祝江鴻，楊建輝，施高萍，王 珺，蔡建平

（1. 浙江科技學(xué)院 建工學(xué)院，杭州 310023；2. 浙江水利水電?？茖W(xué)校，杭州 310018；3. 北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083）

1 引 言

通過對(duì)地下隧洞圍巖力學(xué)分析中的解析方法及其結(jié)果的分析，往往可以獲得圍巖應(yīng)力和位移分布及穩(wěn)定性規(guī)律的認(rèn)識(shí)，因此它的理論價(jià)值是不容忽視的，眾多學(xué)者為此展開了大量的研究。然而，受制于地下洞室開挖斷面形狀的制約，地下隧洞工程力學(xué)分析中的解析解成果主要集中在不同邊界條件下的圓形和橢圓形洞室方面，如Fahimifar等[1]提出了靜水應(yīng)力場下伯格斯黏彈性體中圓形開挖斷面隧洞的解析解，Gao等[2]開展了高寒區(qū)圓形隧道的彈塑性應(yīng)力解析解研究，Li等[3]對(duì)深埋圓形隧道在地壓和內(nèi)襯壓力作用下的彈性應(yīng)力和位移場進(jìn)行了分析，Verruijt[4]研究了無限半平面內(nèi)圓形洞室的彈性變形機(jī)制，Zhang等[5]提出了橫觀各向同性巖石中深埋橢圓形隧道的位移解析解。相比較而言，對(duì)其他開挖斷面形狀的地下洞室圍巖力學(xué)解析分析，則在數(shù)學(xué)和力學(xué)上要復(fù)雜得多，原則上可采用彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)方法獲得其平面彈性問題的解析解[6]。利用復(fù)變函數(shù)開展地下任意開挖斷面隧洞圍巖力學(xué)分析時(shí)，需獲得符合精度要求的映射函數(shù)及用來表示圍巖應(yīng)力和位移的兩個(gè)解析函數(shù)[7]。關(guān)于圍巖應(yīng)力復(fù)變函數(shù)分析法中的兩個(gè)解析函數(shù)求解，筆者已在另文進(jìn)行了研究[8]，本文對(duì)任意開挖斷面隧洞的映射函數(shù)求解開展研究。

