郭 進(jìn)，王君杰，董正方

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

基于性能的抗震設(shè)計(jì)理論是Bertero等［1－2］首先提出的。這種思想已廣泛被接受，并得到日益深入的研究和應(yīng)用，在實(shí)踐中也已取得巨大的成功。基于性能的抗震設(shè)計(jì)要求較為準(zhǔn)確地計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，并對(duì)結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的性能做出合理的評(píng)價(jià)。但是目前國(guó)內(nèi)外規(guī)范［3－6］一般都將鋼筋混凝土橋墩的地震反應(yīng)計(jì)算和性能評(píng)估分開，其基本設(shè)計(jì)思想是D＜C，即需求小于能力。這種不考慮地震反應(yīng)與能力相互作用，強(qiáng)行將反應(yīng)與能力獨(dú)立開來(lái)的設(shè)計(jì)方法是不準(zhǔn)確的，與鋼筋混凝土的材料特性和基本的力學(xué)知識(shí)不符。導(dǎo)致這種不符原因有未考慮動(dòng)軸力現(xiàn)象、未考慮雙向彎曲現(xiàn)象、未考慮強(qiáng)度退化現(xiàn)象。針對(duì)這一問(wèn)題，本文著重考慮損傷導(dǎo)致的強(qiáng)度退化現(xiàn)象。

鋼筋混凝土橋墩是帶損傷工作的，基于性能的抗震設(shè)計(jì)方法允許結(jié)構(gòu)在較大地震作用下產(chǎn)生損傷。一般情況下，其能力（強(qiáng)度等）會(huì)隨著損傷的發(fā)展而降低。強(qiáng)度退化程度與地震反應(yīng)大小是相關(guān)的，在反應(yīng)計(jì)算中，需要不斷地根據(jù)反應(yīng)確定強(qiáng)度退化的大小，即不斷地對(duì)能力進(jìn)行修正。能力的改變又會(huì)繼續(xù)影響反應(yīng)的大小，因此，能力與反應(yīng)是相互耦合的。

從以上可以看出，為了準(zhǔn)確地反映構(gòu)件在地震作用時(shí)的特性，需要考慮損傷導(dǎo)致的強(qiáng)度退化，即考慮地震反應(yīng)對(duì)構(gòu)件能力的影響。本文將給出具體的考慮強(qiáng)度退化方法，提出鋼筋混凝土橋墩考慮反應(yīng)與能力相互作用的方法和設(shè)計(jì)流程，最后通過(guò)算例說(shuō)明所提方法的可行性。

1 強(qiáng)度退化的考慮方法

可以采用兩種方式考慮強(qiáng)度退化［7］，它們均以再加載曲線指向峰值點(diǎn)的滯回模型為基礎(chǔ)。第一種通過(guò)改變滯回模型的骨架曲線（圖1（a）），第二種通過(guò)改變?cè)偌虞d指向點(diǎn)的承載力或變形來(lái)反映強(qiáng)度退化（圖1（b））。圖1中F是橫向力，u是橫向位移。圖1（a）中是正向再指向點(diǎn)的屈服力，2）是負(fù)向向再指向點(diǎn)的屈服力。圖1（b）中是正向力再加載指向點(diǎn)的位移增量，p是正向力的退化大小是負(fù)向力的退化大小。從現(xiàn)有研究文獻(xiàn)來(lái)看，第一種方式應(yīng)用較多，如Wang等［8］提出的強(qiáng)度退化模型便屬于第一種方式。

圖1 指向峰值點(diǎn)的滯回模型的強(qiáng)度退化示意圖Fig．1 Strength deterioration in peak oriented model

本文采用圖1（a）所示的通過(guò)改變滯回模型的骨架曲線的方式考慮強(qiáng)度退化現(xiàn)象。

1.1 強(qiáng)度退化的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式

鋼筋混凝土強(qiáng)度退化的機(jī)理較為復(fù)雜，但一般可以認(rèn)為鋼筋混凝土的強(qiáng)度退化與其損傷緊密相關(guān)。所以從邏輯來(lái)講，可以建立強(qiáng)度退化與損傷指標(biāo)之間的關(guān)系。文獻(xiàn)［9］中通過(guò)已有的強(qiáng)度退化模型，總結(jié)出了一般的改變骨架曲線的強(qiáng)度退化滯回模型（圖1（a））的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中，S為退化后的強(qiáng)度值，可以是力或彎矩等；S0為發(fā)生強(qiáng)度退化前的強(qiáng)度；f（D）為強(qiáng)度退化函數(shù)，與構(gòu)件的特征有關(guān)。

