林 超，李莎莎，龔 海

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

面齒輪傳動(dòng)是一種圓錐齒輪與圓柱齒輪相互嚙合的齒輪傳動(dòng)[1]，圓錐齒輪(面齒輪)采用直齒漸開線齒輪刀具經(jīng)范成加工而成.常見的面齒輪按傳動(dòng)位置關(guān)系可分為正交、非正交、偏置正交和偏置非正交4種情形[2-5].按照齒形分為直齒面齒輪、斜齒面齒輪和弧齒面齒輪[6-11].目前，相交軸間的變傳動(dòng)比傳動(dòng)主要是利用非圓錐齒輪副來實(shí)現(xiàn)的[12]，然而非圓錐齒輪副的設(shè)計(jì)與加工相當(dāng)困難，正交變傳動(dòng)比面齒輪副是在深入研究非圓錐齒輪副的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，由一個(gè)非圓柱齒輪和特殊非圓錐齒輪(變傳動(dòng)比面齒輪)組成.與非圓錐齒輪副相比，正交變傳動(dòng)比面齒輪副的最大特點(diǎn)是設(shè)計(jì)與加工更簡(jiǎn)單，可以利用現(xiàn)有的機(jī)床和刀具對(duì)其進(jìn)行加工，易實(shí)現(xiàn)批量生產(chǎn).正交變傳動(dòng)比面齒輪在紡織機(jī)械、農(nóng)用機(jī)械、工程機(jī)械、汽車等場(chǎng)合有著廣闊的應(yīng)用前景，所以對(duì)正交變傳動(dòng)比面齒輪的研究有很重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值[13].

正交變傳動(dòng)比面齒輪目前還無法通過三維軟件對(duì)其進(jìn)行直接造型，而齒輪的三維模型是進(jìn)行有限元分析、機(jī)構(gòu)仿真、數(shù)控加工等不可缺少的，為此，從正交變傳動(dòng)比面齒輪設(shè)計(jì)基本原理和插齒加工原理出發(fā)，利用VB和Solidworks的二次開發(fā)工具，開發(fā)一套該面齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真加工系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)快速設(shè)計(jì)，大大減少重復(fù)設(shè)計(jì)量，縮短設(shè)計(jì)周期、提高設(shè)計(jì)效率.正交變傳動(dòng)比面齒輪仿真加工系統(tǒng)可在計(jì)算機(jī)上模擬加工過程，得到該面齒輪三維模型并真實(shí)、直觀地展現(xiàn)其展成原理、復(fù)雜加工過程和效果，為進(jìn)一步的分析及制造研究奠定基礎(chǔ).

1 幾何設(shè)計(jì)

1.1 節(jié)曲線設(shè)計(jì)

本文討論的非圓柱齒輪節(jié)曲線為橢圓曲線(包括低階橢圓和高階橢圓)，其節(jié)曲線方程為[14]：

(1)

式中:a為橢圓的長(zhǎng)軸半徑；k1為橢圓的偏心率，n1為橢圓的階數(shù).

建立正交變傳動(dòng)比面齒輪副的坐標(biāo)系如圖1所示：坐標(biāo)系s1(x1,y1,z1)和s2(x2,y2,z2)為動(dòng)坐標(biāo)系分別與非圓柱齒輪和正交變傳動(dòng)比面齒輪剛性固接.坐標(biāo)系s10(x10,y10,z10)和s20(x20,y20,z20)為定坐標(biāo)系，與切齒機(jī)床的機(jī)座剛性固接.初始時(shí)，坐標(biāo)系s1和s10，s2和s20重合.R為正交變傳動(dòng)比面齒輪節(jié)曲線所在圓柱齒輪的半徑，θ1，θ2分別為非圓齒輪、正交變傳動(dòng)比面齒輪轉(zhuǎn)角.

