李偉平，竇現(xiàn)東，王振興，柳 超

( 湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082)

工程優(yōu)化問題中，對于基于真實模型的嵌套優(yōu)化，每次計算目標(biāo)函數(shù)值都要調(diào)用費時的仿真計算模型，其計算代價不可小視.而利用近似模型可以有效地解決這一問題[1]，即通過對近似模型的求優(yōu)近似得到真實模型的優(yōu)化值.

目前廣泛應(yīng)用的一些近似方法，如響應(yīng)面法、Kriging插值、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，在處理較低維問題時有很好的效果.而對于工程中復(fù)雜的高維非線性模型，隨著維數(shù)和非線性程度的增加，構(gòu)造近似模型所需的樣本點數(shù)量和計算花費呈指數(shù)增長，使解決此類問題的計算效率大大降低[2].針對這一問題，Sobol證明了可積函數(shù)可以分解為不同維數(shù)函數(shù)的疊加理論[3].該理論表明，對于任意一個可以積分的函數(shù)，在其積分空間內(nèi)存在唯一的、可以擴展的高維模型(High Dimensional Model Representation，HDMR).這一模型是精確的，有確定的階數(shù)，并包含一個層級結(jié)構(gòu).高維模型可以將計算時間隨非線性程度和維數(shù)增加按指數(shù)增長的隱函數(shù)，轉(zhuǎn)化為可以忽略高階耦合項的多項式函數(shù)，并揭示了每個設(shè)計變量對近似函數(shù)的貢獻量，大大減少了計算時間.同時反映了輸入變量之間固有的線性或非線性關(guān)系及其相關(guān)性，在近似高維非線性問題時非常有效.由此，一系列不同特性的高維模型開始發(fā)展起來，被研究和應(yīng)用于不同的領(lǐng)域.其中，Shan等提出了基于徑向基的高維模型(RBF-HDMR)[4],湯龍等提出了基于Kriging的高維模型(Kriging-HDMR)[5].

本文采用誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network,BPNN)與中心切面高維模型(Cut-HDMR[6])方法相結(jié)合的BPNN-HDMR.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其神經(jīng)元的傳遞是S型函數(shù)，它可以實現(xiàn)從輸入到輸出的任意非線性映射.對于非線性問題，在精度表達上具有一定優(yōu)勢.Cut-HDMR方法是用過指定點的特定的直線、平面和超平面上的信息來建立模型，計算效率高，方便易行.

1 高維模型(HDMR)基本理論

設(shè)待求問題的設(shè)計變量可行域為An(n維實數(shù)空間)，那么多元函數(shù)f(x)∈R與輸入變量x∈An之間的映射關(guān)系可以用HDMR[6-7]來表示為：

(1)

其中f0為函數(shù)在中心點的函數(shù)值，后面依次為不同階耦合項對近似函數(shù)的貢獻量.

為了方便計算，本文引入Cut-HDMR.與其他類型的高維模型相比，Cut-HDMR用少量簡單的算術(shù)運算來表達計算花費高昂的真實模型，并達到了其他類型高維模型相似的精度，計算效率高.Cut-HDMR展開式的各分項表達請參考文獻[6].

2 BPNN-HDMR

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它由一個輸入層、一個輸出層和至少一層隱含層組成[8].該網(wǎng)絡(luò)的主要特點是信號向前傳遞，誤差反向傳播.在前向傳遞中，輸入信號從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，直至輸出層.每一層的神經(jīng)元狀態(tài)只影響下一層神經(jīng)元狀態(tài).如果輸出層得不到期望輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，根據(jù)預(yù)測誤差調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值，從而使BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出不斷逼近期望輸出.因此，BP網(wǎng)絡(luò)可以看作是解決函數(shù)逼近的工具.