基于復(fù)變函數(shù)法的地下隧洞圍巖力學(xué)分析，需將開挖邊界線內(nèi)域（外域）看成由單位圓內(nèi)域（外域）共形映射而得[6－9]，將以復(fù)雜開挖斷面為邊界的隧洞力學(xué)分析問題轉(zhuǎn)化成以單位圓周線為邊界的力學(xué)問題。實(shí)際上，單位圓內(nèi)（外）域到任意封閉曲線內(nèi)（外）域之間的共形映射函數(shù)構(gòu)建在數(shù)學(xué)理論上較完整，有 Schwarz-Christoffel積分公式[10－11]、有理分式[12－13]、泰勒級(jí)數(shù)[14－15]等模型。泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)等級(jí)數(shù)形式是隧洞映射函數(shù)求解的常用數(shù)學(xué)模型?；矢i鵬等[16]以洛朗級(jí)數(shù)建立起單位圓外域-洞室外域的映射函數(shù)，提出了基于邊界點(diǎn)搜索的映射函數(shù)求解方法，根據(jù)等距離比的原則解決了計(jì)算點(diǎn)的調(diào)整問題，然而對(duì)整個(gè)迭代過程實(shí)現(xiàn)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)組數(shù)和映射函數(shù)構(gòu)成項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系交代不清晰。朱大勇等[17]同樣以洛朗級(jí)數(shù)建立起單位圓外域-洞室外域的映射函數(shù)，利用三角函數(shù)系的正交性獲取了函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式，闡明了計(jì)算點(diǎn)調(diào)整方法和系數(shù)求解的迭代過程，不足是對(duì)于復(fù)雜的開挖洞形，映射函數(shù)構(gòu)成項(xiàng)數(shù)則多達(dá)200多項(xiàng)，計(jì)算量大且精度低。Zhu等[18]開展了基于梅林謝耶夫法的映射函數(shù)近似求解研究，然而給出的映射函數(shù)精度較低。王潤富[19]以泰勒級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)建立起單位圓內(nèi)域-孔洞內(nèi)域的映射函數(shù)，但并未明確對(duì)應(yīng)點(diǎn)的調(diào)整方法及映射邊界線與實(shí)際開挖邊界線誤差的界定。Deillo等[20]利用Faber級(jí)數(shù)法開展了單位圓內(nèi)域-目標(biāo)區(qū)域的共形映射的數(shù)值計(jì)算研究，然而映射函數(shù)中項(xiàng)數(shù)構(gòu)成復(fù)雜、計(jì)算量偏大。Schwarz-Christoffel積分公式亦是地下隧洞映射函數(shù)的常用數(shù)學(xué)模型，但對(duì)應(yīng)點(diǎn)的確定和被積函數(shù)中參數(shù)的計(jì)算非常復(fù)雜，有時(shí)候甚至難以完成。范廣勤等[21]采用該積分公式求解了軸對(duì)稱六角形洞室的映射函數(shù)，具體求解時(shí)用3個(gè)絕對(duì)收斂的冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)相乘來近似被積函數(shù)，這樣處理的優(yōu)點(diǎn)是將原積分轉(zhuǎn)化成了對(duì)多項(xiàng)式積分，使積分求解成為可能，不足是 3個(gè)冪級(jí)數(shù)相乘展開后的系數(shù)求解依然繁瑣，二是之所以可以用3個(gè)冪級(jí)數(shù)相乘代替被積函數(shù)，是因?yàn)槠溽槍?duì)特定的軸對(duì)稱六角形，適用范圍有限。鄭志強(qiáng)[22]也采用 Schwarz-Christoffel積分建立了單位圓與多邊形的映射函數(shù)，研究了被積函數(shù)中未知參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法，解決了參數(shù)求解和參數(shù)精度問題，但獲取參數(shù)只是解決問題的第一步，即明確了被積函數(shù)的表達(dá)式，被積函數(shù)的積分過程依然復(fù)雜。

綜上所述，盡管地下任意開挖斷面隧洞映射函數(shù)的求解原理在數(shù)學(xué)上較完整，但在計(jì)算方法的實(shí)現(xiàn)上，尤其在映射函數(shù)系數(shù)求解、對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定、計(jì)算點(diǎn)（映射點(diǎn)）調(diào)整及映射邊界線誤差控制等方面不甚成熟，所獲得的映射函數(shù)存在項(xiàng)數(shù)構(gòu)成復(fù)雜、計(jì)算量大及映射精度偏低等問題。本文根據(jù)黎曼存在定理，建立了以洛朗級(jí)數(shù)有限項(xiàng)表示的單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域的映射函數(shù)，根據(jù)邊界對(duì)應(yīng)定理將域到域的映射函數(shù)求解問題轉(zhuǎn)化為單位圓周線到任意開挖斷面隧洞邊界線的求解問題，并從三角插值理論出發(fā)，采用奇偶插值點(diǎn)反復(fù)相互迭代，對(duì)映射函數(shù)系數(shù)求解進(jìn)行了研究。采用法線逼近法實(shí)現(xiàn)了計(jì)算點(diǎn)（映射點(diǎn)）的調(diào)整，并給出了映射函數(shù)系數(shù)迭代計(jì)算的收斂條件。利用本文的研究成果可方便地計(jì)算單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域的共形映射函數(shù)。