圖1 正交變傳動(dòng)比面齒輪副設(shè)計(jì)坐標(biāo)系

根據(jù)空間嚙合原理及空間坐標(biāo)變換關(guān)系得到由s1(x1,y1,z1)轉(zhuǎn)換到s2(x2,y2,z2)轉(zhuǎn)換矩陣為：

(2)

根據(jù)齒輪嚙合原理的推導(dǎo)，正交變傳動(dòng)比面齒輪的節(jié)曲線在坐標(biāo)系s2(x2,y2,z2)用下列矩陣方程表示：

(3)

定義n2為正交變傳動(dòng)比面齒輪的階數(shù)，表示該面齒輪節(jié)曲線在0～2π范圍內(nèi)變化的周期個(gè)數(shù).根據(jù)節(jié)曲線封閉的條件有：

(4)

式中：i12為正交變傳動(dòng)比面齒輪副傳動(dòng)比.

根據(jù)式(1)(4)算得R,帶入式(2)得到正交變傳動(dòng)比面齒輪節(jié)曲線參數(shù)方程為：

(5)

由式(3)可以看出，正交變傳動(dòng)比面齒輪節(jié)曲線的x，y坐標(biāo)表示的是一個(gè)半徑為定值R的圓，而z坐標(biāo)則是隨著θ1變化的，所以正交變傳動(dòng)比面齒輪的節(jié)曲線是圓柱面上的空間曲線.

1.2 齒頂齒根曲線設(shè)計(jì)

正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒頂高和齒根高沿其節(jié)曲線法線方向計(jì)算，其齒頂曲線與齒根曲線是節(jié)曲線的等距曲線，它們與節(jié)曲線之間的法向距離分別是齒頂高h(yuǎn)a和齒根高h(yuǎn)f.由于直接基于圓柱面求齒頂曲線和齒根曲線的表達(dá)式比較困難，將正交變傳動(dòng)比面齒輪節(jié)曲線展開為平面曲線，推導(dǎo)出其齒頂、齒根曲線方程.參照非圓齒輪的齒頂齒根計(jì)算方法，得到正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒頂曲線直角坐標(biāo)表達(dá)式：

(6)

齒根曲線直角坐標(biāo)表達(dá)式：

(7)

式中：

1.3 齒面方程

如圖2所示，刀具漸開線齒面方程為：

(8)

式中：τ=θos+θs，rbs為刀具基圓半徑，θs為刀具漸開線上一點(diǎn)的角度參數(shù)，μs為刀具漸開線上一點(diǎn)的軸向(沿zs方向)參數(shù)，θos確定刀具在基圓上的齒槽寬，并且對(duì)標(biāo)準(zhǔn)漸開線刀具用式(9)方程表示：

(9)

式中：Zs為刀具齒數(shù)；α0為壓力角.

根據(jù)空間坐標(biāo)變換關(guān)系得刀具坐標(biāo)系osxsyszs到正交變傳動(dòng)比面齒輪動(dòng)坐標(biāo)系s2(x2,y2,z2)的轉(zhuǎn)換矩陣[15]為：

(10)

式中：γ=ψ+θ1；

A=Dsinβ2sinθ2-Rcosθ2；

B=-Dsinβ2cosθ2-Rsinθ2；

C=r(π)-Dcosβ2．

ψ由公式(17)給出，D,β2在圖4中標(biāo)出．

圖2 刀具漸開線齒廓

正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面Σ2是由刀具齒面Σs包絡(luò)而成，Σ2可表示為：

(11)

1.4 齒寬設(shè)計(jì)

1.4.1 正交變傳動(dòng)比面齒輪不根切的最小內(nèi)半徑

正交變傳動(dòng)比面齒輪與一般的定傳動(dòng)比面齒輪傳動(dòng)一樣，也存在根切現(xiàn)象.由于根切的存在，正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒寬會(huì)受到限制，因此對(duì)其根切現(xiàn)象的研究是十分必要的，根據(jù)齒輪傳動(dòng)無根切的通用條件[16]，可以得到加工刀具根切界限線的方程組：

(12)

(13)

式中：ras為刀具齒頂圓半徑.

