王文靜++李曉芬++韓龍淑

義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）把注重啟發(fā)式、實行啟發(fā)式教學作為課程的基本理念和實施建議，由此彰顯出啟發(fā)式教學的重要性?；趩l(fā)式數(shù)學教學思想，以二面角的平面角為例，運用概念形成的學習階段進行了教學設計及設計意圖的理論分析。

啟發(fā)式數(shù)學教學數(shù)學概念二面角教學設計數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生進行數(shù)學思維的核心，在數(shù)學學習與教學中具有非常重要的地位[1]。因此，探討數(shù)學概念教學的規(guī)律，一直是數(shù)學教育領域的熱點問題之一。而數(shù)學是思維的科學，思維過程發(fā)生在個體頭腦中，是別人無法代替的，有效的數(shù)學概念學習必須建立在學生積極主動思考的基礎上。由于中學生的思維處于具體運演到抽象運演的過渡階段，因此，數(shù)學概念教學中要盡可能采用適當?shù)姆椒ù龠M學生用概念形成方式學習，突出概念的再創(chuàng)造過程，使學生有機會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的背景和條件，感悟概念的本質(zhì)特征。

一、二面角的平面角概念教學有待關注

1．教材內(nèi)容分析

二面角是空間幾何的重要知識，普通高中課程標準實驗教材（人教A版）在必修2中重點揭示二面角的平面角概念的形成過程，而求二面角大小的問題留在選修2－1中運用向量工具來處理。在必修2第2章第3小節(jié)，二面角的概念是兩個平面垂直的判定中的內(nèi)容。它是在學生學習了異面直線所成的角、直線與平面所成的角之后，又一個要學習的空間角，為以后從度量的角度揭示平面與平面的位置關系（垂直關系是其中的一種特殊關系）奠定了基礎，因此，二面角的內(nèi)容在教材中起到了承上啟下的作用。同時，通過本節(jié)課的學習，可以進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯思維能力。

2．二面角的平面角概念教學中存在的問題

教材中只是用“水壩面和水平面所成的角度和衛(wèi)星的軌道平面與赤道平面所成角度”作為例子，引入二面角的平面角概念。于是，很多教師在教學中也只是通過簡單的實際例子引入二面角，再講解二面角平面角的定義。這樣的教學能讓學生感受到二面角模型來源于現(xiàn)實世界，一定程度上經(jīng)歷了抽象出二面角的過程，但與學生的生活現(xiàn)實聯(lián)系不緊密，也缺乏動手操作。雖然有教師的講授和引導，但總體上缺少學生自己的思維構造，不排除有一部分學生能夠實現(xiàn)有意義學習，但對大多數(shù)學生來說，只能機械記住意義和模仿應用。那么，如何用探究的方法對“二面角的平面角”進行建構學習？本文以啟發(fā)式數(shù)學教學思想為指導提出一個設計構想。

二、基于啟發(fā)式數(shù)學教學思想的概念教學思路

教學改革的關鍵是教學思想的變革，因為教學思想對教學活動起著定向的作用，只有在正確的教學思想指導下的教學活動才能符合教學過程的客觀規(guī)律，充分調(diào)動學生的學習積極性和主動性，才能培養(yǎng)學生的獨立性和創(chuàng)造精神[2]。啟發(fā)式教學思想是中國的教學瑰寶，是教學法最基本的方法論，是教學必須遵循的教學思想。它作為中國傳統(tǒng)教育思想的精華，需要不斷豐富和發(fā)展。義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）把注重啟發(fā)式、實行啟發(fā)式教學作為課程的基本理念和實施建議，由此彰顯出啟發(fā)式數(shù)學教學的重要性。

啟發(fā)式數(shù)學教學強調(diào)教師從學生已有的數(shù)學知識、經(jīng)驗和思維水平出發(fā)，力求創(chuàng)設“憤悱”的數(shù)學教學情境，以形成認知和情感的不平衡態(tài)勢，從而啟迪學生主動積極思維，引導學生學會思考，使學生的思維得以發(fā)生和發(fā)展[3]。其關鍵在于教師有目的地啟發(fā)學生“想數(shù)學”，使學生經(jīng)歷必要的認知和情感的困惑階段，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學習需求，從而在其頭腦內(nèi)部展開激烈的思維活動。就目前研究內(nèi)容而言，啟發(fā)式教學思想指導下的概念教學設計探索很少；融操作方式于具體概念教學的研究論文更為鮮見。因此，以啟發(fā)式教學思想為指導如何進行數(shù)學概念教學活動值得深思。