2 映射函數(shù)建立

在復(fù)變函數(shù)理論中，規(guī)定了復(fù)平面中有一個(gè)惟一的“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，且該點(diǎn)與復(fù)球面上的北極N相對(duì)應(yīng)，因此，對(duì)于圖1(a)和圖1(b)中給出的區(qū)域D和D′均為單連通域。對(duì)兩個(gè)給定的單連通域，由黎曼存在定理可知，總存在惟一映射函數(shù)將一個(gè)區(qū)域共形映射到另一個(gè)區(qū)域[23－24]。由此可知，將以單位圓周線Γ為邊界的外部區(qū)域D共形映射到以復(fù)雜邊界線?！錇檫吔绲乃矶赐獠繀^(qū)域D′的映射函數(shù)必存在（圖1），且洛朗級(jí)數(shù)是滿足該映射條件的數(shù)學(xué)模型[6－7,9]，可由式（1）給出。

圖1 單位外域到任意開挖斷面隧洞外域的共形映射Fig.1 Conformal mapping from the exterior of unit circle to the exterior of cavern with arbitrary excavation cross-section

式中： Cn=An+i Bn，An、Bn均為實(shí)常數(shù)。

根據(jù)邊界對(duì)應(yīng)定理，若式（1）能將圖1(a)中的單位圓周線Γ共形映射到圖 1(b)中的復(fù)雜邊界線?！洌从成浜瘮?shù)只需滿足這兩條邊界線之間的共形映射關(guān)系，則該函數(shù)定能將D區(qū)域保角變換到D′區(qū)域[23－24]。據(jù)此，單位圓外域共形映射到任意開挖斷面隧洞外域的映射函數(shù)求解轉(zhuǎn)化成單位圓周線到任意開挖斷面隧洞邊界線的映射函數(shù)求解，即研究對(duì)象由域-域轉(zhuǎn)換到單位圓周線-任意開挖斷面隧洞邊界線上。

單位圓周線Γ上點(diǎn)的坐標(biāo)以三角函數(shù)表示，由式（2）給出：

復(fù)雜邊界線?！渖宵c(diǎn)的坐標(biāo)可由式（3）給出：

由于式（1）是將單位圓周線共形映射到任意開挖斷面隧洞邊界線的映射函數(shù)，將式（2）、（3）代入式（1）后，由實(shí)部虛部相等原則可得

若式（1）已知，即An、Bn已知，則由式（4）、（5）可知，單位圓周線與任意開挖斷面隧洞邊界線之間的映射對(duì)應(yīng)關(guān)系就完全確定，由此單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域之間的映射對(duì)應(yīng)關(guān)系也就完全確定。下面根據(jù)單位圓周線與任意開挖斷面隧洞邊界線之間的關(guān)系研究An和Bn的求解過程。

3 映射函數(shù)求解

映射函數(shù)是以洛朗級(jí)數(shù)的形式給出的，在實(shí)際求解時(shí)只能取有限項(xiàng)作近似。假設(shè)映射函數(shù)由洛朗級(jí)數(shù)的前m項(xiàng)構(gòu)成，則式（1）可改寫為

式中： j = 1, 2,… ,m。式（7）、（8）可根據(jù)式（4）、（5）及三角函數(shù)系的正交性推導(dǎo)而得，具體的推導(dǎo)過程可參見文獻(xiàn)[6，14－15]，這里不再贅述。事實(shí)上，要知道單位圓周線Γ和復(fù)雜邊界線?！渖蟤對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是困難的，Aj和Bj的求解可采用單位圓上奇偶插值點(diǎn)相互反復(fù)迭代計(jì)算實(shí)現(xiàn)。

3.1 奇偶插值點(diǎn)相互迭代計(jì)算

將ζ平面中的單位圓周線Γ作 2m等分，2m個(gè)等分點(diǎn)分為奇數(shù)點(diǎn)和偶數(shù)點(diǎn)兩組，相鄰兩奇數(shù)點(diǎn)的幅角差和相鄰兩偶數(shù)點(diǎn)幅角差Δφ均為2π/m，奇數(shù)點(diǎn)和偶數(shù)點(diǎn)的幅角φ2k和φ2k+1可由下式計(jì)算：

