文學(xué)章，蔣 林，尚守平

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

筏板基礎(chǔ)是工程中常見(jiàn)的基礎(chǔ)形式之一，對(duì)其動(dòng)力特性的研究是近幾十年來(lái)的熱門課題[1-2].目前，對(duì)于筏板基礎(chǔ)在地震波中的動(dòng)力響應(yīng)的研究，大多是以規(guī)則對(duì)稱的圓形或矩形基礎(chǔ)作為研究對(duì)象，但實(shí)際工程中，往往會(huì)出現(xiàn)其平面形狀不規(guī)則對(duì)稱的情況.而平面形狀不規(guī)則會(huì)使結(jié)構(gòu)在地震中發(fā)生扭轉(zhuǎn)，從而可能給結(jié)構(gòu)帶來(lái)較大的損壞，因此，有必要對(duì)不規(guī)則形狀基礎(chǔ)-地基的動(dòng)力相互作用進(jìn)行研究.

土-結(jié)構(gòu)相互作用有兩個(gè)基本物理量：動(dòng)力阻抗和有效輸入地動(dòng)，其中有效輸入地動(dòng)即基礎(chǔ)在地震波作用下的動(dòng)力位移響應(yīng)，在子結(jié)構(gòu)分析模型中作為上部結(jié)構(gòu)的動(dòng)力輸入，顯然比直接采用自由場(chǎng)地動(dòng)更加合理，二者的差別在地震觀測(cè)中也得到證實(shí)[3].在以往對(duì)基礎(chǔ)有效輸入地動(dòng)的研究中，Kobori等研究了彈性半空間表面剛性圓盤基礎(chǔ)在地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)[4]；Mita等研究了正方形埋置基礎(chǔ)的動(dòng)力阻抗和有效輸入地動(dòng)[5]，Wong等研究了剛性矩形基礎(chǔ)在傾斜地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)，指出：傾斜地震波作用下基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng)與垂直地震波作用下的響應(yīng)有很大不同，因此對(duì)這類問(wèn)題的研究不能只考慮垂直地震波[6]；Yoshida則用邊界元法研究了矩形基礎(chǔ)的阻抗與地震波作用下的有效輸入地動(dòng)[7]；而王鵬等則研究了飽和地基表面上剛性圓盤基礎(chǔ)在地震波下的豎向振動(dòng)[8].以上的研究其對(duì)象均為圓盤基礎(chǔ)或矩形基礎(chǔ)等規(guī)則形狀，而把不規(guī)則對(duì)稱基礎(chǔ)作為研究對(duì)象的研究非常少.

在以往對(duì)于不規(guī)則基礎(chǔ)的動(dòng)力特性的研究中，本文作者對(duì)形狀不規(guī)則基礎(chǔ)的動(dòng)力阻抗進(jìn)行了研究[9-10]，而對(duì)于基礎(chǔ)在地震波作用下的動(dòng)力位移響應(yīng)的研究非常少．在垂直射入SH波作用下，對(duì)稱基礎(chǔ)不會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)而非對(duì)稱基礎(chǔ)會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)，而在傾斜射入SH波作用下，即使是對(duì)稱基礎(chǔ)也會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)[11]．對(duì)于非對(duì)稱基礎(chǔ)，影響因素較多，問(wèn)題變得更加復(fù)雜，因此有必要對(duì)其進(jìn)行研究.

對(duì)于筏板基礎(chǔ)在地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)的研究方法，常見(jiàn)的可大致分為兩類，一類是利用Hankel變換等積分變換得到的連續(xù)解[12]，但這種方法只適用于平面問(wèn)題以及軸對(duì)稱問(wèn)題，不適用于平面形狀不規(guī)則的基礎(chǔ)；另一類是基于Green函數(shù)的離散解法，而薄層元素法[13-15]是計(jì)算Green函數(shù)有效方法之一.

因此，本文采用薄層元素法，對(duì)不規(guī)則形狀筏板基礎(chǔ)在各種傾斜角度的SH波作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究.

1 分析方法

為了便于研究，本文的研究作了如下的假設(shè)：1)假設(shè)土為均勻的粘彈性介質(zhì)，不考慮其非線性；2)筏板厚度較大，其剛度比土的剛度大得多，假設(shè)其為無(wú)質(zhì)量剛體(基礎(chǔ)質(zhì)量一般是在基礎(chǔ)-上部結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)中考慮)；3)假設(shè)土與筏板基礎(chǔ)的接觸面緊密接觸，不發(fā)生脫離和相對(duì)滑移.

