張笑華，任偉新，方圣恩

（1．福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福州 350108；2．合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230000）

傳感器系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)中扮演著重要的角色。傳感器的分布和相應(yīng)的信號質(zhì)量會影響整個健康監(jiān)測系統(tǒng)的功能。然而，由于經(jīng)濟(jì)上和現(xiàn)場安裝的一些原因，安裝在結(jié)構(gòu)上的傳感器數(shù)目有限。因此，如何有效的布置有限數(shù)目的傳感器以期能獲得盡可能多的信息已經(jīng)引起了很多學(xué)者的興趣，提出了大量的傳感器位置優(yōu)化布置的方法［1－7］。

Kammer等［2－3］提出有效獨(dú)立法（Effective Inde-pendence，EfI）來優(yōu)化布置傳感器的位置。這種方法是基于每個候選傳感器位置對于識別模態(tài)的線性獨(dú)立性貢獻(xiàn)多少來判定的。該方法需要事先確定好所需要的傳感器數(shù)目。因此Kammer［8］擴(kuò)展了該方法，在位置優(yōu)化過程中同時確定傳感器的數(shù)目以期保證信號達(dá)到一定的信噪比水平。Hemez等［9］進(jìn)一步修正了EfI方法。該方法的基本思想是將傳感器布置在具有較大模態(tài)應(yīng)變能的自由度上。Heo等［10］提出了用模態(tài)動能優(yōu)化傳感器位置的方法。該方法布置傳感器的準(zhǔn)則是最大化測量位置的結(jié)構(gòu)動能。Paradinitriou等［11］引入信息熵來優(yōu)化布置傳感器的位置。信息最豐富的測試數(shù)據(jù)是在參數(shù)估計(jì)中有最小不確定性的數(shù)據(jù)，即最小化信息熵的數(shù)據(jù)。因此該方法選擇的傳感器位置是能使得信息熵最小的位置。Meo等［12］提出的方差法（variance method，VM）基于最優(yōu)信息子集技術(shù)利用測量點(diǎn)的模態(tài)來估計(jì)剩余其它測點(diǎn)的模態(tài)。

已有的傳感器位置優(yōu)化方法，要么是為了更精確的識別模態(tài)，要么是為了結(jié)構(gòu)損傷識別。很少有文獻(xiàn)涉及以重構(gòu)結(jié)構(gòu)響應(yīng)為目標(biāo)的多種傳感器的位置優(yōu)化。一個有效的結(jié)構(gòu)監(jiān)測系統(tǒng)需要全面的信息，包括結(jié)構(gòu)的局部信息和全局信息。隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展，傳感器網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜和多樣化。傳感器系統(tǒng)可以包括應(yīng)變片，加速度計(jì)，位移計(jì)，無線傳感器，光纖傳感器，等等。盡管多樣的傳感器可以給結(jié)構(gòu)提供更全面更精確的信息，但它們自身的特性和局限性使得同時優(yōu)化它們的位置變得非常復(fù)雜。

考慮到位移是用于監(jiān)測結(jié)構(gòu)的全局整體性，應(yīng)變是用于監(jiān)測結(jié)構(gòu)局部變化，并且位移和應(yīng)變之間有個幾何關(guān)系，本文提出了利用卡爾曼濾波算法以重構(gòu)響應(yīng)為目標(biāo)的兩種傳感器數(shù)目確定和位置優(yōu)化的方法。這兩種傳感器分別是應(yīng)變傳感器和位移傳感器。與傳統(tǒng)方法不同，本文提出的方法是同時優(yōu)化這兩種傳感器的位置，并且在優(yōu)化位置的測量信息被用來重構(gòu)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置的響應(yīng)。在優(yōu)化位置的過程中，當(dāng)響應(yīng)重構(gòu)誤差達(dá)到某一標(biāo)準(zhǔn)時優(yōu)化程序終止，由此確定了傳感器的數(shù)目和位置。最后用二維桁架結(jié)構(gòu)數(shù)值研究了提出方法的有效性和可行性。研究結(jié)果表明該方法可以同時優(yōu)化位移傳感器和應(yīng)變傳感器的位置，確定兩種傳感器的數(shù)目。利用在優(yōu)化位置的測量信息重構(gòu)的響應(yīng)與數(shù)值計(jì)算的響應(yīng)吻合良好。綜合利用兩種信息重構(gòu)其它位置的響應(yīng)精度要優(yōu)于用單種信息重構(gòu)得到的結(jié)果。