本文中，隱層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)采用雙曲正切S型函數(shù)h，它類似于一個平滑的階梯函數(shù)：

h(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)

(2)

(3)

假設(shè)wi(k)為W(k)中的任意元素.調(diào)整wi(k)對誤差Ek的影響直接取決于偏導(dǎo)數(shù)(?Ek)/[?wi(k)].BP算法的作用在于如何評價(?Ek)/[?wi(k)].詳細內(nèi)容可參考文獻[9].這樣，wi(k)就向著減小誤差Ek的方向調(diào)整：

wi(k+1)=wi(k)-μ(?Ek)/[?wi(k)]，

?wi(k)∈W(k)

(4)

其中μ為常量，是指定的更新率.可以看出，如果μ足夠小時，則：

(5)

其中假設(shè)Ek>0.由式(5)可知，對于同樣的輸入?yún)?shù)x1,x2,…,xk，更新后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出更接近于真實函數(shù)輸出值.

Hecht-Nielsen[9]研究了分層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似非線性函數(shù)的能力.他在文獻[9]中表明，在確定的條件下，對于任意ε>0，存在一個三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(包含一個輸入層，一個輸出層和一個非線性隱含層)可以在均方誤差精確度ε范圍內(nèi)近似函數(shù)f.因此，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以應(yīng)用于工程實際中的大多數(shù)情況.

2.2 BPNN-HDMR的構(gòu)建

對大多數(shù)工程問題而言，非耦合項和低階耦合項對響應(yīng)函數(shù)影響較大.為此，BPNN-HDMR方法只考慮到一階耦合項，表達式如下：

(6)

高維模型的一般構(gòu)建流程[4-5]如下：

1)選取各設(shè)計變量中心位置的點x0=[x10,x20,…,xn0]作為中心點，計算得到f0.

6)將上面構(gòu)建的各階BPNN近似函數(shù)代入式(6)就得到了高維模型近似響應(yīng)函數(shù).

本文高維模型構(gòu)建時的精確度準(zhǔn)則和收斂準(zhǔn)則都是通過相對誤差來定義的.精確度準(zhǔn)則主要用于輸入變量之間耦合性的識別，所允許的相對誤差一般不超過10-4.由于本文方法具有較高精確度，所以本文針對測試函數(shù)收斂準(zhǔn)則所允許的相對誤差均取0.001；而對于工程問題，考慮到計算效率和一般工程要求的5%的近似精度，設(shè)置的相對誤差均取0.01.通過以上設(shè)置，在樣本點數(shù)一定時，由于本文方法將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力與高維模型的層級結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合，所以本文近似模型方法在近似非線性問題時較傳統(tǒng)方法具有更高的精度，建模效率也有所提高.

3 數(shù)值算例

3.1 評價指標(biāo)

為了測試近似模型近似效果，采用3種比較常用的評價指標(biāo)，R2(Rsquare),相對平均絕對誤差(relative average absolute error,RAAE)和相對最大絕對誤差(relative maximum absolute error,RMAE).這些指標(biāo)反映了BPNN-HDMR在新樣本點上的預(yù)測能力,其具體表達式請參考文獻[4].其中，R2是從整體上反映近似模型的精度，其值越接近1越好；RAAE也是從整體上反映近似模型的精度，其值越小越好；RMAE是一個局部指標(biāo)，描述了設(shè)計空間中某個局部區(qū)域的誤差，其值越小越好.

3.2 函數(shù)算例

首先選擇一個高維非線性測試函數(shù)：

xi∈[0,1]

(7)

采用相同數(shù)量的訓(xùn)練樣本點(計算費用相同)，分別采用BPNN，BPNN-HDMR和Kriging 3種方法進行建模并比較它們的精度，計算結(jié)果如表1所示(表中數(shù)據(jù)是計算100次的平均值).

表1 BPNN，BPNN-HDMR和Kriging方法比較

分析表中數(shù)據(jù)，對于同一測試函數(shù)，3種近似方法中，BPNN-HDMR方法的R2值最接近1，RAAE和RMAE也都最小.由對比可知，對于高維非線性問題，基于同樣數(shù)量的一組訓(xùn)練樣本，采用BPNN-HDMR方法得到的近似模型精度更高.

其次，增加高維非線性測試函數(shù)式(7)的維數(shù)

0≤xi≤1

(8)

來測試BPNN-HDMR方法的效率.式(8)中，維數(shù)d分別取d=10,30,50等不同值，假設(shè)每一維的訓(xùn)練樣本點數(shù)為9(經(jīng)測試，基本可以滿足精度要求)，表2中列出了各階HDMR計算費用的比較.

