李雨生， 郭鏡明

(同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200092)

同濟大學(xué)在一些工科專業(yè)開設(shè)了《數(shù)學(xué)分析》課程,但同學(xué)們學(xué)習(xí)上有較大的困難,甚至發(fā)生中途退回到普通高等數(shù)學(xué)班級的情況.為改變這一現(xiàn)象，作者在教學(xué)中作了一些改革嘗試，其中之一是加強課程前后內(nèi)容的整體性處理，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)分析的一般性規(guī)律，減少了困難. 此后有不少同學(xué)感到學(xué)習(xí)的樂趣,并轉(zhuǎn)到了數(shù)學(xué)專業(yè), 改變了以前基本上是從數(shù)學(xué)專業(yè)轉(zhuǎn)向其它熱門專業(yè)的單向流動情形.

1 注重系統(tǒng)歸納，總結(jié)基本問題的一般規(guī)律

微積分中，有一些基本問題.但是，同一問題的內(nèi)容往往分散在不同的章節(jié)中.不少同學(xué)難以系統(tǒng)總結(jié),覺得課程是知識碎片的堆積，不能前后貫通, 我們在教學(xué)中注意把同一基本問題的分散內(nèi)容系統(tǒng)化.比如，求切線和切面是就是這樣的一個基本問題.曲線和曲面的表達式形式很多, 我們在多元微分后引入如下的一般概括：

原理1對于一個n個變量u,…,x,y,z的方程F(u,…,x,y,z)=0所表示的n維空間的曲面S, 先求方程兩端在點P0(u0,…,x0,y0,z0)處的微分，得dF|P0=0.再令

du=u-u0, …, dx=x-x0, dy=y-y0， dz=z-z0,

所得方程就是S在P0的切面的方程.

推論設(shè)L是由一個方程組表示的曲線，則由各個方程按原理1所得到的切面的交線就是切線.當(dāng)S是由含參數(shù)的方程組所表示的曲面，則由各個方程兩端微分后,再消去參數(shù)的微分，所得到的方程就是S的切面方程.

解先求方程組在P0的微分, 再消去du，得

(FxGu-GxFu)dx+(FyGu-GyFu)dy+(FzGu-GzFu)dz=0.

記A=(FxGu-GxFu)|Q0，B=(FyGu-GyFu)|Q0，C=(FzGu-GzFu)|Q0, 且把dx,dy,dz分別寫成x-x0,y-y0,z-z0, 得到所求的切面方程

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

2 注重理解概念本質(zhì), 突出概念在計算中的運用

我們在教學(xué)中有概念“計算化”的傾向，就是把大量注意力轉(zhuǎn)移到計算題上來，而忽視了對概念本質(zhì)理解. 為避免這種情況，我們努力加強概念與計算之間的內(nèi)在聯(lián)系, 比如有一些重積分的計算，如果從積分本身出發(fā)(而不是套公式), 卻常?？梢院喕? 下面給出積分Poisson公式的一個證明, 遠比常規(guī)的證明簡單.

例2(Poisson公式) 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，a,b,c為常數(shù)，Σ:x2+y2+z2=1，證明

3 注重連續(xù)與離散的聯(lián)系，通過兩者轉(zhuǎn)化來化解難點

大學(xué)新生的學(xué)習(xí)有從靜態(tài)邏輯到動態(tài)邏輯的轉(zhuǎn)換的難點，這在極限問題中尤其明顯. 我們通過連續(xù)變量離散化或離散變量連續(xù)化，加深學(xué)生對極限本質(zhì)的認識，有效地化解難點. 比如數(shù)列極限的Stolz定理是一個有力的工具,但難以記住其成立的條件. 由于同學(xué)們對洛必達法則得心應(yīng)手, 因此把Stolz定理作為洛必達法則的離散形式, 效果較好.

故所討論的參變量廣義積分在x∈[0,b]上一致收斂. 當(dāng)取xn=An=n,則

{xn}?[0,+∞),An→+∞.