1 理論介紹

1.1 離散狀態(tài)空間方程

結(jié)構(gòu)的運(yùn)動可以用下列離散的狀態(tài)空間方程來表示［13］：

式中：zk，yk和uk分別表示在 kΔt時刻的離散狀態(tài)向量，觀測向量和外部激勵向量；Δt是采樣時間間隔；A和B分別表示離散的狀態(tài)矩陣和離散的輸入矩陣；C和D分別表示輸出矩陣和直接傳輸矩陣；wk是過程噪聲向量；vk是測量噪聲向量；wk和vk均假設(shè)為零均值白噪聲，方差矩陣分別為Q和R。如結(jié)構(gòu)的二階運(yùn)動方程是用模態(tài)坐標(biāo)表示的，即：

式中：q是模態(tài)坐標(biāo)，Φ是位移模態(tài)振型矩陣，ξ是模態(tài)阻尼矩陣；ωo指模態(tài)頻率矩陣；Bu是激勵的位置矩陣。則（1）的狀態(tài)空間方程中各項(xiàng)為：

測量方程中y向量包括應(yīng)變和位移響應(yīng)，則

式中：Ψ＝BΦ，B是位移－應(yīng)變矩陣，與有限元單元的類型有關(guān)系。

1.2 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波算法是以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則來遞推估算狀態(tài)向量z＾?？柭鼮V波算法的操作包括預(yù)測和更新兩個階段，可用下列五個方程來表示［14］：

式中：Pk是后驗(yàn)估計(jì)誤差方差矩陣；Kk是最優(yōu)卡爾曼增益矩陣。

模態(tài)振型矩陣可以分成兩部分：選擇振型矩陣和截?cái)嗾裥途仃?。一般選擇振型矩陣包含的是結(jié)構(gòu)振型中對響應(yīng)貢獻(xiàn)較大的低階振型。在實(shí)際使用中不需要用到所有的模態(tài)，一般僅考慮結(jié)構(gòu)中低階的前幾階模態(tài)即可，尤其是對于大型結(jié)構(gòu)來說。因此，線性結(jié)構(gòu)中包括所有感興趣位置的應(yīng)變響應(yīng)和位移響應(yīng)，可以表示為

式中，下標(biāo)‘s’表示選擇的模態(tài)；Ces表示所有感興趣位置的選擇模態(tài)振型矩陣組成的輸入矩陣。測量位置的響應(yīng)可以用相似的另外的式子來表示

式中，上標(biāo)‘m’表示測量的；Cms表示測量位置的選擇模態(tài)振型矩陣組成的輸入矩陣。利用卡爾曼濾波算法和測量響應(yīng)可以估計(jì)狀態(tài)向量。由此結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可以用下式重構(gòu)得到

式中，上標(biāo)‘e’表示重構(gòu)。

重構(gòu)響應(yīng)的誤差可以表示為重構(gòu)響應(yīng)時程序列與真實(shí)響應(yīng)時程序列之間的差值

相對重構(gòu)誤差定義為重構(gòu)誤差δ與測量噪音標(biāo)

1．3 優(yōu)化目標(biāo)方程

準(zhǔn)差的比值

式中：Re是需重構(gòu)響應(yīng)的位置對應(yīng)量的測量噪聲方差組成的矩陣。

因此相對重構(gòu)誤差的方差可按式（19）計(jì)算

由于應(yīng)變響應(yīng)和位移響應(yīng)的數(shù)量級不同，矩陣是病態(tài)的。在利用卡爾曼濾波算法估計(jì)狀態(tài)向量過程中，病態(tài)的矩陣會影響卡爾曼增益矩陣的計(jì)算。可利用位移測量噪聲和應(yīng)變測量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差來規(guī)則化位移模態(tài)振型矩陣和應(yīng)變模態(tài)振型矩陣。由此可得到卡爾曼濾波算法增益矩陣的公式

式中：Rm是測量位置對應(yīng)量的測量噪聲方差組成的矩陣是規(guī)則化的測量位置的由選擇模態(tài)振型矩陣組成的輸出矩陣。

此可得到兩種傳感器位置優(yōu)化的目標(biāo)方程

約束方程

其中

和分別表示規(guī)則化的最大重構(gòu)誤差方差和規(guī)x則化的平均重構(gòu)誤差方差。分別是規(guī)則化的最大重構(gòu)誤差方差和規(guī)則化的平均重構(gòu)誤差方差的閥值。