表2 各階HDMR建模費用的比較

4 工程應(yīng)用

為了驗證BPNN-HDMR在處理工程實際問題時的可行性，本文以某礦用自卸車全駕駛室式翻車保護裝置(ROPS)的優(yōu)化設(shè)計為例.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO 3471：2008[13]對ROPS進行非線性有限元分析，確保ROPS滿足標(biāo)準(zhǔn)ISO 3164:1992[14].通過仿真分析得到ROPS的變形量，為進一步優(yōu)化打下基礎(chǔ).安全駕駛室ROPS的有限元模型如圖1所示.

圖1 ROPS加載分析模型

ROPS框架采用殼單元模擬，焊接使用剛性殼單元模擬為一個載荷變換器[15].焊接連接處網(wǎng)格局部加密，計算時假設(shè)焊縫與母材材料特性相同(實際中焊縫一般不先破壞).單元大小設(shè)定為20 mm，其中四邊形單元54 951個，三角形單元1 389個，單元類型分別為S4R和S3R.本文ROPS材料為進口鋼板A710，屈服極限為690 MPa，斷裂極限為792 MPa，材料模型選擇金屬塑性材料模型，定義材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線.依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO 3471：2008進行載荷和約束的施加.其中，約束ROPS底部與車架連接處3個平動方向的自由度(UX，UY，UZ)，F(xiàn)C為側(cè)向力加載，F(xiàn)V為垂向力加載，F(xiàn)L為縱向力加載.標(biāo)準(zhǔn)撓曲極限量(Deflection-limiting volume ,DLV)與ROPS的側(cè)向間距為200 mm，垂向間距為110 mm，縱向間距為320 mm.分析時考慮幾何非線性和材料非線性.

4.1 優(yōu)化變量的選取

本文優(yōu)化的ROPS主要由一些不同厚度的矩形管和加強筋焊接而成.考慮對稱性和加工可行性，對稱的選取ROPS不同部位的矩形管厚度作為設(shè)計變量.各設(shè)計變量選取見圖1，取值范圍如表3所示．

表3 各優(yōu)化變量取值范圍

4.2 目標(biāo)函數(shù)的建立

通過非線性有限元分析可知，由于要考慮ROPS側(cè)向吸能問題，ROPS側(cè)向變形最接近DLV，因此側(cè)向變形為危險工況.根據(jù)企業(yè)要求，本文選取側(cè)向變形作為一個優(yōu)化目標(biāo)，以垂向和縱向變形為約束.因此以ROPS側(cè)向變形最小和ROPS質(zhì)量最小建立多目標(biāo)優(yōu)化問題，ROPS的多目標(biāo)優(yōu)化模型可以描述為：

(9)

式(9)中UC為ROPS的側(cè)向變形量；UV為ROPS的垂直變形量；UL為ROPS的縱向變形量；B1，B2分別為ROPS垂向和縱向的最大允許變形量；m為ROPS的總質(zhì)量.

4.3 近似模型的構(gòu)建

本文采用BPNN-HDMR構(gòu)建ROPS變形量和質(zhì)量響應(yīng)近似模型.對每個設(shè)計變量在其取值范圍內(nèi)等間距取點，取點數(shù)量根據(jù)構(gòu)建近似模型時是否達到預(yù)先設(shè)定的精度決定，通過ABAQUS計算獲得樣本點處的真實響應(yīng)值.首先構(gòu)建一階項，然后進行精度判斷.在設(shè)計變量空間，采用拉丁超立方實驗設(shè)計方法，選擇10個采樣點.分別對真實模型和近似模型進行計算，并計算兩者的相對誤差.如果相對誤差滿足給定精度要求(設(shè)定為5%)，則構(gòu)建近似模型成功，若精度不滿足要求，則繼續(xù)構(gòu)建高階項.

通過計算，本文所求近似模型只需計算到一階項，就可以得到比較精確的近似結(jié)果，可以省略高階耦合項.構(gòu)建過程中只需56個樣本點即得到滿足工程要求的近似模型.