式中： k = 0, 1,… ,m - 1。在z平面中的Γ′上任意取m個(gè)點(diǎn)，假設(shè)這些點(diǎn)與ζ平面中Γ上的偶數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則根據(jù)式（7）～（9）可得式（11）、（12），據(jù)此求得一組和（系數(shù)上標(biāo)的“0”表示由偶數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)求得的，“1”表示由奇數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)求得）。

3.2 計(jì)算點(diǎn)（映射點(diǎn)）的調(diào)整

圖2 計(jì)算點(diǎn)調(diào)整Fig.2 Calculating points adjustment

3.3 迭代計(jì)算的收斂條件

按前述步驟進(jìn)行映射函數(shù)求解時(shí)，有迭代計(jì)算的收斂問題。這與工程的計(jì)算精度要求有關(guān)，也與迭代計(jì)算的有效性有關(guān)。一般來說，對(duì)由復(fù)雜邊界線構(gòu)成的區(qū)域，要獲得精確的映射函數(shù)是有困難的，實(shí)際求解時(shí)只能獲得符合計(jì)算精度要求的近似映射函數(shù)。因此，利用本文的解法獲得的映射函數(shù)進(jìn)行隧洞映射時(shí)，得到的映射斷面與實(shí)際開挖斷面是有誤差的。只要誤差控制在工程計(jì)算精度要求范圍內(nèi)，則利用該映射函數(shù)進(jìn)行圍巖應(yīng)力和位移計(jì)算時(shí)，所得結(jié)果可滿足圍巖力學(xué)分析要求。因此，需對(duì)本文的映射函數(shù)求解設(shè)置精度要求，即收斂條件。本文以隧洞映射邊界線與實(shí)際開挖邊界線之間的最大距離小于某一數(shù)值ε作為迭代計(jì)算的收斂條件：

4 算 例

地下隧洞斷面開挖邊界線的設(shè)計(jì)線型通常有直線和弧線。為更一般性地驗(yàn)證本文研究結(jié)果的有效性，選取由直線段構(gòu)成開挖邊界線的矩形隧洞、以弧線段構(gòu)成開挖邊界線的公路兩車道隧洞以及由直線段與弧線段共同組成開挖邊界線的復(fù)雜形隧洞作為研究對(duì)象，開展將單位圓外域共形映射到上述 3種開挖斷面隧洞外域的映射函數(shù)求解。利用Matlab語言將3個(gè)算例的映射函數(shù)求解過程編制成計(jì)算代碼，整個(gè)計(jì)算過程由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成，其中，迭代計(jì)算的收斂條件均采用式（16），按映射邊界線與實(shí)際洞形邊界線之間的絕對(duì)誤差ε小于5 mm考慮。

4.1 矩形隧洞

矩形隧洞的幾何尺寸及在坐標(biāo)系中的位置如圖3所示。映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成按9項(xiàng)考慮，因此在實(shí)際迭代計(jì)算時(shí)單位圓與實(shí)際邊界線之間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)只需9對(duì)（考慮到奇偶插值點(diǎn)迭代計(jì)算的需要，單位圓周線作18等分）。圖4給出了迭代1次、5次和16次后的映射斷面圖形，圖形的繪制是按各輪迭代后求得的Aj和Bj及單位圓周線上的 100個(gè)點(diǎn)代入式（6）后得到的，由計(jì)算程序自動(dòng)給出。其中圖4(c)為符合精度要求的映射斷面，圖中各點(diǎn)均作了誤差驗(yàn)算且滿足精度要求，其映射函數(shù)系數(shù)見表1。

圖3 矩形隧洞Fig.3 A rectangular tunnel

圖4 矩形洞室的映射斷面Fig.4 Mapping cross-sections of rectangular tunnel

表1 矩形隧洞映射函數(shù)系數(shù)Table 1 Coefficients of the mapping function for rectangular tunnel