土-基礎(chǔ)動(dòng)力相互作用系統(tǒng)如圖1所示，設(shè)自由場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)位移列向量為uf，筏基約束后的土節(jié)點(diǎn)位移列向量為u，則節(jié)點(diǎn)力列向量F可表示為：

F=K(u-uf)．

(1)

式中：K為土的剛度矩陣，可由式(2)得到：

K=G-1．

(2)

式中：G為土的柔度矩陣，其各元素為各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的Green函數(shù)，本文采用薄層元素法[13-14]求得，底部采用Paraxial Boundary[13-15]，其具體計(jì)算步驟參見(jiàn)文獻(xiàn)[13-15].

圖1 地基-基礎(chǔ)動(dòng)力相互作用模型

設(shè)筏基的位移和力的列向量分別為uP和FP，分別包含3個(gè)平動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)元素.根據(jù)筏基剛性假設(shè)，可得到下面的關(guān)系式：

u=TuP，

(3)

FP=TTF．

(4)

式中：T為剛體位移轉(zhuǎn)換矩陣．

Ti=

式中：(xi,yi)和(x0,y0)分別為i節(jié)點(diǎn)和筏板幾何中心的坐標(biāo).

將式(3)與式(4)代入式(1)，并化簡(jiǎn)可得：

KPuP=FP．

(5)

式中：KP=TTKT；FP=TT(F+Kuf).

對(duì)于地震波入射問(wèn)題，F(xiàn)={0}，則：

KpuP=FP=TTKuf．

(6)

求解式(6)即可得到筏基在地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng).

對(duì)于自由場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)位移列向量uf，本文只考慮入射波為SH的情況.如圖1(b)所示，當(dāng)SH波傾斜射入時(shí)，產(chǎn)生的反射波只有SH波，因?yàn)镾H波的振動(dòng)位移只有y方向成分，所以，土的位移v可表示為：

v(x,z)=vsi(x,z)+vsy(x,z)．

(7)

式中：vsi和vsr分別表示入射波與反射波的位移.如果SH波的入射角為θ，振幅為A，則入射波可表示為：

(8)

式中：VS為土的剪切波波速.

于是，可得到自由場(chǎng)總位移的表達(dá)式：

(9)

式中：Ag0=2A，為自由場(chǎng)表面的振幅.將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(9)即可求得自由場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)位移列向量為uf.

2 計(jì)算模型及參數(shù)

本文考慮實(shí)際工程中比較常見(jiàn)的“L”形和“C”形兩種平面形狀不規(guī)則對(duì)稱的筏板基礎(chǔ)，如圖2所示，以正方形和邊長(zhǎng)比為2的矩形為基本形狀，凹進(jìn)尺寸分別為0C1/2，2C1/3和5C1/6，基礎(chǔ)的相對(duì)面積分別為1，3/4，5/9和11/36，其形狀參數(shù)如表1.地基考慮為均勻介質(zhì)，剪切波速VS=250 m/s，密度ρ=1 800 kg/m3，泊松比ν=0.40，阻尼比h=0.05.地震波考慮為傾斜射入的SH波，入射角θ考慮為0°，30°和60° 3種情況.為了保證計(jì)算精度，基礎(chǔ)劃分為邊長(zhǎng)1.25 m的網(wǎng)格；土層按深度劃分如下：0～10 m劃分為20層，每層0.5 m；10～50 m劃分為40層，每層1.0 m；50～150 m劃分為50層，每層2.0 m，150 m以下為人工邊界.

