廣東省珠海市拱北中學(xué)(519020)崔志鋒

圖1

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,總會遇到類似“飲馬問題”、“造橋選址問題”之類的問題.抽象成數(shù)學(xué)問題就是,在一條定直線上確定一點,使到直線同側(cè)兩定點的距離和最小.在中考數(shù)學(xué)中,還會遇到已知一個或兩個定點,在兩條相交直線上各確定一點使它們的距離和最短.例如:2011年廣東深圳23 題第(2)題和2011年福建福州22 題第(3)題.這類問題在數(shù)學(xué)上要考察的知識點有兩點之間線段最短、垂線段最短、點關(guān)于線對稱等.大家也都清楚它們的做法(做點關(guān)于直線的對稱點,連結(jié)另一點與對稱點或?qū)ΨQ點與對稱點即可).在此,我想換一個角度來分析它,并得到一些相關(guān)的公式,以便在一些實際工程問題中也能得到應(yīng)用.這讓我想起物理光學(xué)中所講的光是沿直線傳播和光的反射定律.如圖1,ON是法線,AO是入射光線,OB是反射光線,則有AO,ON,OB在同一平面,AO,OB會在法線ON兩側(cè),且∠AON=∠NOB.

我們先來看看下面兩個問題:

問題1已知同一平面內(nèi)一條定直線l和直線l同側(cè)的兩個定點A和B,直線l上存在唯一一點P,使得PA+PB的值最小.

問題2已知一塊固定的平面鏡l,在鏡子正上方有兩個定點A和B,平面鏡l上存在唯一一點P,使得以AP為入射光線經(jīng)平面鏡l反射后也經(jīng)過點B.

圖2

這兩個問題是等價的.首先易證這兩個問題的存在唯一性.現(xiàn)在第一步假設(shè)問題1 成立.如圖2,點A′是點A關(guān)于直線l的對稱點,PA+PB的值最小時,A′、P和B三點共線,所以∠APE= ∠EPA′= ∠BPF,又因為MN⊥EF,所以∠APM= ∠MPB,故以AP為入射光線經(jīng)直線l反射后也經(jīng)過點B.第二步假設(shè)問題2 成立.如圖2,以AP為入射光線經(jīng)直線l反射后也經(jīng)過點B,則由平面鏡成像原理得點A關(guān)于直線l對稱點A′、P和點B共線,而兩點之間線段最短,所以PA+PB的值最小.證畢.

現(xiàn)在可以把如何在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小的問題,轉(zhuǎn)換成如何確定一個入射角的光線AP,使得它經(jīng)直線l反射后經(jīng)過B點.下面分三種類型來討論.說明:以下討論的光線都是指從點A出發(fā),經(jīng)一次或兩次反射后從點B出來.入射角x指的是第一次反射的入射角,入射角y指的是第二次反射的入射角.

類型一、兩個定點和一個動點

定理1如圖3,已知兩個定點A和B,OA=a,OB=b和∠COD=α(0° ＜α ＜90°),入射角為x,則PA+PB的最小值且入射角x滿足

圖3

推論若已知AE⊥OC,BF⊥OC,AE=h1,BF=h2和EF_=d,入射角為x,則PA+PB的最小值Smin=且入射角x滿足

定理1 的證明如圖3,作點A關(guān)于OC的對稱點A′,連結(jié)A′B交OC于點P,連結(jié)AP,則∠A′OB= 2α,利用余弦定理得AA′= 2asinα,由2asinαsinx= (b-a)sin(90°-α-x)化簡得

應(yīng)用1如圖4,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC邊的中點,E是AB邊上一動點,則EC+ED的最小值為____.

圖4

解由題知,a=BD=1,b=BC=2,α=∠B=45°,則EC+ED的最小值

應(yīng)用2如圖5,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0),B(0,4).設(shè)OA、AB的中點分別為C、D,P為OB上一動點,求PC+PD的最小值,并求取得最小值時P點坐標(biāo).

圖5

解由題知,DC=2,h1=h2=1,入射角x=∠PCO,則PC+PD的最小值所以∠PCO=45°,P(0,1).

類型二、兩個定點和兩個動點

定理2如圖,已知兩個定點A和B,OA=a,OB=b,∠AOC=α1,∠BOD=α2(0° ＜α1＜α2＜α1+α2＜ α)和∠COD=α(0° ＜ α1+α2+α ＜180°),入射角為x和y,則AQ+QP+PB的最小值且入射角x、y滿足x+y=α和

圖6

圖7

證明如果光線如圖6,則由余弦定理得到S21=A′B′=a2+b2-2abcos(α1+α2+α),如果光線如圖7,記∠AOD=α′1,∠BOC=α′2(α′1+α′2＞α),則由余弦定理得到S22=A′′B′′=a2+b2-2abcos(α′1+α′2+α),因為S22-S21=2abcos(α1+α2+α)-2abcos(α′1+α′2+α)=所以S22≥S21,即S2≥由asin(90°-α1-x)=bsin(90°-α2-y)易得tanx=證畢.

推論1若已知定點B在OD上,OA=a,OB=b,∠AOC=α1(0° ＜α1＜α)和∠COD=α(0° ＜α ＜60°),入射角為x和y,則AQ+QP+PB的最小值Smin=且入射角x、y滿足x+y=α和

推論2若已知定點A在OC上,定點B在OD上,OA=a,OB=b和∠COD=α(0° ＜α ＜60°),入射角為x和y,則AQ+QP+PB的最小值Ssain=且入射角x、y滿足x+y=α和

應(yīng)用3已知,如圖8,二次函數(shù)圖象的頂點為H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右側(cè)),點H、B關(guān)于直線l:對稱.過點B作直線BK//AH交直線l于K點,M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點,連接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

圖8

解如圖8,易知α= ∠HAK= 30°,則HN+NM+MK和的最小值是

應(yīng)用4如圖9,拋物線y=-(x -1)2+ 4 的 頂 點 為C,交x軸于A、B兩點,交y軸于點D.過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中點E的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸,點G為直線PQ上的一動點,則x軸上是否存在一點H,使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小.若存在,求出這個最小值及點G、H的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

圖9

解如圖9,易知則周長最小值因為x= ∠HFO=∠HGM,所以所以G(1,1).

類型三、一個定點和兩個動點

定理3如圖10,已知一個定點A,OA=a,∠AOD=和∠COD=α(0° ＜ α1+α ＜90°),入射角為x,則AQ+QP的最小值Smin=asin(α1+α),且入射角x滿足x=α.

圖10

證明方法同定理2 的證明.

推論若已知定點A在OD上,OA=a和∠COD=α(0° ＜α ＜45°),入射角為x,則AQ+QP的最小值Smin=asin 2α,且入射角x滿足x=α.

應(yīng)用5如圖11,在銳角△ABC中,AB= 4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值是____.

圖11

解由題知,a=AB=4,α=22.5°,則BM+MN的最小值

應(yīng)用6如圖12,△ABC中,AB= 2,∠BAC= 30°,若 在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小,求這個最小值____.

圖12

解由題知,a=AB=2,α=30°,則BM+MN的最小值