損傷尚未發(fā)生時(shí)，不發(fā)生強(qiáng)度退化，即當(dāng)D＝0時(shí)，ΔS＝0，代入式（2）可得

另外，退化后的強(qiáng)度不能超過(guò)初始強(qiáng)度，也不能為負(fù)值，即有0≤S≤S0，代入式（1）可得

式（4）是強(qiáng)度退化函數(shù)f（D）的邊界條件。

從式（2）可以看出，確定強(qiáng)度退化本質(zhì)上歸結(jié)為確定強(qiáng)度退化函數(shù)f（D）。

1.2 強(qiáng)度退化模型的建立

目前廣泛用于模擬鋼筋混凝土的滯回模型有：雙線型模型、Clough模型［10］、Takeda模型［11］等。以上 3種模型都沒(méi)有考慮強(qiáng)度退化現(xiàn)象，其中雙線型模型不能考慮剛度退化。Clough模型相對(duì)簡(jiǎn)單，本文以Clough模型為基礎(chǔ)，通過(guò)改變滯回模型的骨架線來(lái)體現(xiàn)強(qiáng)度退化，如圖2所示，M為彎矩，θ為轉(zhuǎn)角，k1、k2分別是初始剛度和強(qiáng)化剛度。圖 2中，Myi（i＝1，2，3，4）是考慮強(qiáng)度退化后的屈服彎矩。My為屈服彎矩。

圖2 考慮強(qiáng)度退化的Clough滯回模型Fig．2 Cloughmodel considering strength degradation

滯回模型的滯回規(guī)則為：① 首次加載時(shí)按骨架曲線前進(jìn)；② 任何時(shí)候的卸載剛度與屈服前加載剛度相同；③ 在卸載階段再加載時(shí)，將沿著卸載線加載，直至卸載開始點(diǎn)，如圖2中，當(dāng)從點(diǎn)13加載至點(diǎn)14后卸載至點(diǎn)15，再加載路徑為15→14→16；④ 反向加載指向點(diǎn)為所指方向的最大位移點(diǎn)。如圖2中，由點(diǎn)9反向加載時(shí)，指向最大位移點(diǎn)10，點(diǎn)10與點(diǎn)5的曲率相同，是點(diǎn)5考慮強(qiáng)度退化后的點(diǎn)。但是有一個(gè)例外，當(dāng)所指方向尚未屈服時(shí)，則指向屈服點(diǎn)。如圖2中3→4，其中4點(diǎn)為考慮強(qiáng)度退化后的屈服點(diǎn)。

將式（1）應(yīng)用于此處考慮強(qiáng)度退化的Clough滯回模型，其強(qiáng)度退化關(guān)系為：

式中，Di是指向Myi某一時(shí)刻的損傷值。在確定式（5）中強(qiáng)度退化關(guān)系之前，需要確定彎矩－轉(zhuǎn)角層面的損傷指標(biāo)。

2 累積損傷模型

評(píng)價(jià)鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷模型可以分為4種：① 非累積損傷模型；② 基于變形的累積損傷模型；③基于能量的累積損傷模型；④ 基于變形和能量的混合損傷模型。試驗(yàn)現(xiàn)象表明，鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷與耗能和變形都有關(guān)系，而且損傷具有累積效應(yīng)，因此第4種類型的損傷模型具有更好的適用性。其中廣為應(yīng)用的是Park等［12－13］提出的變形與能量混合的損傷模型：

式中，δm為最大位移，δu為構(gòu)件的極限位移，β為組合系數(shù)，d E為耗能增量，F(xiàn)y為屈服力。Park-Ang模型有兩個(gè)缺點(diǎn)：① 上下界不收斂；② 沒(méi)有考慮不同變形幅值下相同耗能所造成的損傷不同的試驗(yàn)現(xiàn)象。針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，王東升等［14］提出了改進(jìn)的Park-Ang模型：

其中βi是能量加權(quán)因子，與加載路徑有關(guān)，δy為屈服位移。

Park-Ang模型是以力－位移關(guān)系為基礎(chǔ)的。Kun-nath等［15］以 Park-Ang模型為基礎(chǔ)，去掉可恢復(fù)變形，建立了彎矩－曲率損傷模型：