圖2 “L”形和“C”形基礎(chǔ)的平面圖

表1 算例中基礎(chǔ)形狀參數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 SH波作用下規(guī)則基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng)

圖3為入射角θ=30°，B2=C2=0時(shí)(即正方形與長(zhǎng)方形基礎(chǔ))的水平與扭轉(zhuǎn)動(dòng)力響應(yīng).從圖3(a)可以看出，本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果吻合較好.當(dāng)SH波傾斜射入時(shí)，隨著頻率的增大，水平位移反應(yīng)減小，這種現(xiàn)象稱為“輸入損失”[3]，是由于與基礎(chǔ)接觸的各個(gè)土節(jié)點(diǎn)振動(dòng)的相位不同引起的.傾斜射入的SH波會(huì)使得基礎(chǔ)發(fā)生扭轉(zhuǎn)，隨著頻率的增大，扭轉(zhuǎn)反應(yīng)增大，在α0= 4左右達(dá)到峰值.對(duì)比正方形與長(zhǎng)方形基礎(chǔ)發(fā)現(xiàn)，二者的水平反應(yīng)差別非常小，而扭轉(zhuǎn)反應(yīng)差別較大，長(zhǎng)方形基礎(chǔ)的扭轉(zhuǎn)反應(yīng)比正方形基礎(chǔ)大得多，而峰值所對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱頻率卻基本上相同.

a0

a0

3.2 不規(guī)則基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng)

圖4,圖5為入射角θ=60°時(shí)，“L”形和“C”形基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng).從圖中可看出，缺口對(duì)于水平反應(yīng)的影響為：隨著其尺寸的增大而增大；在低頻區(qū)域其影響較小而高頻區(qū)域其影響較大.在一定的頻率范圍內(nèi)(本算例約為3.5)，“L”形基礎(chǔ)的水平反應(yīng)隨缺口的增大而增大，而“C”形基礎(chǔ)卻呈現(xiàn)相反的趨勢(shì)，這是因?yàn)榛A(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng)是基礎(chǔ)各處波的綜合作用的結(jié)果，基礎(chǔ)各處波的相位差別越大，水平位移響應(yīng)就越小，“L”形基礎(chǔ)缺口在端部，缺口越大，各處波相位差別越?。欢癈”形基礎(chǔ)的缺口在中間，缺口越大，各處波的相位差別越大.隨著頻率的增大，“C”形基礎(chǔ)的兩翼緣處波的相位差經(jīng)歷了一個(gè)由逐漸增大到反相然后又逐漸減小的過(guò)程，因此基礎(chǔ)的水平響應(yīng)呈現(xiàn)出先減小后擴(kuò)大的變化趨勢(shì).缺口對(duì)于“L”形基礎(chǔ)的扭轉(zhuǎn)反應(yīng)的影響很小，這表明對(duì)于“L”形基礎(chǔ)，由傾斜SH波引起的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)起著控制作用，而對(duì)于“C”形基礎(chǔ)，低頻時(shí)影響很小而高頻時(shí)影響較大.

a0

a0

a0

a0

3.3 入射角的影響

圖6，圖7為B2/B1=C2/C1=1/2時(shí)，“L”形和“C”形基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng).從圖中可看出：對(duì)于水平響應(yīng)，當(dāng)SH波垂直射入時(shí)恒為1，即沒(méi)有輸入損失.當(dāng)SH波傾斜射入時(shí)，在一定的頻率范圍內(nèi)，水平響應(yīng)隨著頻率的增大而減小，減小的量隨著入射角的增大而增大.對(duì)于扭轉(zhuǎn)響應(yīng)，當(dāng)SH波垂直射入時(shí)其值恒為0，即這時(shí)不會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)響應(yīng).當(dāng)SH波傾斜射入時(shí)，會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)響應(yīng)，其峰值隨入射角的變化較小，“L”形基礎(chǔ)為0.6左右，“C”形基礎(chǔ)達(dá)到1.0左右，峰值對(duì)應(yīng)的頻率隨著入射角的增大而減小，入射角θ分別為30°和60°時(shí)，對(duì)應(yīng)的峰值頻率分別約為4.0 Hz和2.5 Hz，大約與sinθ成反比例關(guān)系.

a0

a0

a0

a0

4 結(jié) 論

對(duì)形狀不規(guī)則筏板基礎(chǔ)在傾斜射入SH波作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究，得到的結(jié)論如下：

1)當(dāng)SH波傾斜射入時(shí)，隨著其頻率的增大，水平位移響應(yīng)減小，扭轉(zhuǎn)響應(yīng)增大，在某個(gè)頻率達(dá)到峰值.

2)缺口尺寸越大，其對(duì)筏基水平響應(yīng)的影響越大，在一定的頻率范圍內(nèi)，缺口使得“L”形筏基的水平響應(yīng)增大，而“C”形筏基減小，呈現(xiàn)相反的影響趨勢(shì)；缺口尺寸對(duì)“L”形筏基的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)影響較小，對(duì)“C”形筏基的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)在低頻區(qū)影響較小而高頻區(qū)域影響較大.

