顧志旭，鄭 堅(jiān)，彭 威，殷軍輝

(軍械工程學(xué)院火炮工程系，石家莊 050003)

固體發(fā)動(dòng)機(jī)中軸對(duì)稱界面端應(yīng)力奇異性研究①

顧志旭，鄭 堅(jiān)，彭 威，殷軍輝

(軍械工程學(xué)院火炮工程系，石家莊 050003)

從界面防護(hù)的角度出發(fā)，研究了溫度載荷下固體發(fā)動(dòng)機(jī)中彈性-粘彈性軸對(duì)稱界面端的奇異應(yīng)力場(chǎng)。依據(jù)對(duì)應(yīng)原理，由彈性-彈性界面端的特征方程獲得了彈性-粘彈性界面端的應(yīng)力奇異性指數(shù)。根據(jù)應(yīng)變匹配模型，推導(dǎo)了溫度載荷下軸對(duì)稱界面端中的常應(yīng)力項(xiàng)。針對(duì)現(xiàn)有的應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端，分析了材料參數(shù)和結(jié)合角對(duì)其應(yīng)力奇異性指數(shù)的影響規(guī)律，在不改變裝藥量的前提下，提出了弱奇異性或無(wú)奇異性界面端的設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，自由邊呈平角時(shí)界面端至多存在-0.1的弱奇異性，界面端應(yīng)力集中水平顯著降低。

固體發(fā)動(dòng)機(jī);軸對(duì)稱界面端;奇異應(yīng)力場(chǎng);常應(yīng)力項(xiàng)

0 引言

固體發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)通常存在著殼體/絕熱層、絕熱層/包覆層、包覆層/推進(jìn)劑等多個(gè)界面。界面失效是發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性破壞的主要形式之一。從固體力學(xué)的角度而言，粘結(jié)強(qiáng)度和應(yīng)力水平是影響界面粘結(jié)質(zhì)量的兩大決定性因素，當(dāng)界面應(yīng)力超過(guò)界面的粘結(jié)強(qiáng)度時(shí)，界面發(fā)生破壞。界面的粘結(jié)強(qiáng)度依賴于結(jié)合材料的理化性能和工藝條件，而界面應(yīng)力主要取決于結(jié)構(gòu)部件的構(gòu)型和負(fù)載工況。結(jié)合材料成型后，不考慮老化損傷時(shí)，界面的失效主要取決于界面的應(yīng)力水平。

針對(duì)固體發(fā)動(dòng)機(jī)中界面脫粘問(wèn)題，國(guó)內(nèi)學(xué)者從界面應(yīng)力的角度出發(fā)，開(kāi)展了一系列的研究。史宏斌等［1］分析了內(nèi)聚空洞對(duì)推進(jìn)劑/襯層界面應(yīng)力的影響。楊月誠(chéng)等［2］討論了發(fā)動(dòng)機(jī)充氣內(nèi)壓對(duì)藥柱/殼體界面應(yīng)力的影響。鄭曉亞等［3］研究了固體裝藥在掛飛工況下，殼體/絕熱層界面應(yīng)力的分布規(guī)律。上述研究主要關(guān)注了應(yīng)力在整個(gè)界面上的分布，而忽視了界面端應(yīng)力場(chǎng)的奇異性。大量研究表明，界面端的奇異應(yīng)力場(chǎng)是誘發(fā)界面破壞的主要因素［4-5］。

本文針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)中的應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑(彈性/粘彈性)軸對(duì)稱界面端，分析了界面端奇異應(yīng)力場(chǎng)隨材料性能和結(jié)合角的變化規(guī)律，進(jìn)一步提出了弱奇異性或無(wú)奇異性界面端的設(shè)計(jì)，所得結(jié)論可為發(fā)動(dòng)機(jī)界面設(shè)計(jì)提供一定參考。

1 界面端奇異應(yīng)力場(chǎng)

1.1 固體發(fā)動(dòng)機(jī)中的界面端

某型固體發(fā)動(dòng)機(jī)主要有殼體、絕熱層、包覆層、推進(jìn)劑及應(yīng)力釋放罩組成，如圖1所示。

圖1 固體發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of solid motor

應(yīng)力釋放罩一般由包覆層材料成型，與推進(jìn)劑因發(fā)生組分遷移和水解反應(yīng)而較易脫粘［6］。若將包覆層視為彈性材料，則應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端為典型的彈性-粘彈性軸對(duì)稱界面端。