式中，θm是最大轉(zhuǎn)角反應(yīng)，θr是可恢復(fù)的轉(zhuǎn)角變形，θu是極限轉(zhuǎn)角變形，My是屈服彎矩，ET是耗能，β是強(qiáng)度退化函數(shù)。

文獻(xiàn)［16］中以Park-Ang模型為基礎(chǔ)，參考王東升等人的改進(jìn)，提出了彎矩－轉(zhuǎn)角層面的損傷模型為：

式（9）在文獻(xiàn)［16］中可以被用于評(píng)價(jià)考慮三維受力（動(dòng)軸力和雙向彎曲）構(gòu)件。本文考慮定軸力和單向彎曲的情況，式（9）各參量的計(jì)算可以由文獻(xiàn)［16］中的計(jì)算方法簡(jiǎn)化得來(lái)。式（9）中，第一項(xiàng)為位移項(xiàng)損傷，第二項(xiàng)為耗能項(xiàng)損傷。β為組合系數(shù)。μ—θ，max是最大規(guī)格化轉(zhuǎn)角延性系數(shù)。按式（10）計(jì)算，其中 θy、θu、θm分別為屈服轉(zhuǎn)角、極限轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角（取絕對(duì)值）：

式（9）中d Ep是塑性耗能增量，按式（11）計(jì)算，其中是彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系的彈性剛度：

式（9）中Emon（θ）是單調(diào)加載至破壞時(shí)的塑性耗能。本文不考慮強(qiáng)化剛度，按理想彈塑性計(jì)算，Emon（θ）可以簡(jiǎn)化為：

式（9）中 αmax是耗能修正項(xiàng)，按式（13）計(jì)算：

式（13）中，β1∈［0，＋∞）為耗能修正項(xiàng)的指數(shù)，為常數(shù)；β2∈［0，＋∞），為常數(shù)。

至此，可以看出，式（9）有三個(gè)模型參數(shù) β、β1、β2，其中 β1、β2滿足下式［16］：

參數(shù)的取值如下：β＝0．1，β1＝1．5，β2＝2．5。性能狀態(tài)的劃分如表1所示：

表1 性能狀態(tài)的劃分Tab．1 Classification of performance state

與Park-Ang模型相比，式（9）所示的損傷模型解決了上下界收斂問(wèn)題，保證了損傷值單調(diào)不減的特征。因此本文采用此模型作為式（5）所示強(qiáng)度退化函數(shù)中的損傷指標(biāo)。

3 地震反應(yīng)與能力相互作用

國(guó)內(nèi)外規(guī)范［3－6］中規(guī)定的地震反應(yīng)計(jì)算和驗(yàn)算并未考慮反應(yīng)與能力的相互作用。延性驗(yàn)算時(shí)，要求構(gòu)件的變形延性滿足既定的性能要求，并未考慮強(qiáng)度退化對(duì)構(gòu)件能力的影響。其地震反應(yīng)計(jì)算和驗(yàn)算流程如圖3所示。

不考慮能力與反應(yīng)相互作用的方法并不能準(zhǔn)確地計(jì)算構(gòu)件的地震反應(yīng)，也不能準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)構(gòu)件的損傷程度。第1節(jié)建立了強(qiáng)度退化的考慮方法，這可以用于計(jì)算過(guò)程中根據(jù)反應(yīng)的大小，確定由于強(qiáng)度退化導(dǎo)致的構(gòu)件能力的降低。第2節(jié)確定了累積損傷模型，這一指標(biāo)可以用在強(qiáng)度退化函數(shù)中以評(píng)價(jià)強(qiáng)度退化的程度，同時(shí)也可以用于評(píng)估構(gòu)件的破壞程度，為性能設(shè)計(jì)提供直接的定量標(biāo)準(zhǔn)?？梢钥偨Y(jié)出考慮能力與反應(yīng)相互作用的地震反應(yīng)計(jì)算與驗(yàn)算流程，如圖4所示。

圖3 不考慮能力與反應(yīng)相互作用的設(shè)計(jì)方法Fig．3 Design method without consideration of interaction between ability and response

圖4 考慮能力與反應(yīng)相互作用的設(shè)計(jì)方法Fig．4 Designmethod with consideration of interaction between ability and response