4.2 兩車道公路隧洞

以《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D702004)中的兩車道公路隧道標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)輪廓斷面（圖 5(a)）為例，進(jìn)行映射函數(shù)求解。隧道實(shí)際開挖斷面一般按徑向方向比標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)輪廓線大50～500 mm左右考慮開挖尺寸，具體視圍巖等級(jí)、埋深情況及支護(hù)設(shè)計(jì)等條件確定。本次計(jì)算的開挖尺寸按徑向方向比設(shè)計(jì)的內(nèi)輪廓線大300 mm設(shè)置計(jì)算尺寸（圖5(b)）。映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成按16項(xiàng)考慮，為求解Aj和Bj，實(shí)際迭代計(jì)算時(shí)單位圓和實(shí)際邊界線之間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)需16對(duì)，而單位圓線作了32等分。

圖5 公路兩車道隧洞斷面Fig.5 Cross sections of two-lane road tunnel

圖6給出了迭代1次、2次和6次后的映射斷面，圖形的繪制方法同算例 1。其中，圖 6(c)為符合精度要求的映射斷面，其映射函數(shù)系數(shù)見表2。

圖6 公路兩車道隧洞映射斷面Fig.6 Mapping cross-sections of two-lane road tunnel

表2 公路兩車道隧洞映射函數(shù)系數(shù)Table 2 Coefficients of the mapping function for two-lane road tunnel

4.3 復(fù)雜斷面隧洞

以文獻(xiàn)[17]中的復(fù)雜斷面隧洞為計(jì)算對(duì)象開展映射函數(shù)求解，隧洞幾何尺寸及在坐標(biāo)系中的位置如圖 7所示。映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成為24項(xiàng)。圖8為迭代1次、4次和9次后的映射斷面，圖形的繪制方法同算例1和2。其中，圖8(c)為迭代9次后滿足精度要求的映射圖形，其映射函數(shù)系數(shù)Aj和Bj見表3。

圖7 復(fù)雜斷面隧洞Fig.7 Cavern with complex cross-section

圖8 復(fù)雜隧洞映射斷面Fig.8 Mapping cross-sections of complex cavern

表3 復(fù)雜斷面隧洞映射函數(shù)系數(shù)Table 3 Coefficients of the mapping function for cavern with complex cross-section

5 討 論

上述給出了單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域共形映射計(jì)算方法的研究過程和3個(gè)開挖斷面隧洞映射函數(shù)的求解算例，下面就其中幾個(gè)關(guān)鍵問題與文獻(xiàn)中的方法作比較和討論：

（1）初始對(duì)應(yīng)點(diǎn)的確定。初始對(duì)應(yīng)點(diǎn)的數(shù)量取決于映射函數(shù)的構(gòu)成項(xiàng)數(shù)，與其他因素?zé)o關(guān)。映射函數(shù)中的構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為m時(shí)，則映射函數(shù)中有2m個(gè)待求的實(shí)系數(shù)，此時(shí)需要m對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)才能求之（即式（7）、（8）、），考慮到采用奇偶點(diǎn)相互迭代計(jì)算，故需對(duì)單位圓周線作2m等分。初始對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，文獻(xiàn)[16]假設(shè)有1對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是已知的，文獻(xiàn)[17]將任意開挖斷面隧洞邊界線作m等分，得到m條線段，再將這些線段的中點(diǎn)作為與單位圓周線上確定的計(jì)算點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。本文在隧洞復(fù)雜開挖斷面邊界線上確定與單位圓周線上相對(duì)應(yīng)的m個(gè)計(jì)算點(diǎn)時(shí)，是可任意的。從這個(gè)意義上來說，本文的方法更簡單且更具一般性。

