謝啟鴻

(復旦大學 數(shù)學科學學院，上海 200433)

首先, 我們列舉多項式理論中的兩個基本結果.

引理1設f(x)是域上的n(n≥1)次多項式, 則f(x)在中至多只有n個根.

引理2設f(x)與g(x)是域上次數(shù)不超過n的兩個多項式, 如果存在中n+1個不同的數(shù)b1,…,bn+1使得f(bi)=g(bi), 1≤i≤n+1, 則f(x)=g(x).

引理1和引理2的證明如果是數(shù)域, 引理1和引理2分別是教材[1]的命題5.5.1和推論5.5.1. 如果是一般的域, 則上的一元多項式環(huán)[x]是歐氏整區(qū), 從而是唯一分解整區(qū) (可參考教材[2]的第3.7節(jié)). 利用多項式f(x)的不可約因式分解即可證明引理1, 而引理2則是引理1的簡單推論.

攝動法是矩陣理論中的常用方法, 它利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)將一般矩陣問題的討論轉(zhuǎn)化為對非異陣的討論. 我們將攝動法的原理描述如下. 設A是數(shù)域上的n階方陣, 則行列式|tIn+A|是關于未定元t的n次首一多項式. 由引理1知, |tIn+A|在中至多只有n個根. 因為任一數(shù)域都包含有理數(shù)域, 所以可以在中取到一列有理數(shù)tk→0, 使得tkIn+A都是非異陣. 如果一個矩陣問題對非異陣成立, 特別地對tkIn+A成立, 并且關于tk連續(xù), 則最后可讓tk→0, 得到該問題對一般的方陣A也成立.

注 攝動法處理的矩陣問題一定要關于tk連續(xù), 這一點十分重要, 否則將不能用攝動法來歸結處理. 一般來說, 運用攝動法的步驟分為兩步, 即先處理非異陣的情形, 然后再利用攝動以及取極限得到一般情形的證明.

下面我們先舉一個簡單的例子來說明攝動法的應用.

例1設為數(shù)域,A,B∈Mn(), 證明(AB)*=B*A*, 其中A*為A的伴隨陣.

證若A,B均為非異陣, 則A*=|A|A-1,B*=|B|B-1, 從而

(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|(B-1A-1)=(|B|B-1)(|A|A-1)=B*A*.

對于一般的方陣A,B, 可在中取到一列有理數(shù)tk→0, 使得tkIn+A與tkIn+B均為非異陣. 由非異陣情形的證明知

((tkIn+A)(tkIn+B))*=(tkIn+B)*(tkIn+A)*.

(1)

注意到(1)式兩邊均為n階方陣, 其元素都是tk的多項式, 從而關于tk連續(xù). 令tk→0, 兩邊同時取極限, 即有(AB)*=B*A*成立.

我們將這一原理描述如下. 設A是域上的n階方陣, 則行列式|tkIn+A|是關于未定元t的n次首一多項式. 設|tIn+A|在域中的根的全體為集合R, 則由引理1知#R≤n, 其中#表示集合的元素個數(shù). 如果一個矩陣問題對非異陣成立, 則對任意的tIn+A都成立, 其中t∈R. 從而可以得到一個類似于(1)的等式, 兩邊的元素都由關于t的多項式組成.設這些多項式次數(shù)的最大值為N. 如果域滿足#>n+N, 則#(R)>N, 從而由引理2可得: 等式 (1) 其實是關于t的多項式的恒等式. 特別地, 取t=0, 則可以得到該問題對一般的方陣A也成立.

引理3設是特征等于素數(shù)p的有限域, #=pm, 則對任意的正整數(shù)r, 存在的有限擴張, 使得[:]=r, 此時#=(#)r=pmr.

證這由教材[2]第4.8節(jié)的定理8-1和推論8-2即得.

我們將給出四個例子說明上述原理. 首先, 將例1推廣到一般的域上.

例2設A,B∈Mn(), 證明(AB)*=B*A*, 其中A*為A的伴隨陣.

證注意到(AB)*,B*A*都是上的n階方陣. 如果?為擴域且把A,B看成是上的n階方陣, 則(AB)*=B*A*在上成立當且僅當(AB)*=B*A*在上成立. 因此由引理3, 不妨設的元素個數(shù)充分多, 即大于任一事先給定的正整數(shù). 設RA={t∈||tIn+A|=0},RB={t∈||tIn+B|=0}, 則由引理1知#RA≤n, #RB≤n.

若A,B均為非異陣, 則同例1的證明可得(AB)*=B*A*. 對于一般的方陣A,B, 任取t∈(RA∪RB), 則tIn+A,tIn+B均為非異陣. 由已證的情形知

((tIn+A)(tIn+B))*=(tIn+B)*(tIn+A)*

(2)

對任意的t∈(RA∪RB)都成立. 注意到上式兩邊都是n階方陣, 其元素分別設為fij(t),gij(t), 其中fij(t),gij(t)都是關于t的多項式且次數(shù)都小于等于2n-2. 由(2)式可得

fij(t)=gij(t), ?t∈(RA∪RB), ?1≤i,j≤n.

事實上, 攝動法和上述原理不僅可以將一般矩陣問題的討論轉(zhuǎn)化為對非異陣的討論, 更廣泛地, 還可以轉(zhuǎn)化為對滿足某種開性條件的矩陣的討論. 例如, 方陣A為非異陣當且僅當|A|≠0, 因此非異性是一個開性條件. 又例如, 設方陣A的特征多項式為f(λ), 則A的全體特征值互不相同當且僅當f(λ)與其形式導數(shù)f′(λ)互素 (教材[1]的定理5.4.3), 這也等價于結式R(f(λ),f′(λ))≠0 (教材[1]的推論5.10.1), 因此全體特征值的互異性也是一個開性條件. 下面我們將利用上述原理證明一般的域上的Cayley-Hamilton定理.