基于啟發(fā)式數(shù)學教學思想的概念教學設計思路為：概念教學過程中，從學生已有知識經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設憤悱的數(shù)學情境，使學生由原來的自以為知逐漸承認自己的無知，進入困惑的狀態(tài)，從而了解概念的背景和引入的理由，以此產(chǎn)生內(nèi)在學習需求；在困惑的基礎上，啟發(fā)學生通過觀察、分析事例的屬性，抽象概括共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念，從而到知其所知。強調(diào)學生自己的思維構造，用探究的方式自己建構概念。

三、基于啟發(fā)式數(shù)學教學思想的概念教學設計及理論分析

此教學設計以啟發(fā)式數(shù)學教學思想為指導，以“二面角的平面角”課題為例，按照概念形成的階段進行教學設計。具體教學過程體現(xiàn)啟發(fā)式數(shù)學教學理論對數(shù)學概念教學的指導作用，是對啟發(fā)式數(shù)學教學思想運用的積極嘗試。

1．辨別刺激模式階段——提供操作背景，啟發(fā)學生聯(lián)系已有知識

背景一：教師把筆記本電腦緩緩打開到某一位置。

背景二：把門緩緩打開（使門與墻面所成的角與筆記本電腦展開的角相當）。

背景三：翻開一本書（與筆記本電腦展開的角相當）。

教師邊操作邊引導學生發(fā)現(xiàn)問題：是否感覺到書展開的角、筆記本電腦展開的角以及門與墻面所成的角在逐漸變化？

【設計意圖】：波利亞說：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著?！备咭恢粮叨挲g階段的學生，思維屬于經(jīng)驗邏輯型，一定程度上仍依賴直觀具體的形象性材料來理解抽象的概念或邏輯關系。對于抽象概念來說就是指如何使學生把新概念與已有知識經(jīng)驗聯(lián)系起來。上述設計中，教師的操作和提問對二面角的平面角概念的要素信息顯示得比較明了，學生對這些材料進行充分的感知和動手操作，為學生提供了使新知識與已有知識經(jīng)驗建立內(nèi)在聯(lián)系的機會。

2．分化抽象、提出假設階段——使學生感受概念引入的必要性

教師提出問題：這三個角哪一個大？何以見得？

教師進一步提出問題：用什么工具來量？怎么量？

憑著直觀判斷，大部分同學自以為知道如何度量一個二面角：可用量角器度量門與墻面和地面的交角；筆記本和書可以立起來，度量其與桌面形成的交角。由此將空間角轉化為平面角度量，但這樣的理解存在缺陷。

【設計意圖】數(shù)學的嚴謹性要求數(shù)學結論的敘述精煉準確，而對結論的推理論證要具備一定的嚴格性，做到步步有據(jù)。雖然三個角看上去一樣大，但為了使學生懂得精確的必要性，啟發(fā)學生有必要進行代數(shù)度量，僅憑觀察是不能完成的。以此從兩個角度需要引入概念，一是實際生活需要，二是數(shù)學內(nèi)部需要，使學生感受到學習二面角的平面角概念的必要性。

3．檢驗假設、確認關鍵屬性階段——創(chuàng)設“憤悱”情境，形成疑難和困惑

檢驗過程中突出變式的作用，教師使用多媒體演示，創(chuàng)設“憤悱”情境：①學習機的圖片。②修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當?shù)慕嵌?。③發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和赤道平面成一定角度。

【設計意圖】對于“門與墻所成的角”、“筆記本的展角”、“書的展角”，學生可以使用降維的方法找到平角度量。因此，學生原先自以為知道如何度量一個二面角?？墒?，對于多媒體所呈現(xiàn)的“不規(guī)則的二面角”，卻又很難找到恰當?shù)钠矫娼莵矶攘克拇笮?。前后問題情境的對比，使學生的思維漏洞得以暴露，直接形成認知沖突，使學生陷入了困惑之中。以此產(chǎn)生內(nèi)在的學習需求，激發(fā)了學生的學習欲望和探索新概念的積極性。

