秦琴琴 胡志娟

(上海師范大學數(shù)理學院 上海 200234)

三棱鏡是一種基本的光束轉向元件和色散元件，在光學基本實驗中有諸多應用.教材中給出了棱鏡最小偏向角θ0的計算[1]，并提出可利用公式

(1)

計算棱鏡材料的折射率.

本文詳細討論了光束通過三棱鏡的多種偏折情況，給出了三棱鏡的頂角和折射率的取值范圍對光線是否能從出射邊界射出，以及出射光線的偏折情況的影響，并進一步分析了光線的偏向角與折射率、頂角的關系，給出了確定最小偏向角的方法.

1 三棱鏡對光的偏折情況

如圖1所示為一個頂角為A,折射率為n的三棱鏡側面圖.

圖1 三棱鏡側面圖

光線從AB邊的D點射入三棱鏡并發(fā)生折射，到達AC面上的E點，再經(jīng)過一次折射后從E點射出，兩界面的入射角和折射角分別為i1,r1和i2,r2，θ為AC面上的出射光線和AB邊的入射光線之間的夾角，即偏向角.

圖1中，由折射定律和幾何關系有

(2)

A=r1+i2

(3)

由折射定律可知，當入射角i1減小時，r1會隨之減小，光線DE會向底面BC偏移，i2會增大.若三棱鏡的折射率和頂角滿足一定條件，當入射角i1減小到某個值時，三棱鏡中的折射光線DE在AC面上發(fā)生全發(fā)射，如果繼續(xù)減小入射角，則三棱鏡中的折射光線均會在AC面上發(fā)生全發(fā)射，可見要在AC面上得到出射光線，入射角存在一個最小值.

在教學中有的學生會認為，光束經(jīng)三棱鏡兩次折射后的傳播方向一定是偏向底面BC的，實際上還可能出現(xiàn)圖2所示的情況.當入射角i1逐漸增大時，光線DE在AC面的入射點E會向頂角A移動，這時在AC面的入射角i2將減小.對于材料的折射率不是很大，頂角也不是很大的三棱鏡，隨著入射角i1的增大，會出現(xiàn)i2=0的情況，繼而，光線DE會出現(xiàn)在AC面法線的下方，那么出射光線就會向AC面法線的上方偏折.此時，經(jīng)三棱鏡出射的光線的傳播方向并非向三棱鏡的底座偏移，而是偏向頂角射出，但出射光線相對于原入射光線仍是向底面BC偏折的.

圖2 出射光線偏向法線上方

2 入射角i1 折射率n以及頂角A對出射光線的影響

設折射光線DE在AC面上恰好發(fā)生全反射時，對應的光線入射角為最小入射角i1min，此時，AC面上發(fā)生全反射的臨界角滿足

結合式(2)、(3)可得最小入射角i1min、折射率n及頂角A的關系為

(4)

從式(4)中可以看出，AB邊上的入射光線的最小入射角i1min與棱鏡折射率n、頂角A均有關系.在折射率n不變的情況下，頂角A越大，i1min也越大.當A增大到某一特定的值，i1min可能增大到90°，這種情況下，從AB邊上以任意角度入射的光線，都會在AC面上發(fā)生全發(fā)射，設頂角A的這一特定值為Amax，那么，棱鏡的頂角A超過Amax后將不會從AC面上得到出射光線.利用

i1min=90°

并由式(2)、(3)可求得

因此，給定三棱鏡的折射率n=2.4時，則對應的Amax= 49.2°，所以當頂角A=60°，已經(jīng)超過了有光線出射時要求的最大頂角值，因而不會有光線從AC面射出.

此外，若頂角A越小，i1min也會越小，當A減小到某值Amin，i1min會減小到零，此時恰好所有入射光線都可以從AC面射出.利用

由幾何關系可得

而對于頂角A小于極小值Amin的三棱鏡，光線以任意角度入射，都會從AC面射出.但是在不同條件下，光線經(jīng)三棱鏡后，出射光線的傳播方向可能偏向底面BC，也可能偏向頂角A，偏轉方向的臨界條件可以通過三棱鏡中DE光線恰好垂直入射到AC面上所對應的入射角來判斷，此時入射角i1滿足

sini1=nsinA

而當入射角i1>arcsin(nsinA)時，折射光線DE將從E點入射到AC面，且出現(xiàn)在AC面的法線(過E點)的上方(如圖2所示)，那么，出射光線將向頂角A偏折.

圖3給出了不同折射率的三棱鏡的最小入射角隨著頂角的變化關系，從圖中可以看出最小入射角i1min隨著三棱鏡頂角A的增大而增大，圖中直線PM表示三棱鏡頂角A增大到極大值Amax后，對應的最小入射角都為90°，當三棱鏡的頂角取PM直線上的值時，無論光線的入射角取何值，折射光在棱鏡內的AC面均會發(fā)生全反射，無出射光線產(chǎn)生.每條曲線與橫坐標的交點對應著頂角A的極小值Amin.

圖3 不同折射率n下i1min-A關系

此外，頂角A的這兩個臨界值，也可以用代數(shù)求解的方法得到，設Amin，Amax分別對應最小入射角等于零和90°的情況，分別將i1min=0和i1min=90°代入式(4)，有

(5)

(6)

解式(5)、(6)也可得

這與上面的分析是一致的.綜上，在三棱鏡的折射率n不變時，頂角A對出射光線的影響有以下規(guī)律.

(1)當頂角A

i1>arcsin(nsinA)

出射光線的傳播方向將偏向頂角A(往AC面過E點的法線上方偏折)，當i1

(2)當Amin

(3)當A>Amax時，從AB面以任意角度入射的光線，進入三棱鏡后，均會在棱鏡內AC面上發(fā)生全發(fā)射，因此，不會有光線從AC面射出.