（2）計(jì)算點(diǎn)（映射點(diǎn)）的調(diào)整。文獻(xiàn)[16]通過映射洞形和實(shí)際洞形上任意相鄰兩點(diǎn)的距離之比與相應(yīng)的映射洞形周長和真實(shí)洞形周長之比相等的原則，重新確定實(shí)際洞形邊界線上的計(jì)算點(diǎn)；文獻(xiàn)[17]通過映射洞形上所有相鄰2點(diǎn)間距離和映射洞形總周長之比，重新確定實(shí)際洞形邊界線上的計(jì)算點(diǎn)，將這些點(diǎn)代替原映射點(diǎn)進(jìn)行下一輪的映射函數(shù)系數(shù)計(jì)算。本文給出的法線逼近法，將映射點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)相連，可獲得該連線與實(shí)際洞形邊界線的交點(diǎn)，用該點(diǎn)代替原計(jì)算點(diǎn)（映射點(diǎn)）作為下一輪的計(jì)算點(diǎn)。相比較而言，該方法計(jì)算量少且更簡單有效。

（3）迭代計(jì)算的收斂條件。文獻(xiàn)[17－19]未對(duì)映射精度作討論。文獻(xiàn)[16]以映射洞室上所有映射點(diǎn)與實(shí)際洞形邊界線上相應(yīng)點(diǎn)距離的算術(shù)平均值與真實(shí)洞室邊界總長之比作為計(jì)算控制條件，并給出比值取 5%時(shí)就能達(dá)到工程計(jì)算精度需要的結(jié)論；以標(biāo)準(zhǔn)兩車道公路隧道為例，其開挖邊界線周長在30 m以上，以該結(jié)論作為計(jì)算的收斂條件，映射洞形邊界線與洞室實(shí)際開挖邊線的總體誤差將在1.5 m以上。本文給出隧洞映射邊界線與開挖邊界線之間的最大距離小于某一數(shù)值ε作為迭代計(jì)算的收斂條件，確保了映射函數(shù)的映射精度。另外，本文雖然給出了相對(duì)誤差的迭代計(jì)算收斂條件，但在實(shí)際使用時(shí)應(yīng)慎用。該條件只說明了迭代的有效性，即前一次迭代計(jì)算和后一次迭代計(jì)算結(jié)果之間的差值如果很小，說明繼續(xù)迭代下去已經(jīng)沒有意義，卻不能保證映射洞形接近于真實(shí)洞形。

（4）映射函數(shù)的構(gòu)成項(xiàng)數(shù)。映射函數(shù)中的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成和隧洞洞形的復(fù)雜程度及對(duì)映射函數(shù)的精度要求有關(guān)。一般來說，洞形越復(fù)雜，則需要更多的項(xiàng)數(shù)去近似和逼近精確的映射函數(shù)；對(duì)映射函數(shù)的精度要求越高，則項(xiàng)數(shù)越多越容易獲得符合精度要求的映射函數(shù)。另外，映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成與迭代的次數(shù)也有關(guān)系，對(duì)同一洞形，在相同精度條件下項(xiàng)數(shù)越多，則迭代計(jì)算收斂越快。

6 結(jié) 論

（1）單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域共形映射函數(shù)的求解難點(diǎn)在于兩條邊界線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系難以確定。從三角插值理論出發(fā)，采用奇偶插值點(diǎn)相互迭代計(jì)算可有效地克服此困難，方便地求得映射函數(shù)系數(shù)。

（2）映射點(diǎn)（計(jì)算點(diǎn)）的調(diào)整方法決定了映射函數(shù)系數(shù)迭代計(jì)算的快速性和有效性，提出的法線逼近法可較方便地解決該問題；以絕對(duì)誤差即隧洞映射邊界線與開挖邊界線之間的最大距離小于某一數(shù)值，作為迭代計(jì)算的收斂條件，保證了計(jì)算映射函數(shù)的映射精度。

（3）給出的3個(gè)開挖斷面隧洞映射函數(shù)求解算例及對(duì)研究結(jié)果的討論表明，本文給出的映射函數(shù)求解算法、映射點(diǎn)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)）的調(diào)整方法及迭代計(jì)算的收斂條件更具可操作性（易于編程計(jì)算），兩條邊界線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的數(shù)量和映射函數(shù)構(gòu)成項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系更為明晰，整個(gè)求解過程更為簡潔快速。

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