傳感器位置優(yōu)化的目標(biāo)是盡可能準(zhǔn)確的重構(gòu)結(jié)構(gòu)響應(yīng)。當(dāng)刪除某候選傳感器位置時，矩陣的秩達(dá)到最小，即平均重構(gòu)誤差達(dá)到最小，表明該候選傳感器位置對響應(yīng)重構(gòu)的貢獻(xiàn)小，可以不考慮為最終的傳感器位置。在優(yōu)化程序中，隨著傳感器數(shù)目的不斷減少逐漸增大，當(dāng)二者中的任何一個達(dá)到預(yù)設(shè)的閥值時，程序停止迭代，由此可確定應(yīng)變傳感器和位移傳感器的數(shù)目。此時均可滿足小于等于預(yù)設(shè)的閥值。當(dāng)最終傳感器位置和數(shù)目確定后，利用這些位置的測量響應(yīng)和式（16）重構(gòu)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

2 傳感器優(yōu)化布置和數(shù)目確定及響應(yīng)重構(gòu)步驟

（1）從相應(yīng)的有限元模型中提取結(jié)構(gòu)振型，并決定要選取哪些振型；

（2）利用式（21）和（22）優(yōu)化傳感器的位置和決定傳感器的數(shù)目；子步驟如下：

（2．1）用對應(yīng)的傳感器測量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則化輸出矩陣C；

（2．2）從候選的傳感器位置中刪除第i個位置，計(jì)算第i個平均規(guī)則化重構(gòu)誤差方差值；當(dāng)刪除某個位置后，規(guī)則化重構(gòu)誤差方差值最小，該位置從候選群中刪除；剩下的候選位置組成新的一個傳感器位置候選群；此時，計(jì)算最大規(guī)則化重構(gòu)誤差方差和平均規(guī)則化重構(gòu)誤差方差，并與相應(yīng)的閥值比較，看是否已經(jīng)達(dá)到閥值；

（2．3）如果此時最大規(guī)則化重構(gòu)誤差方差和平均規(guī)則化重構(gòu)誤差方差都仍舊小于預(yù)設(shè)的閥值，利用新的傳感器位置候選群重復(fù)步驟2．2，直到最大規(guī)則化重構(gòu)誤差方差或者平均規(guī)則化重構(gòu)誤差方差等于或者大于預(yù)設(shè)的閥值，程序停止迭代。此時剩下的位置候選群就是兩種傳感器的數(shù)目和位置；

（3）利用Newmark法計(jì)算結(jié)構(gòu)受外部激勵下的位移響應(yīng)和應(yīng)變響應(yīng)；給選擇的位置上的響應(yīng)加噪聲并視之為測量響應(yīng)；

（4）利用這些測量響應(yīng)和式（16）重構(gòu)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置的響應(yīng)；

（5）把重構(gòu)的響應(yīng)和計(jì)算的響應(yīng)進(jìn)行對比，檢測重構(gòu)響應(yīng)的精度。

3 數(shù)值算例

本文用二維桁架結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬了兩種傳感器位置優(yōu)化和結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)的過程。該桁架結(jié)構(gòu)有25個單元，14個節(jié)點(diǎn)和28個自由度，如圖1所示。應(yīng)變傳感器假設(shè)貼在單元上表面的中心位置以測量單元的應(yīng)變。節(jié)點(diǎn)1，2，13和14不作為位移傳感器位置的候選群。因此，共25個單元為應(yīng)變傳感器的位置候選群，節(jié)點(diǎn)3－12的10個y向自由度和10個x向自由度為位移傳感器的候選位置，并且這些位置的響應(yīng)也假設(shè)為需要重構(gòu)響應(yīng)的關(guān)鍵位置。該傳感器位置優(yōu)化方法是基于振型的，如果目標(biāo)振型選定，優(yōu)化的位置與外在激勵無關(guān)。由于土木工程結(jié)構(gòu)中隨機(jī)激勵比較常見，并且隨機(jī)激勵下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)比起簡諧激勵或者自由振動下的響應(yīng)包含更多的振動模態(tài)，因此本數(shù)值算例將用窄帶隨機(jī)激勵作為示例。假設(shè)窄帶隨機(jī)激勵y向加載于節(jié)點(diǎn)4。在這種加載工況中，x向位移很小，因此后面不對x向位移的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行分析討論。

假設(shè)每種傳感器的每個位置的測量噪音標(biāo)準(zhǔn)差相同并且是個常數(shù)，同時它們與信號的強(qiáng)度無關(guān)。本文假定應(yīng)變傳感器測量噪音標(biāo)準(zhǔn)差為σ＝0．08 u，位移傳感器測量噪音標(biāo)準(zhǔn)差為σd＝0．001 5 mm?？紤]了三種情況下的傳感器布置工況：

工況1：用本文提出的方法優(yōu)化布置位移傳感器和應(yīng)變傳感器，并且重構(gòu)位移和應(yīng)變響應(yīng)；

工況2：總傳感器數(shù)目與工況一相同，用EfI方法布置位移傳感器；

工況3：總傳感器數(shù)目與工況一相同，用EfI方法布置應(yīng)變傳感器。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)和各工況傳感器位置布置圖Fig．1 25－Bar truss structure and sensor locations