1.2 彈性-彈性界面端

當(dāng)兩相彈性材料形成圖2所示的平面界面端時(shí)，O點(diǎn)附近的應(yīng)力場(chǎng)具有以下分布特征［7］:

式中 r，θ為以 o點(diǎn)為原點(diǎn)的極坐標(biāo);Km為與結(jié)合角θ1和 θ2、材料常數(shù)及外載有關(guān)的應(yīng)力強(qiáng)度系數(shù);ωm和(θ)為應(yīng)力奇異性指數(shù)和應(yīng)力角分布函數(shù);σ 為熱0載荷作用時(shí)附加的常應(yīng)力項(xiàng);N為奇異性指數(shù)的數(shù)目。

圖2 平面界面端Fig.2 Plane joint

式(1)中，應(yīng)力強(qiáng)度系數(shù)K和應(yīng)力奇異性指數(shù)ω是決定應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力水平的主要參數(shù)。應(yīng)力強(qiáng)度系數(shù)K不能解析表達(dá)，一般由數(shù)值結(jié)果擬合獲得。應(yīng)力奇異性指數(shù)ω僅與材料參數(shù)和結(jié)合角有關(guān)，一般由特征函數(shù)展開(kāi)法［7］、Mellin 變換法［8］或復(fù)應(yīng)力函數(shù)法［4］建立的如下特征方程解得22

式中 λ為方程的特征值;α和β為Dundurs參數(shù);κ在平面應(yīng)力時(shí)為(3-4ν)/(1+ν)，平面應(yīng)變時(shí)為 3-4ν;Γ為剪切模量μ2/μ1之比;ν為泊松比;下標(biāo)表示材料1、2，下同。

通常，特征方程(2)存在著多個(gè)特征根，當(dāng)且僅當(dāng)0＜Re(λm)＜1時(shí)(Re表示取實(shí)部)，界面端的應(yīng)力場(chǎng)才具有奇異性，此時(shí)有

若特征方程只具有一個(gè)奇異特征值，對(duì)式(1)取對(duì)數(shù)，有

可見(jiàn)，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，應(yīng)力與極徑呈線性關(guān)系，且應(yīng)力奇異性指數(shù)為擬合直線的斜率。

1.3 彈性-粘彈性界面端

粘彈性材料的性能與時(shí)間相關(guān)，由其組成的界面端的應(yīng)力奇異性指數(shù)ω必然也與時(shí)間相關(guān)。在理論上，求取應(yīng)力奇異性指數(shù)時(shí)，需要借助于特征方程，而基于彈性-粘彈性對(duì)應(yīng)原理，可直接由彈性-彈性界面端的特征方程變換獲得彈性-粘彈性界面端的特征方程。

為便于實(shí)施變換，將粘彈性材料的松弛模量簡(jiǎn)化為

式中 μ2(0)、μ2(∞)分別為初始模量和持久模量;1/φ為松弛時(shí)間。

假定粘彈性材料的泊松比為常數(shù)，由對(duì)應(yīng)原理可得［9］

1.4 軸對(duì)稱界面端的常應(yīng)力項(xiàng)

研究表明，軸對(duì)稱界面端和對(duì)應(yīng)平面應(yīng)變界面端具有相同的應(yīng)力奇異性指數(shù)［10］，但常應(yīng)力項(xiàng)σ0不同。Munz［7］指出常應(yīng)力項(xiàng)對(duì)奇異應(yīng)力場(chǎng)的分布具有重要的影響，并給出了平面問(wèn)題下的解析表達(dá)式。然而，對(duì)于圖3所示的軸對(duì)稱界面端，尚未查閱到有關(guān)常應(yīng)力項(xiàng)的報(bào)道。

圖3 軸對(duì)稱界面模型Fig.3 Axisymmetric interface model

Blanchard和 Ghoniem［11］在研究平面界面端的奇異熱應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，提出了應(yīng)變匹配模型，即奇異點(diǎn)處的應(yīng)變?cè)跓釕?yīng)力和常應(yīng)力項(xiàng)的共同作用下相互匹配?？沈?yàn)證，基于此模型可便捷地推導(dǎo)獲得文獻(xiàn)［7］中的常應(yīng)力項(xiàng)［12］。因此，本文假定軸對(duì)稱界面端也符合應(yīng)變匹配模型，在求得常應(yīng)力項(xiàng)后，用數(shù)值方法進(jìn)行驗(yàn)證。