例3設A∈Mn(),f(λ)=|λIn-A|為A的特征多項式, 證明f(A)=O.

證因為結論只在中, 與擴域無關, 故不妨設的元素個數(shù)充分多并且包含特征多項式f(λ)的分裂域. 設λ1,…,λn∈為A的全體特征值, 則f(λ)=(λ-λ1)…(λ-λn). 先設λ1,…,λn互不相同, 則存在非異陣P∈Mn()使得P-1AP=Λ=diag{λ1,…,λn}. 于是

P-1f(A)P=f(Λ)=(Λ-λ1In)…(Λ-λnIn)=O, 故f(A)=O.

為上三角陣. 令

則對任意的t∈R,At均有n個互不相同的特征值. 由已證的情形知

(At-(λ1+tμ1)In)…(At-(λn+tμn)In)=O

(3)

對任意的t∈R成立. 注意到 (3) 式左邊是一個n階方陣, 其元素均為t的多項式且次數(shù)小于等于n. 由于的元素個數(shù)充分多, 故可設#(R)>n, 由引理2知(3)式左邊n階方陣的每個元素都是零多項式, 即(3)式是恒等式. 特別地, 取t=0可得

f(A)=(A-λ1In)…(A-λnIn)=O.

例4設A∈Mn(), 證明: 存在g(x)∈[x]使得A*=g(A).

證設特征多項式f(λ)=|λIn-A|=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an, 其中ai∈且an=(-1)n|A|. 由Cayley-Hamilton定理 (例3) 可得

An+a1An-1+…+an-1A+anIn=O.

A*=(-1)n-1(An-1+a1An-2+…+an-1In).

(4)

令g(x)=(-1)n-1(xn-1+a1xn-2+…+an-1)∈[x], 則A*=g(A)并且g(x)只由A的特征多項式中的n個系數(shù)所決定.

設A∈Mn()為一般的方陣, 我們?nèi)砸C明 (4) 式成立. 注意到g(x)只與A的特征多項式有關, 與的擴域無關, 故不妨設的元素個數(shù)充分多. 設R={t∈||tIn+A|=0}, 則對任意的t∈R,tIn+A都是非異陣. 設tIn+A的特征多項式為

ft(λ)=|λIn-(tIn+A)|=λn+a1(t)λn-1+…+an-1(t)λ+an(t),

其中ai(t)∈[t]且ai(0)=ai(A的特征多項式的系數(shù)). 由已證的情形知

(tIn+A)*=(-1)n-1((tIn+A)n-1+a1(t)(tIn+A)n-2+…+an-1(t)In)

(5)

對任意的t∈R成立. 注意到(5)式兩邊都是n階方陣, 其元素均為關于t的多項式且次數(shù)小于等于n-1. 由于的元素個數(shù)充分多, 故可設#(R)>n-1, 由引理2知(5)式兩邊作為多項式矩陣必恒等. 特別地, 取t=0可得 (4) 式對一般的方陣A都成立.

例5設A,B∈Mn()且AB=BA, 證明

證因為結論只在中, 與擴域無關，故不妨設的元素個數(shù)充分多. 若A為非異陣,則由降階公式以及A,B的交換性可得

設A為一般的方陣,R={t∈||tIn+A|=0}, 則對任意的t∈R,tIn+A均為非異陣且與B可交換. 由已證的情形知

(6)

對任意的t∈R成立. 注意到(6)式兩邊都是關于t的多項式且次數(shù)等于2n. 由于的元素個數(shù)充分多, 故可設#(R)>2n, 由引理2知(6)式兩邊的多項式必恒等. 特別地, 取t=0可得結論對一般的方陣A都成立.

在復旦大學數(shù)學科學學院本科生代數(shù)課程的教學過程中, 當學生學完近世代數(shù)回過頭來看高等代數(shù)時, 我們經(jīng)常鼓勵他們思考這樣一個問題: 能否將高等代數(shù)中數(shù)域上的相關概念、定理和理論等推廣到一般的域上, 或者進一步推廣到一般的環(huán)和模上呢? 通過多年的教學實踐, 我們發(fā)現(xiàn)讓學生思考這個問題對他們代數(shù)能力的提高起到了很大的促進作用.

事實上, 本文列舉的四個例題 (例2-例5) 在一般的帶有單位元的交換環(huán)上都成立, 它們的證明需要用到多元多項式的相關技巧, 由于篇幅關系, 不再贅述. 而本文所闡述的利用多項式的技巧替代攝動法的原理, 則從某種程度上說應該是思考上述問題時得到的一些成果, 希望能對大學數(shù)學系本科生學習高等代數(shù)和近世代數(shù)提供一些引導和幫助.

致謝在本文的撰寫過程中, 得到了復旦大學數(shù)學科學學院姚慕生教授、吳泉水教授、朱勝林教授的熱心指導和大力斧正, 在此謹表示衷心的感謝.

[參 考 文 獻]

[1] 姚慕生, 吳泉水. 高等代數(shù)學[M]. 2版. 上海: 復旦大學出版社, 2008.

[2] 姚慕生. 抽象代數(shù)學[M]. 2版. 上海: 復旦大學出版社, 1998.