(14)

1.4.2 正交變傳動(dòng)比面齒輪不變尖的最大外半徑

正交變傳動(dòng)比面齒輪齒頂變尖的幾何特征是輪齒兩側(cè)齒面相交其齒頂厚等于零.圖3是正交變傳動(dòng)比面齒輪y2o2z2平面的軸截面示意圖，R1和R2分別表示其最小內(nèi)半徑和最大外半徑.因?yàn)閥2o2z2平面是正交變傳動(dòng)比面齒輪輪齒兩側(cè)齒廓的對(duì)稱平面，所以正交變傳動(dòng)比面齒輪齒頂變尖處應(yīng)在y2o2z2平面上，參考圖3，則變尖出的坐標(biāo)為：

x2=0,y2=-R2,z2=-rsm．

(15)

正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒面方程是關(guān)于θs和θ1兩個(gè)未知數(shù)的方程.由其齒面方程(11)和式(15)的第一和第三式可解出θs和θ1，從而得到正交變傳動(dòng)比面齒輪不變尖的最大外半徑R2.

求得了正交變傳動(dòng)比面齒輪不根切的最小內(nèi)半徑和不變尖的最大外半徑，正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒寬可表示為：

B=R2-R1．

(16)

圖3 最大外半徑

2 三維造型

正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面是很復(fù)雜的曲面，參考一般定傳動(dòng)比面齒輪的建模方法，基于現(xiàn)有的三維軟件，主要的建模方法有NURBS自由曲面重構(gòu)和虛擬加工方法.前者是根據(jù)面齒輪齒面方程運(yùn)用數(shù)值方法求解齒面離散點(diǎn)，再在三維軟件中進(jìn)行曲面重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)面齒輪的幾何建模.后者是基于布爾運(yùn)算原理，模擬刀具和面齒輪毛坯的范成運(yùn)動(dòng)，在三維軟件中直接實(shí)現(xiàn)面齒輪的幾何建模.由于正交變傳動(dòng)比面齒輪數(shù)值求解過程抽象而繁瑣，因此，本文選用虛擬加工方法在Solidworks軟件中實(shí)現(xiàn)正交變傳動(dòng)比面齒輪的三維造型.

2.1 虛擬加工原理

正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面是通過漸開線齒輪刀具與該面齒輪毛坯做范成運(yùn)動(dòng)形成的，運(yùn)動(dòng)過程中假想刀具與非圓齒輪內(nèi)嚙合.由于在Solidworks中無法實(shí)現(xiàn)實(shí)體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)并且進(jìn)行相關(guān)布爾運(yùn)算，因此，可以靠每次微小角度的轉(zhuǎn)動(dòng)來模擬刀具和正交變傳動(dòng)比面齒輪毛坯的范成運(yùn)動(dòng).切削該面齒輪的過程，實(shí)際上就是正交變傳動(dòng)比面齒輪毛坯與刀具作布爾減運(yùn)算的過程.根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，可以假設(shè)其毛坯固定，刀具的節(jié)曲線在毛坯節(jié)曲線上作純滾動(dòng)，只要確定每一瞬時(shí)刀具的空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系，再完成布爾減運(yùn)算就能得到正交變傳動(dòng)比面齒輪的三維模型.由于在布爾減運(yùn)算結(jié)果僅余被減物體，因此每次布爾減運(yùn)算后，都應(yīng)該對(duì)刀具進(jìn)行復(fù)制，實(shí)際上每次正交變傳動(dòng)比面齒輪毛坯與刀具的布爾減運(yùn)算，減去的是刀具的副本，刀具本身沒有變化.仿真模型的精度是由每次刀具齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的步進(jìn)角控制的，步進(jìn)角越小，精度越高.

根據(jù)嚙合原理和空間幾何關(guān)系，加工刀具空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖4所示.φ1，φ2分別為非圓齒輪、正交變傳動(dòng)比面齒輪轉(zhuǎn)角，r3為刀具節(jié)圓半徑.