對(duì)于圖3中的軸對(duì)稱界面端，應(yīng)變匹配模型假定，兩相材料在界面處光滑接觸，同時(shí)在內(nèi)外表面受壓力P的作用。在溫度ΔT和壓力P的共同作用下，奇異點(diǎn)O′處徑向應(yīng)變相等，且此時(shí)的壓力P就為界面端在溫度載荷作用時(shí)的常應(yīng)力項(xiàng)。

依據(jù)彈性理論，軸對(duì)稱應(yīng)力具有以下分布特征

式中 A、C為待定參數(shù)。

由應(yīng)力邊界條件得

對(duì)圖3中的模型，取表1中的材料組合，分析其在ΔT=-103℃下O′點(diǎn)處徑向應(yīng)力的分布。其中，ra、rb和 rc分別為 100、200、300 mm。

邊界修正的基本思路是對(duì)聚類(lèi)邊界的稀疏網(wǎng)格單元做進(jìn)一步劃分，考察其子單元是否滿足一定條件，將滿足條件的子單元合并到相鄰的稠密單元，補(bǔ)全聚類(lèi)邊界。該方法針對(duì)CLIQUE算法采用固定寬度劃分的缺點(diǎn)，對(duì)所有位于聚類(lèi)邊界的稀疏網(wǎng)格單元進(jìn)行處理，將它們等分為2n個(gè)子單元，統(tǒng)計(jì)每個(gè)子單元中數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量，判斷這些子單元的密度是否大于或等于給定的密度閾值且緊鄰于某一個(gè)稠密單元，如果條件成立，則將子單元合并到鄰近的稠密單元，否則不作處理。具體步驟如下：

表1 材料組合Table 1 Material combination

由特征方程求得的應(yīng)力奇異性指數(shù)ω=-0.08，式(13)解得的常應(yīng)力項(xiàng)σ0=-0.034 MPa。依據(jù)式(4)作圖4，圖中離散點(diǎn)為對(duì)數(shù)應(yīng)力值，實(shí)線為擬合直線，下同。

圖4 界面應(yīng)力分布Fig.4 Interfacial stress distribution

圖4給出了考慮和不考慮常應(yīng)力項(xiàng)σ0時(shí)的應(yīng)力分布曲線。由圖4可知，無(wú)σ0時(shí)擬合直線的斜率為-0.36，含 σ0時(shí)為-0.06，而理論值為-0.08?？梢?jiàn)，考慮常應(yīng)力項(xiàng)σ0時(shí)，式(1)能較好地表征界面端應(yīng)力場(chǎng)的奇異特性，同時(shí)也說(shuō)明，基于應(yīng)變匹配模型獲得的軸對(duì)稱常應(yīng)力項(xiàng)具有一定的準(zhǔn)確度。

在彈性-粘彈性軸對(duì)稱界面端中，溫度載荷下的常應(yīng)力項(xiàng)可依據(jù)對(duì)應(yīng)性原理由式(13)求得，拉氏逆變換時(shí)，可采用近似的方法處理［13］。

2 應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端奇異指數(shù)研究

材料參數(shù)和結(jié)合角是影響界面端應(yīng)力奇異性指數(shù)的兩大決定性因素，降低應(yīng)力奇異性指數(shù)(應(yīng)力集中程度)，需要從以上2個(gè)因素予以考慮。

2.1 材料參數(shù)的影響

應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端的初始結(jié)合角為84°/141°(見(jiàn)圖1)，此時(shí)奇異特征值的分布見(jiàn)圖5。

圖5 奇異特征值分布Fig.5 Singular eigenvalue distribution

由圖5可見(jiàn)，結(jié)合角為84°/141°時(shí)，在大部分材料組合下界面端應(yīng)力存在著奇異性，且當(dāng)α＜0.5時(shí)，奇異特征值隨β的增大而減小，應(yīng)力奇異性增強(qiáng)，當(dāng)α＞0.9時(shí)，奇異特征值隨著β的增大而減小。只有當(dāng)α接近0.54時(shí)，奇異特征值約為0.99，應(yīng)力奇異性基本消失，此時(shí)的材料組合為最佳組合。

