李 燕

(雅安職業(yè)技術(shù)學(xué)院智信學(xué)院 四川 雅安 625000)

1 引言

麥克斯韋提出：即使不存在導(dǎo)體回路，在變化的磁場(chǎng)周?chē)泊嬖谝粋€(gè)變化的電場(chǎng)，這個(gè)由變化的磁場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)稱(chēng)為感生電場(chǎng).感生場(chǎng)強(qiáng)E感滿(mǎn)足以下兩個(gè)規(guī)律:

高斯定理

所以,對(duì)任何閉合曲面S，E感線(xiàn)是無(wú)頭無(wú)尾的連續(xù)閉合曲線(xiàn)，E感場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng).

環(huán)路定理

所以,對(duì)任何閉合曲線(xiàn)L，其中S是以L(fǎng)為邊線(xiàn)的曲面，E感是渦旋場(chǎng)，不能引入電位概念.

一般情況下感生電場(chǎng)的計(jì)算較為復(fù)雜，在多數(shù)大學(xué)電磁學(xué)教材中利用環(huán)路定理討論了少數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性感生電場(chǎng)的問(wèn)題，例如無(wú)限長(zhǎng)螺線(xiàn)管的電流隨時(shí)間作線(xiàn)性變化時(shí)其管內(nèi)外的E感問(wèn)題，在討論此問(wèn)題時(shí),部分教材利用反證法證明了螺線(xiàn)管管內(nèi)外的E感線(xiàn)都是與螺線(xiàn)管軸線(xiàn)相垂直的同心圓.如圖1所示.

圖1為一無(wú)限長(zhǎng)螺線(xiàn)管的一段，C為螺線(xiàn)管的橫截面，L為橫截面圓周長(zhǎng),半徑為R.筆者在此利用解析法和類(lèi)比法兩種方法來(lái)證明E感線(xiàn)都是與C同心的同心圓，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算E感的大小，以供教學(xué)參考，如有不妥，敬請(qǐng)指正.

圖1 無(wú)限長(zhǎng)螺線(xiàn)管

2 解析法

在柱坐標(biāo)下，感生電場(chǎng)遵從的麥克斯韋方程為

(1)

(2)

因?yàn)槁菥€(xiàn)管為無(wú)限長(zhǎng)且是對(duì)稱(chēng)的，所以對(duì)r相同、θ和z不同的各點(diǎn)來(lái)說(shuō)周?chē)艌?chǎng)的分布情況應(yīng)該是一樣的，也就是說(shuō)感生電場(chǎng)大小不隨θ和z變化，比較式(1)兩端有

可得

從而有

Er=0

由此可見(jiàn)E感既沒(méi)有徑向分量，也沒(méi)有軸向分量，只有θ分量，所以E感線(xiàn)都是與螺線(xiàn)管軸線(xiàn)相垂直的同心圓.下面還可根據(jù)式(2)求出Eθ的大小.

在管內(nèi)，即r

式中r=0時(shí)，Eθ有限，C1=0，所以有

(3)

(4)

當(dāng)r=R時(shí)，由式(3)知

故有

(5)

3 類(lèi)比法

變化磁場(chǎng)激發(fā)的感生電場(chǎng)和傳導(dǎo)電流激發(fā)的磁場(chǎng)都遵從高斯定理和環(huán)路定理，所以可作對(duì)比如下:

感生電場(chǎng)

(6)

(7)

電流的磁場(chǎng)

(8)

(9)

由長(zhǎng)直圓柱形電流的磁場(chǎng)得

r>R時(shí)，有

(10)

r

(11)

r>R時(shí)，有

(12)

r

(13)

值得注意的是使用類(lèi)比法時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：首先,j是電流密度,B為空間分布均勻的交變電流激發(fā)的磁場(chǎng).其次,只有在不考慮邊界的無(wú)限空間中B和E感的矢量場(chǎng)才能由它們的散度和旋度完全確定，否則還應(yīng)給出邊界條件.

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上分析可以看出，不管是教材上的反證法，還是本文中的解析法或類(lèi)比法，當(dāng)證明螺線(xiàn)管管內(nèi)外的E感線(xiàn)都是與螺線(xiàn)管軸線(xiàn)相垂直的同心圓時(shí)，除了利用已知條件的對(duì)稱(chēng)性外，還要利用E感本身所遵從的定律，只有這樣才能得出正確結(jié)論.