì)算,得到時(shí)域辨識系統(tǒng)的頻響。

2.2 時(shí)域辨識對頻域辨識修正法

使用時(shí)域方法得到的頻響修正直接頻域辨識結(jié)果。修正方法為:分別對數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)域辨識和頻域辨識,時(shí)域辨識得到狀態(tài)空間方程或傳遞函數(shù),再對該傳遞函數(shù)進(jìn)行頻域分析,得到系統(tǒng)頻域響應(yīng);頻域辨識直接使用快速傅里葉變換進(jìn)行頻域分析;將兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行比較并加權(quán)得到最終的頻響。

首先使用桿輸入激勵由系統(tǒng)辨識工具箱得到的時(shí)域模型,若輸出與飛機(jī)真實(shí)輸出相似度大于85%,則說明該模型可以代替飛機(jī)真實(shí)模型;若相似度小于85%則不修正。修正量計(jì)算式為:

(8)

(9)

Wf(i)=1-Wt(i)

(10)

修正公式為:

G(i)=Wt(i)Gt(i)+Wf(i)Gf(i)

(11)

P(i)=Wt(i)Pt(i)+Wf(i)Pf(i)

(12)

式中,r2(i)為頻域辨識的相干系數(shù);fitmax為時(shí)域辨識的相似度;Wt(i),Wf(i)分別為時(shí)域辨識頻響與頻域辨識頻響所占比例;Gt(i),Gf(i)分別為各頻率點(diǎn)時(shí)域辨識與頻域辨識幅值響應(yīng);Pt(i),Pf(i)分別為各頻率點(diǎn)時(shí)域辨識與頻域辨識相位響應(yīng)。由式(9)可見，加權(quán)系數(shù)由頻域辨識的相干系數(shù)和時(shí)域辨識的相似度組成,哪個(gè)大,則響應(yīng)辨識方法的結(jié)果所占權(quán)重大。

一般情況下,使用相干函數(shù)的大小評價(jià)頻域計(jì)算結(jié)果,圖6為某機(jī)俯仰角速度頻域辨識結(jié)果。直接辨識結(jié)果的低頻段相干函數(shù)小,擬配時(shí)一般適當(dāng)縮小擬配頻率范圍,縮小到0.7～10.0 rad/s[5]。圖7所示的擬配結(jié)果并不好,因?yàn)樵摍C(jī)的頻率范圍較低,從0.7 rad/s開始擬配頻率范圍較窄,導(dǎo)致擬配結(jié)果差。

圖6 俯仰角速度頻域辨識結(jié)果Fig.6 Frequency domain identification results of rate of pitch

圖7 時(shí)域修正前俯仰角速度擬配結(jié)果Fig.7 Matching results of rate of pitch before time domain

在低頻段辨識結(jié)果差、縮小擬配范圍也無效的情況下,使用時(shí)域結(jié)果或綜合結(jié)果可以得到較好的擬配結(jié)果,如圖8所示。大量試飛數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果表明,時(shí)域辨識對頻域辨識的修正方法大大提高了試飛數(shù)據(jù)的利用率。此外時(shí)域結(jié)果可以對頻域結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,如圖9所示。在計(jì)算過程中,如果時(shí)域估計(jì)模型的頻響與直接計(jì)算得到的頻響較接近,一般情況下可以得到很好的擬配結(jié)果。

圖8 時(shí)域修正后俯仰角速度擬配結(jié)果Fig.8 Matching results of rate of pitch after time domain

圖9 俯仰角速度頻響Fig.9 Frequency response identification result of rate of pitch

3 結(jié)束語

本文從實(shí)際出發(fā),提出了組合窗法、時(shí)域辨識對頻域辨識修正的方法,很好地解決了頻域響應(yīng)辨識過程中存在的問題,通過實(shí)例驗(yàn)證了方法的有效性。將本文方法應(yīng)用于實(shí)際飛機(jī)動態(tài)特性指標(biāo)計(jì)算,得到了很好的效果,使辨識結(jié)果更準(zhǔn)確、擬配結(jié)果更合理,而且大大提高了試飛數(shù)據(jù)的利用率。

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