根據(jù)廠家提供的材料數(shù)據(jù)以及應(yīng)力釋放罩材料性能與推進(jìn)劑相近的原則［14］，給出應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面可能的材料組合范圍:?！蕖?0.1，10)且ν1∈(0.45，0.5)。其中，Γ0/?！?5，Γ0=μ2(0)/μ1，Γ∞=μ2(∞)/μ1。此時(shí)，由式(6)和式(7)確定的 Dundurs參數(shù)的分布如圖6所示。

圖6 Dundurs參數(shù)的分布Fig.6 Dundurs parameters distribution

在圖6中，曲線的左右端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)初始時(shí)刻t0與持久時(shí)刻 t∞。由圖6可知，當(dāng) ?！蕖?0.1，10)時(shí)，α∈(-1，1)且 β∈(-0.09，0.003)，同時(shí) α 和 β 均隨時(shí)間的增加而增大。泊松比ν1增大時(shí)，β絕對(duì)值有所增加，但即使 ν1=0.5 時(shí)，β 也不大于 0.004。因此，在應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面可能的材料組合范圍內(nèi)有α∈(-1，1)，且 β∈(-0.09，0.004)。此時(shí)，奇異特征值的分布見(jiàn)圖7。

圖7 應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端特征值的分布Fig.7 Eigenvalue distribution of cover/propellant joint

由圖7可見(jiàn)，在可能的組合范圍內(nèi)(圖中陰影區(qū)域)，界面端在大部分材料組合下具有-0.35～-0.3的奇異性，少數(shù)組合下(α≈0.54)無(wú)奇異性或只有弱奇異性(弱奇異性指λ＞0.9)?？紤]到奇異性指數(shù)的時(shí)間相關(guān)性，可知84°/141°的界面端難以長(zhǎng)久保持無(wú)奇異或弱奇異的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力集中的現(xiàn)象難以徹底消除，界面破壞的幾率依然較高。

2.2 結(jié)合角的影響

在應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端中，改變結(jié)合角θ2會(huì)影響發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥量，故只調(diào)整結(jié)合角θ1。θ1增大時(shí)界面端趨于界面裂紋，應(yīng)力奇異性增強(qiáng)，趨近于-0.5，θ1減小時(shí)，奇異特征值的變化見(jiàn)圖 8。

圖8 界面端奇異特征值分布Fig.8 Singular eigenvalue distribution of joint

圖8給出了結(jié)合角θ1為54°和39°時(shí)，奇異特征值的分布圖。由圖8可見(jiàn)，奇異特征值隨著θ1的減小而整體向第一象限移動(dòng)。當(dāng)θ1減小為39°時(shí)，第三象限無(wú)實(shí)特征值，第四象限的特征值幾乎不小于0.9。此時(shí)，復(fù)奇異特征值的分布如圖9所示。

圖9 39°/141°界面端特征值的分布Fig.9 Eigenvalue distribution of 39°/141°joint

由圖9可見(jiàn)，實(shí)特征值的分布與圖8(b)吻合，復(fù)特征值僅分布在第一象限。結(jié)合圖7知，在不改變發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量的前提下，當(dāng)θ1減小為39°，界面端自由邊呈平角時(shí)，在可能的材料組合下，界面端應(yīng)力場(chǎng)在任意時(shí)刻至多具有-0.1的弱奇異性。當(dāng)材料組合滿足α＜0時(shí)，界面端無(wú)奇異性。θ1繼續(xù)減小時(shí)，第四象限內(nèi)的特征值繼續(xù)增大，應(yīng)力奇異性繼續(xù)消除。但此時(shí)奇異性的微小變化對(duì)應(yīng)力值的影響甚微。因此，認(rèn)定平角界面端為最佳設(shè)計(jì)。

2.3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述結(jié)論，下文計(jì)算低溫-45℃環(huán)境中，84°/141°和 39°/141°設(shè)計(jì)下，應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑界面端的奇異應(yīng)力場(chǎng)。計(jì)算時(shí)采用子模型法，以獲取較為精確的應(yīng)力值。在非直角軸對(duì)稱界面端模型中，采用應(yīng)變匹配模型，求取溫度載荷下的常應(yīng)力項(xiàng)存著困難，此處仍采用圖3中的模型對(duì)常應(yīng)力項(xiàng)作近似處理。