3)SH波的入射角越大，對(duì)筏基的水平響應(yīng)的影響越大，對(duì)扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的峰值影響不大，但峰值所對(duì)應(yīng)的頻率隨著入射角的增大而減小.

[1] 文學(xué)章，尚守平．剪切波作用下樁筏基礎(chǔ)的動(dòng)力響應(yīng)研究[J]．湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，39(8): 14-18．

WEN Xue-zhang，SHANG Shou-ping． Kinematic response of pile-raft foundation to vertical s-wave seismic excitation[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2012, 39(8):14-18. (In Chinese)

[2] 尚守平，陳婉若，魯華偉，等．土-筏基鋼框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用試驗(yàn)研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013, 40(3): 1-6．

SHANG Shou-ping, CHEN Wan-ruo,LU Hua-wei,etal. Experimental investigation of the dynamic soil-structure interaction about steel frame-raft foundation model[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2013, 40(3):1-6. (In Chinese)

[3] KOJIMA H, FUKUWA N, JUN TOBITA J. A study on input loss effect of low and medium-rise buildings based on seismic observation and microtremor measurement[J]. Jounal of Structural and Construction Engineering (Transactions of AIJ), 2005(587):77-84. (In Japanese)

[4] KOBORI T， MINAI R， SHINOZAKI Y. Vibration of a rigid circular disc on an elastic half-space subjected to plane waves[J]. Theoretical and Applied Mechanics，1973，21(7)：109-119.

[5] MITA A, LUCO J E. Impedance functions and input motions for embedded square foundations [J]. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 1988, 115(4): 491-503.

[6] WONG H L, LUCO J E. Dynamic response of rectangular foundation to obliquely incident seismic waves[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 1978, 6(1):3-16.

[7] YOSHIDA K. Fundamental studies on soil-structure interaction problems[R]．IRI95-01.Tokyo: Shimizu Corporation, 1995.

[8] 王鵬，蔡袁強(qiáng)，曾晨.平面波作用下飽和地基表面剛性圓形基礎(chǔ)的豎向振動(dòng)分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010,29(9)：1922-1928.

WANG Peng,CAI Yuan-qiang，ZENG Chen.Analysis of vertical vibrations of a rigid foundation resting on saturated poroelastic half-space subjected to incident plane waves[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2010,29(9)：1922-1928. (In Chinese)

[9] WEN Xue-zhang,FUKUWA N. Effects of spread foundation type and its shape on dynamic soil structure interaction[J]. Journal of Structural Engineering, 2006, 52B(3): 23-31.

[10]文學(xué)章,尚守平．形狀不規(guī)則基礎(chǔ)-地基的動(dòng)力扭轉(zhuǎn)相互作用[J]．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21(4):359-364.

WEN Xue-zhang, SHANG Shou-ping． Dynamic torsional interaction between soil and irregularly shaped foundation [J]. Journal of Vibration Engineering, 2008, 21(4): 359-364. (In Chinese)

[11]IGUCHI M. An introduction to dynamic soil-structure interaction [M]. Tokyo:Architectural Institute of Japan, 1996.

[12]蔡袁強(qiáng)，徐長(zhǎng)節(jié)，鄭灶鋒，等．軸對(duì)稱飽和地基豎向振動(dòng)分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)，2006，27(1)：75-81.

CAI Yuan-qiang，XU Chang-jie，ZHENG Zhao-feng，etal. Vertical vibration analysis of saturated soil[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2006，27(1)：75-81.(In Chinese)

[13]TAJIMI H. A contribution to theoretical prediction of dynamic stiffness of surface foundation [C]//The 7th World Conference on Earthquake Engineering. Istanbul, Turkey:1980, 5 : 105-112.

[14]KAUSEL E. An explicit solution for the green function for dynamic loads in layered media [R]. Research Report R81-13. Cambridge, Massachusetts:Department of Civil Engineering, Massachusetts Institute of Technology, 1981.

[15]HULL S, KAUSEL E. Dynamic loads in layered halfspace [C]//Proceedings of the 5th EM Division Specialty Conference, Laramie, Wyoming, USA , 1984 : 201-204.