為了客觀、全面地反映所建近似模型在設(shè)計域內(nèi)的精確程度，在設(shè)計域內(nèi)采用拉丁超立方實驗設(shè)計方法隨機生成10個測試樣本點，用它們分別對BPNN，BPNN-HDMR和Kriging模型進行精度測試，并以側(cè)向變形響應(yīng)精度為例，測試結(jié)果如表4所示.

表4 采用BPNN，BPNN-HDMR和Kriging方法所得側(cè)向變形近似模型的比較

由表4中數(shù)據(jù)可知，BPNN-HDMR解決此類工程問題具有高效準(zhǔn)確的優(yōu)點.同時，可以看出BPNN和Kriging方法在構(gòu)建高維非線性有限元模型時的局限性，本文需要增加采樣點數(shù)量才能用這兩種方法獲得比較精確的近似模型，這樣就增加了真實有限元模型的計算次數(shù)，而真實非線性有限元模型一次計算要數(shù)小時，導(dǎo)致計算花費大大增加.

4.4 優(yōu)化過程及結(jié)果分析

本文采用基于Pareto概念的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法，該方法是求解多目標(biāo)問題非劣最優(yōu)解的有效途徑之一[16].在基于Pareto最優(yōu)概念的遺傳算法中，NSGA-Ⅱ[17-18]是最有效的.因此，本文采用NSGA-Ⅱ，在近似模型的基礎(chǔ)上對ROPS進行多目標(biāo)優(yōu)化.

初始種群設(shè)為100，最大迭代次數(shù)設(shè)為200，交叉概率0.9，變異概率0.1.收斂規(guī)則為：達到最大迭代次數(shù)作為終止條件.得到Pareto最優(yōu)解集如圖2所示．

圖2中星號表示多目標(biāo)優(yōu)化非劣解.在優(yōu)化解集中取有代表性的10組解，多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解集見表5.ROPS優(yōu)化前側(cè)向變形和質(zhì)量如表6所示.對比表6與表5中第4組和第6組數(shù)據(jù)可以看出，在質(zhì)量相當(dāng)?shù)那闆r下，優(yōu)化后的側(cè)向變形大約減小了26.7 mm,在側(cè)向變形相當(dāng)?shù)那闆r下，優(yōu)化后的質(zhì)量大約減小了75.1 kg.因此，通過多目標(biāo)優(yōu)化，ROPS的質(zhì)量和變形情況明顯改善.同時，根據(jù)得到的Pareto最優(yōu)解集，可以根據(jù)設(shè)計者經(jīng)驗和需求，高效率地實現(xiàn)ROPS各矩形管厚度的選取，以滿足不同性能需要.

把優(yōu)化結(jié)果代入有限元計算模型驗證，計算結(jié)果如表7所示.

由ABAQUS計算驗證可知，所選優(yōu)化解都符合標(biāo)準(zhǔn)ISO 3164:1992的要求.這也證明了本文所提方法在工程優(yōu)化實際應(yīng)用中的可行性和有效性.同時，由于模型簡化掉了一些蒙皮和附屬部件，以及真實情況下車架也有一部分吸能作用，所以本文的分析結(jié)果是偏向安全的.

側(cè)向變形/mm

表5 雙目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解

表6 ROPS側(cè)向變形優(yōu)化前數(shù)據(jù)

表7 優(yōu)化后的響應(yīng)值A(chǔ)BAQUS計算驗證

5 結(jié) 論

本文提出的BPNN-HDMR建模方法，很好地利用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力與高維模型的層級結(jié)構(gòu)理論，并能夠反映輸入變量之間固有的線性關(guān)系和耦合性.尤其對于高維問題，它可以將構(gòu)造模型計算花費由維數(shù)的指數(shù)級增長降解為多項式級，有效地解決了高維建模問題，且與傳統(tǒng)算法相比，具有更高的精度.通過數(shù)值算例和工程優(yōu)化問題的對比，驗證了BPNN-HDMR近似方法的精度和效率.另外，該算法對于高度非線性問題精確的數(shù)學(xué)建模還需進一步發(fā)展和完善，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算效率也有待進一步提高.同時，本文所采用的結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化方法在工程領(lǐng)域的其他方面也可以廣泛應(yīng)用，具有一定的理論和工程實際意義.

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