圖4 刀具空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖

刀具繞自身軸線旋轉(zhuǎn)角度：

(17)

由微分幾何可得：

(18)

由刀具發(fā)生純滾動(dòng)的弧長(zhǎng)與非圓齒輪φ1角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)相等可得：

(19)

根據(jù)余弦定理：

(20)

(21)

x=Dcos (φ1-β2)．

(22)

y=Dsin (φ1-β2)．

(23)

由傳動(dòng)比關(guān)系得，刀具繞面齒輪軸線旋轉(zhuǎn)角：

(24)

正交變傳動(dòng)比面齒輪參數(shù)化仿真加工模塊的程序流程圖如圖5所示．

2.2 軟件設(shè)計(jì)

根據(jù)以上設(shè)計(jì)過程及仿真加工原理，基于visual basic語言與Solidworks開發(fā)平臺(tái)，并結(jié)合matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，設(shè)計(jì)出正交變傳動(dòng)比面齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真加工軟件，其界面如圖6所示．

參數(shù)化設(shè)計(jì)計(jì)算完成后，在仿真加工模塊輸入加工精度，加工起始角度和加工終止角度，依次點(diǎn)擊生成刀具、生成毛坯、仿真加工按鈕，程序會(huì)自動(dòng)調(diào)用Solidwork軟件，開始虛擬加工.

2.3 仿真加工實(shí)例

分別取n1= [2，3]，n2=[8,12]，k=0.1，z1=[26，27]，m=3，由正交變傳動(dòng)比面齒輪仿真加工程序得到三維實(shí)體后，利用三維軟件自帶的合并曲面功能，將仿真加工時(shí)產(chǎn)生的小曲面合并，分別得到的8階和12階正交變傳動(dòng)比面齒輪模型如圖7所示.

圖5 程序流程圖

圖6 軟件界面

圖7 虛擬加工模型圖

3 實(shí)體加工及實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)體加工

分別用三軸數(shù)控銑削加工和數(shù)控電火花線切割加工方法加工出八階正交變傳動(dòng)比面齒輪和二階非圓齒輪實(shí)體.仿真加工模型與實(shí)體如圖8所示.由圖8(c)可見，仿真加工模型與實(shí)體一致，表明該正交變傳動(dòng)比面齒輪副的參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真系統(tǒng)的正確性.

圖8 實(shí)體加工

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

正交變傳動(dòng)比面齒輪副的試驗(yàn)臺(tái)由變頻直流電動(dòng)機(jī)、轉(zhuǎn)速扭矩測(cè)量?jī)x、正交變傳動(dòng)比面齒輪副傳動(dòng)箱、試驗(yàn)臺(tái)架、變速箱綜合測(cè)試系統(tǒng)等儀器及設(shè)備組成.傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)如圖9所示.

圖9 試驗(yàn)臺(tái)布置

如圖10所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)定的實(shí)際傳動(dòng)比曲線和理論傳動(dòng)比曲線在有些部位表現(xiàn)出差異，導(dǎo)致這種差異的原因是齒輪副加工過程存在加工誤差，齒輪的安裝過程存在安裝誤差，同時(shí)，傳感器采集數(shù)據(jù)本身及后期的數(shù)據(jù)處理過程也有一定的誤差.但是，其變化規(guī)律基本相同，變化趨勢(shì)基本一致，表明正交變傳動(dòng)比面齒輪副的設(shè)計(jì)及三維造型方法是可行的.

4 結(jié) 論

1) 建立了正交變傳動(dòng)比面齒輪嚙合坐標(biāo)系，由空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，得出了各坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出了正交變傳動(dòng)比面齒輪的節(jié)曲線、齒頂曲線以及齒根曲線的參數(shù)方程.

2) 根據(jù)共軛齒廓理論，分析了加工過程中刀具的空間走刀軌跡，推導(dǎo)得到了正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒面參數(shù)方程.

3) 由空間齒輪嚙合原理，對(duì)正交變傳動(dòng)比面齒輪的根切和變尖現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得出了正交變傳動(dòng)比面齒輪無根切的最小內(nèi)徑及不產(chǎn)生變尖最大外徑計(jì)算方法.

4) 利用Solidworks三維造型功能以及應(yīng)用程序接口(API)，結(jié)合編程軟件VB，開發(fā)了正交變傳動(dòng)比面齒輪的設(shè)計(jì)與仿真加工系統(tǒng)，得到了正交變傳動(dòng)比面齒輪的三維實(shí)體及其裝配模型，實(shí)現(xiàn)了正交變傳動(dòng)比面齒輪的可視化.

5) 完成了正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工，搭建了正交變傳動(dòng)比面齒輪副的傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)，通過實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)分析方法及加工制造方法的正確性和可行性.

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