從上圖可以看出，考慮能力與反應(yīng)相互作用時(shí)，能力會(huì)隨著地震反應(yīng)的變化而變化。在考慮能力與反應(yīng)相互作用的方法中，性能評(píng)價(jià)需要在計(jì)算反應(yīng)的過(guò)程中同步進(jìn)行，因?yàn)槟芰Φ慕档褪桥c損傷程度相關(guān)的。計(jì)算完成時(shí)，構(gòu)件的損傷值也已計(jì)算完成，進(jìn)而可以直接評(píng)估構(gòu)件的性能。

上述過(guò)程可以在有限元程序中實(shí)現(xiàn)，若非線性迭代計(jì)算采用Newton-Raphson方法，其實(shí)現(xiàn)的基本流程如圖5所示。其中灰底斜體字方框?yàn)榭紤]能力與反應(yīng)相互作用方法所特有的。若采用的是彎矩－轉(zhuǎn)角（例如式（9）所示的形式）或彎矩－曲率層面的損傷模型，那么這些特有的步驟都是在單元內(nèi)部實(shí)現(xiàn)的，對(duì)整個(gè)有限元程序的框架沒(méi)有影響，這將給有限元程序的編寫或者二次開發(fā)帶來(lái)方便。

圖5 考慮能力與反應(yīng)相互作用的有限元流程圖（修正的Newton-Raphson方法）Fig．5 Finite-Element Process with consideration of interaction between ability and response（Modified Newton-Raphson Mathod）

4 方法驗(yàn)證

第3節(jié)介紹了考慮地震反應(yīng)與能力相互作用的考慮方法和有限元程序?qū)崿F(xiàn)途徑。這一節(jié)將介紹上述方法進(jìn)行驗(yàn)證。在Opensees2．0．0版本源代碼基礎(chǔ)上進(jìn)行二次開發(fā)，增加了能夠考慮強(qiáng)度退化的塑性鉸單元。

4．1 骨架曲線下降段的實(shí)現(xiàn)

以一個(gè)懸臂柱為例，柱頂施加單調(diào)增加的位移荷載，柱底設(shè)置一個(gè)塑性鉸。其彎矩－轉(zhuǎn)角骨架曲線如圖6所示，其強(qiáng)化系數(shù)約為1%。

圖6 彎矩轉(zhuǎn)角骨架曲線Fig．6 Skeleton curve of Moment-Rotation

若其強(qiáng)度退化函數(shù)的定義為：

強(qiáng)度退化函數(shù)的圖示如下圖所示：

圖7 強(qiáng)度退化函數(shù)的取值Fig．7 Value of strength degradation function

計(jì)算得到的損傷值D和強(qiáng)度退化函數(shù)值f（D）與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系如圖8所示：

計(jì)算得到的彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖9所示：

圖8 損傷值D和強(qiáng)度退化函數(shù)值f（D）與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系Fig．8 The relationship between damage，strength degradation function and rotation

圖9 彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig．9 The relationship ofmoment-rotation

比較圖6和圖9可以發(fā)現(xiàn)，雖然骨架曲線是雙線性的，沒(méi)有負(fù)剛度段，但是考慮反應(yīng)與能力的相互作用，通過(guò)定義合適的強(qiáng)度退化函數(shù)也可以實(shí)現(xiàn)類似于考慮強(qiáng)度退化的骨架曲線。在數(shù)值計(jì)算中，骨架曲線的負(fù)剛度段可能帶來(lái)非線性求解方面的困難，本文所提的這種方式從一定程度上可以避免這種困難。

4．2 試驗(yàn)驗(yàn)證

Takemura和 Kawashima（1997）［17］進(jìn)行的一組試驗(yàn)（試件編號(hào)為TP001～TP006）。該組試驗(yàn)6個(gè)試件的尺寸與配筋構(gòu)造均完全相同。試件為鋼筋混凝土懸臂柱。如圖10所示，截面尺寸為400 mm×400 mm，截面有效高度h0＝360 mm，加載點(diǎn)至地梁頂面距離L＝1 245 mm，剪跨比為3．46?；炷翉?qiáng)度約為35 MPa，縱筋采用D13鋼筋，屈服強(qiáng)度363 MPa，全部縱筋配筋率為1．58%。箍筋采用D6鋼筋屈服強(qiáng)度為368 MPa，箍筋間距為70 mm，配箍率為0．57%。試驗(yàn)時(shí)柱頂施加157 kN的軸壓力，軸壓比約為2．89%。