同理，當三棱鏡的頂角A不變時，折射率n也會對最小入射角產(chǎn)生影響.由式(4)知，當折射率n增大時，i1min也隨之增大，當n增大到某個值n′時，i1min增大到90°，這時由折射定律和幾何關系可求得折射率的極大值

而折射率n值越小，對應的i1min也越小，當n減小到某值n″時，i1min可能減小到零，此時對應折射率的極小值

圖4是具有不同頂角A的三棱鏡的最小入射角i1min隨折射率n的變化關系曲線.

圖4 不同頂角A下i1min-n關系

從圖4可以看出最小入射角隨著折射率的增大而增大.圖中線段QN表示折射率n取值達到某值n′后，AB面上任意角度入射的光線均在AC面上發(fā)生全反射.曲線與橫坐標的交點表示折射率n的極小值n″，當n小于該值時，AB面上任意角度入射的光線均能從AC面射出.同樣的，在這種情況下存在出射光線向AC面法線上方偏折的情況，其臨界條件可以由DE光線恰好垂直入射到AC面時所對應的入射角來決定，即

i1=arcsin(nsinA)

當三棱鏡頂角A不變時，折射率n對出射光線的影響規(guī)律可總結如下.

3 不同參數(shù)下偏向角隨入射角的變化情況

根據(jù)圖1和圖2，由幾何關系可得三棱鏡AC面出射光線與AB面入射光線之間的偏向角θ之間的關系為

θ=i1±r2-A

(7)

其中加號表示出射光線經(jīng)AC面向法線下方偏折，減號表示出射光線經(jīng)AC面向法線上方偏折.結合折射定律可進一步算得偏向角與入射角i1、折射率n、頂角A的關系為

cosAsini1]-A

(8)

從上式可以看出當三棱鏡的參數(shù)n和A一定時，偏向角隨著入射角的變化而變化.

圖5是棱鏡折射率n=1.5時，取不同的頂角A值，偏向角θ與入射角i1的關系曲線，圖6是棱鏡頂角為A=60°時，取不同的折射率n值，偏向角θ與入射角i1的關系曲線，θ-i1關系曲線上的點代表有出射光線時偏向角和入射角的對應關系.

圖5 n=1.5時不同A對應的θ-i1關系曲線

圖6 A=60°時不同n對應的θ-i1的關系曲線

從圖5和圖6可以看出，當棱鏡折射率和頂角一定時，偏向角隨著入射角的增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢.圖中每條曲線最左端處對應的橫坐標值為棱鏡AC面有光線出射時需滿足的最小入射角i1min值.圖5中參數(shù)n=1.5，A=30°對應的曲線覆蓋入射角全區(qū)段，這表示當光以任意角度入射到以該參數(shù)制作的三棱鏡上時，光線均能從AC面射出，不會發(fā)生全反射.圖5和圖6中的θ-i1關系曲線可以看出，偏向角存在一個最小值θmin，在圖5中當三棱鏡的頂角A增加，出現(xiàn)最小偏向角所對應的入射角也隨之增加.在圖6中，三棱鏡頂角A一定的情況下，棱鏡的折射率越大，出現(xiàn)最小偏向角時對應的光線入射角也會隨之增加.可計算出最小偏向角與三棱鏡參數(shù)之間有如下關系

(9)

以參數(shù)n=1.5，A=60°的三棱鏡為例，代入式(4)和式(9)中，得到最小入射角和最小偏向角分別為i1min=27.9°和θmin=37.2°.此外，如果知道θ-i1關系曲線圖，也可以直接從θ-i1關系曲線中確定最小入射角和最小偏向角的大小，曲線左端點處的橫坐標代表最小入射角的值，曲線最低點處的縱坐標值即為最小偏向角的值.如圖5中G和F兩點分別代表n=1.5，A=60°時的θ-i1關系曲線上的左端點和最低點，通過定位可確定兩點的坐標分別為：G(27.5，56.5)，F(xiàn)(50.1，37.5)，表示當棱鏡參數(shù)取n=1.5，A=60°時，對應的最小入射角為27.5°、最小偏向角為37.5°.同樣，在圖6中當棱鏡參數(shù)取n=1.5，A=60°時曲線所對應的最小入射角和最小偏向角(即H，I兩點)，得到i1min=27.2°，θmin=37.4°，可見在誤差允許范圍內通過曲線關系圖確定最小入射角和最小偏向角與公式得出的結果非常接近.

4 總結

本文分析了光束通過三棱鏡的偏折情況，討論了入射角、折射率、棱鏡頂角對出射光線偏折方向的影響，指出三棱鏡的折射率、頂角存在著極小值和極大值的取值范圍，當棱鏡折射率或頂角小于其極小值時，以任意角度入射的光線都能從三棱鏡另一側面射出；當折射率或頂角的取值處在極小值和極大值范圍之間，光線的入射角大于最小入射角時，才能在棱鏡另一側面得到出射光線，且最小入射角隨著棱鏡折射率和頂角的增大而增大；當折射率或頂角大于其極大值時，以任意角度入射的光線均發(fā)生全反射而不會有出射光線產(chǎn)生.此外，討論了光線偏向角與三棱鏡參數(shù)的關系，光線偏向角隨著入射角的增大呈現(xiàn)先減小后增大的變化規(guī)律，且最小偏向角隨著棱鏡折射率和頂角的增大而增大.本文的分析和討論有利于學生深入了解三棱鏡對光線的轉向情況，也能為三棱鏡的設計提供參考.