相關(guān)幾何尺寸見(jiàn)表2，低溫-45℃下材料參數(shù)見(jiàn)表3。

表2 幾何參數(shù)Table 2 Geometry parameters

表3 材料參數(shù)Table 3 Material parameters

限于篇幅，文中僅給出t=3 000 s時(shí)，極坐標(biāo)下界面前段正應(yīng)力的分布，見(jiàn)圖10。

圖10 界面正應(yīng)力分布Fig.10 Normal stress distribution on interface

由圖10可見(jiàn)，θ1分別為84°和39°時(shí)，界面端的最大拉應(yīng)力分別為 0.31 MPa 和 0.1 MPa，84°界面端應(yīng)力集中的程度明顯強(qiáng)于39°的界面端。此外，雖然在1＜L/H＜7(H=5mm)段，39°界面端的應(yīng)力值高于 84°的界面端，但因奇異點(diǎn)(L=0)的應(yīng)力在界面的破壞中占主要地位，39°界面端的設(shè)計(jì)仍優(yōu)于84°的設(shè)計(jì)。

雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下界面正應(yīng)力的分布如圖11所示。

圖11 界面正應(yīng)力分布Fig.11 Normal stress distribution on interface

由圖11可知，當(dāng)結(jié)合角由84°減小為39°時(shí)，應(yīng)力奇異性指數(shù)由-0.37 減小為-0.02，而理論值由-0.4減小為0，變化規(guī)律基本符合圖8。注意到在lg(L/H)=0處兩擬合直線相交，這表明結(jié)合角由84°減小為39°時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度系數(shù)并未增大。此外，從圖10和圖11可看出，距界面奇異點(diǎn)約35 mm處，不同結(jié)合角下應(yīng)力分布曲線相互重合，這說(shuō)明結(jié)合角的變化對(duì)界面端以外區(qū)域(L≥35 mm)的應(yīng)力場(chǎng)幾乎無(wú)影響。因此，有必要將應(yīng)力釋放罩/推進(jìn)劑的界面端設(shè)計(jì)為平角形式，而不必考慮其對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)的不利影響。

3 結(jié)論

(1)基于應(yīng)變匹配模型推導(dǎo)的常應(yīng)力項(xiàng)具有一定的準(zhǔn)確度，可用來(lái)描述溫度載荷下軸對(duì)稱界面端的奇異應(yīng)力場(chǎng)。

(2)當(dāng)應(yīng)力釋放罩與推進(jìn)劑材料相近時(shí)，界面端Dundurs參數(shù) α∈(-1，1)，且 β∈(-0.09，0.003)。在84°/141°的原始設(shè)計(jì)下，界面端應(yīng)力場(chǎng)存在著-0.3～-0.35 的奇異性。

(3)應(yīng)力釋放罩的結(jié)合角減小至39°時(shí)，界面端應(yīng)力場(chǎng)在任意時(shí)刻至多存在-0.1的弱奇異性，界面端應(yīng)力集中的現(xiàn)象得以消除，界面應(yīng)力破壞的幾率降低。

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(編輯:崔賢彬)

Study of singular stress fields around axisymmetric joints in solid motor

GU Zhi-xu，ZHENG Jian，PENG Wei，YIN Jun-hui
(Department of Artillery Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China)

Singular stress fields around axisymmetric elastic-viscoelastic joint under temperature loading in solid motor were studied for the purpose of interface protection.The singular exponent of elastic-viscoelastic axisymmetric joint was obtained from the eigenvalue equation of elastic-elastic joint based on the elastic-viscoelastic correspondence principle.The regular stress term of axisymmetric joint under temperature loading was deduced on the basis of the strain match model.Aimed at the original design of stress release cover/propellant joint，the effects of bonded material parameters and bonded angular on stress singular exponent were analyzed，and the weak singularity or without singularity design of joint was put forward on the condition that the charge will not be changed.Results show that there is one about-0.1 week singularity at most when the free edges of joint form a straight angle，the stress concentration level will be declined obviously.

solid motor;axisymmetric joint;singular stress fields;regular stress term

V438

A

1006-2793(2014)04-0510-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2014.04.015

2013-09-29;

2013-10-22。

顧志旭(1988—)，男，碩士，研究方向?yàn)楣腆w發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性分析。E-mail:lemberry@163.com