圖10 試件和斷面Fig．10 Test specimen and cross section

6個(gè)試件的加載路徑均不相同，均采用位移控制，其加載模式如圖11所示。

針對(duì)這組試驗(yàn)，文獻(xiàn)［9］中確定了強(qiáng)度退化函數(shù)的簡(jiǎn)單形式：

式（16）中，λ為強(qiáng)度退化系數(shù)，取為 0．8。式（16）所示的強(qiáng)度退化函數(shù)采用了簡(jiǎn)單的線性形式，只有一個(gè)參數(shù)，易于確立。

各試件的試驗(yàn)結(jié)果與本文的數(shù)值模擬結(jié)果比較如圖12所示，為了顯示是否考慮反應(yīng)與能力相互耦合對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響，分別列出了考慮強(qiáng)度退化和不考慮強(qiáng)度退化的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。其中“數(shù)值模擬結(jié)果1”是考慮強(qiáng)度退化的結(jié)果，“數(shù)值模擬結(jié)果2”是不考慮強(qiáng)度退化的結(jié)果。圖中的彎矩－轉(zhuǎn)角的試驗(yàn)結(jié)果是根據(jù)力－位移的試驗(yàn)結(jié)果轉(zhuǎn)化而來(lái)。

圖11 加載路徑Fig．11 Loading Hystereses

從圖12中可以看出：

（1）雖然TP001～TP006的加載方式各異，但是總體來(lái)說(shuō)，數(shù)值模擬結(jié)果1即考慮強(qiáng)度退化的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較為接近，這說(shuō)明，對(duì)于試件TP001～TP006來(lái)說(shuō)，式（16）所示的強(qiáng)度退化函數(shù)式是合適的，同時(shí)也說(shuō)明本文考慮反應(yīng)與能力相互作用的方式是可行的。

（2）數(shù)值模擬結(jié)果2即不考慮強(qiáng)度退化的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果差別較大，這說(shuō)明在某些情況下，不考慮損傷導(dǎo)致的強(qiáng)度退化將給數(shù)值模擬帶來(lái)較大的誤差。

5 結(jié) 論

本文首先說(shuō)明了計(jì)算鋼筋混凝土橋墩地震反應(yīng)中考慮反應(yīng)與能力相互作用的必要性，建立了考慮強(qiáng)度退化的方法。然后提出了考慮地震反應(yīng)與能力相互作用的初步的設(shè)計(jì)流程和有限元程序的實(shí)現(xiàn)流程。最后通過(guò)兩個(gè)方面的實(shí)例對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證，主要成果有：

（1）提出了計(jì)算鋼筋混凝土橋墩地震反應(yīng)中考慮反應(yīng)與能力相互作用的初步的設(shè)計(jì)流程和有限元程序的實(shí)現(xiàn)流程。

（2）結(jié)果表明，本文方法能夠?qū)崿F(xiàn)鋼筋混凝土橋墩骨架曲線的負(fù)剛度段，從而避免數(shù)值計(jì)算上的困難；

圖12 文獻(xiàn)［17］中試驗(yàn)結(jié)果和本文數(shù)值模擬結(jié)果Fig．12 Experimental results in Literature［17］and numerical results in this paper

（3）與試驗(yàn)結(jié)果的比較可以發(fā)現(xiàn)，本文方法能夠較好地模擬鋼筋混凝土橋墩不同加載模式下的試驗(yàn)現(xiàn)象。

以上結(jié)論表明，針對(duì)鋼筋混凝土橋墩，本文所提出的考慮地震反應(yīng)與能力相互作用的辦法是可行的。

反應(yīng)對(duì)能力的影響是多方面，除了本文重點(diǎn)討論的強(qiáng)度退化現(xiàn)象之外，還有動(dòng)軸力和雙向彎曲現(xiàn)象。對(duì)于沿兩個(gè)主軸方向的彎曲特性不相同的截面來(lái)說(shuō)，空間轉(zhuǎn)動(dòng)的方向也會(huì)影響其能力的大小。另外，橋墩的非線性轉(zhuǎn)動(dòng)能力會(huì)隨著軸力的變化而變化。因此全面地考察反應(yīng)對(duì)能力的影響，還需要進(jìn)一步考慮雙向彎曲和動(dòng)軸力的因素，本文的考慮辦法和流程對(duì)這兩種因素也是適用的。

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