圖2 重構(gòu)誤差隨傳感器數(shù)目變化的趨勢Fig．2 Variation of theoretical reconstruction errorswith number of sensors

選取前6階模態(tài)為目標(biāo)模態(tài)。設(shè)置閥值如下。圖 1（b）－（d）是各工況的傳感器位置布置，總共有10個傳感器。工況1是用本文提出的方法優(yōu)化兩種傳感器的位置，優(yōu)化結(jié)果是8個應(yīng)變傳感器和2個布置在y向的位移傳感器。工況2是僅布置位移傳感器，其中有7個傳感器測量y向位移，3個傳感器測量x向位移。

圖2描繪了工況1平均規(guī)則化重構(gòu)誤差方差和最大規(guī)則化重構(gòu)誤差方差著傳感器位置數(shù)目減少的變化趨勢。隨著傳感器位置數(shù)目的減少而增大。當(dāng)它們中的任何一者增大到預(yù)設(shè)的閥值時，優(yōu)化程序停止迭代。由此得到在該約束條件下的傳感器數(shù)目和優(yōu)化的位置。

利用優(yōu)化位置上的加噪聲后的應(yīng)變和位移響應(yīng)，重構(gòu)結(jié)構(gòu)其他位置的響應(yīng)。圖3是工況1的單元1重構(gòu)的應(yīng)變時程和計(jì)算時程的對比和節(jié)點(diǎn)12重構(gòu)的y向位移時程和計(jì)算時程的對比。從圖3可以看到，重構(gòu)的時程曲線與計(jì)算的時程曲線吻合非常良好。

圖3 重構(gòu)和計(jì)算的時程響應(yīng)對比（工況1）Fig．3 Comparison of reconstructed and real responses

重構(gòu)時程響應(yīng)的精度用相對百分比誤差來衡量，定義如下

式中“std”指標(biāo)準(zhǔn)差。

圖4（a）是工況1重構(gòu)得到響應(yīng)的相對百分比誤差。不論是應(yīng)變響應(yīng)還是位移響應(yīng)，重構(gòu)得到的結(jié)果精度都高。對于應(yīng)變重構(gòu)響應(yīng)的結(jié)果，大部分的百分比誤差都在10%以下；而位移重構(gòu)響應(yīng)的百分比誤差都在2%以下。單元2和19的應(yīng)變重構(gòu)結(jié)果較差，原因主要是：① 在該加載工況下，這些位置的應(yīng)變響應(yīng)比較小，信號的信噪比較差；② 這些位置的應(yīng)變響應(yīng)包含了更多的高頻成分。

圖4（b）是工況2的重構(gòu)響應(yīng)相對百分比誤差。工況2是僅布置位移傳感器，用測量位移響應(yīng)重構(gòu)關(guān)鍵位置的應(yīng)變和位移響應(yīng)。從圖4（a）和圖4（b）對比中可以看到，工況2得到的重構(gòu)百分比誤差要高于工況1得到的結(jié)果。工況3是僅布置應(yīng)變傳感器，用應(yīng)變測量響應(yīng)重構(gòu)關(guān)鍵位置的位移和應(yīng)變響應(yīng)。對比圖4（a）和圖4（c），由于工況3布置的10個傳感器均為應(yīng)變傳感器，因此工況3得到的應(yīng)變重構(gòu)結(jié)果精度略優(yōu)于工況1得到的結(jié)果。但工況3得到的位移重構(gòu)結(jié)果誤差要大于工況1得到的結(jié)果。

圖4 相對百分比誤差（%）Fig．4 Relative percentage errors（%）

4 結(jié) 論

本文提出了利用卡爾曼濾波算法以結(jié)構(gòu)多種響應(yīng)重構(gòu)為目標(biāo)的應(yīng)變傳感器和位移傳感器位置優(yōu)化及數(shù)目確定的方法。該方法有如下優(yōu)點(diǎn)

（1）不同于傳統(tǒng)方法，兩種傳感器的位置是同時優(yōu)化；

（2）不需要預(yù)先設(shè)定傳感器的數(shù)目，在優(yōu)化程序中，通過響應(yīng)重構(gòu)誤差達(dá)到預(yù)設(shè)的閥值來確定傳感器數(shù)目；

（3）數(shù)值算例結(jié)果顯示重構(gòu)響應(yīng)和計(jì)算響應(yīng)時程吻合良好；

（4）數(shù)值算例結(jié)果表明綜合利用兩種測量響應(yīng)重構(gòu)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的精度高于用單種響應(yīng)重構(gòu)得到的結(jié)果。

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