4.抽象概括、形成概念階段——啟發(fā)學生探索概念的本質(zhì)屬性

通過前面的學習，學生已具有了一定的空間想象能力，教師引導學生通過觀察、比較進行抽象和概括活動。

引導學生回顧平面角的定義和構成，類比得出兩個平面所成角的定義和構成，以及如何用平面內(nèi)的角來度量二面角。

對于學生學過的兩個空間角（“異面直線所成的角”和”斜線與平面所成的角”），都是將其轉化為平面角進行度量的。怎么用平面內(nèi)的角來度量二面角呢？請學生重新觀察“書展開的角”“筆記本電腦展開的角”以及“門與墻面所成的角”，我們能通過度量平面角得出。所度量的平面角有什么特征？為什么大家在幻燈片上呈現(xiàn)的“不規(guī)則的二面角”，沒有發(fā)現(xiàn)“平面角”？

為了啟發(fā)學生思維，教師呈現(xiàn)三個提示性問題：

角的頂點落在什么位置？

角的射線落在什么位置？

角的兩邊與棱有什么關系？

通過思考、討論、類比（“異面直線所成的角”和“斜線與平面所成的角”）、歸納，學生可以得出以下幾種思路：思路一，在二面角的棱上任取一點，過此點作一個平面和這條棱垂直，這個平面和二面角的兩個半平面相交于兩條射線，得到一個角。思路二，在二面角的一個平面內(nèi)任取一點，過這一點作另一個平面以及棱的垂線，連接兩個垂足，得到一個角。思路三，在二面角的棱上任取一點，過這一點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條垂線，得到一個角。

針對上述探索結果，進一步提出問題：這三種角有什么區(qū)別和聯(lián)系？哪個角是要找的角？學生思考歸納后，指出：三種方法得到的角都是要找的角，其本質(zhì)是相同的，都可以用來度量二面角，但第三種思路較為簡單明了。

【設計意圖】學生通過直覺思維和類比的數(shù)學方法對二面角的平面角定義作出猜想，然后再加以論證，符合人類認識事物的一般規(guī)律。而且，在親身經(jīng)歷概念的形成過程中，體會到數(shù)學思想方法（類比、化歸）的重要性。

5．形式化表示概念及應用階段——學生經(jīng)歷概念的數(shù)學化表征及應用過程

引導學生進一步思考：為什么可以這樣定義？這個角是否唯一？

教師和學生共同抽象、概括二面角的平面角的形式化定義，并使用以下啟發(fā)性提示語。

（1）請學生分別用文字語言、圖形語言和符號語言來敘述“二面角的平面角”的定義。

（2）探討概念學習過程中用到的數(shù)學思想方法（類比、化歸）。

【設計意圖】“唯一性”是數(shù)學思維嚴謹性的表現(xiàn)，在探索時要啟發(fā)學生進行全面深刻的思考。啟發(fā)式教學思想強調(diào)“開其意，達其辭”。學生經(jīng)過獨立思考，想表達問題而又表達不出來時，教師要引導學生用通暢的語言進行表達。

請學生根據(jù)二面角的平面角定義，指出如何度量①學習機展開的角度②水壩面和水平面成適當?shù)慕嵌娶坌l(wèi)星的軌道平面和赤道平面成一定角度？

【設計意圖】使學生在應用概念解決問題的過程中，獲得了對二面角的平面角概念的深刻理解，并有利于學生合理的數(shù)學觀的形成（例如，數(shù)學概念不是天上突然掉下來的，而是由于研究問題的需要自然而然引入的，是從現(xiàn)實世界中抽象出來并有著廣泛應用的；其定義是合乎情理的；探索數(shù)學是有趣的等）。

基于啟發(fā)式數(shù)學教學思想的概念教學過程中，教師通過創(chuàng)設“憤悱”的教學情境，使學生產(chǎn)生疑難、問題，經(jīng)歷必要的困惑階段，從而更加積極地進行數(shù)學思考。并體味到已有概念不夠用了，才需要引入新概念，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學習需求，力求使數(shù)學概念的形成自然、合乎情理。同時，教師要鼓勵學生用探究的方式自己建構概念。在此過程中教師可以在思考方向、思考方法、思維策略上加以適當?shù)狞c撥和啟發(fā)，使學生經(jīng)過自己的真正努力掌握數(shù)學概念的本質(zhì)，領悟概念所反映的數(shù)學思想方法，建立相關知識的聯(lián)系，學會數(shù)學地思考和表達。

參考文獻

[1] 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學教學論.上海：華東師范大學出版社，2008.

[2] 章建躍.略論啟發(fā)式數(shù)學教學的基本要求.數(shù)學通報，1992（6）.

[3]韓龍淑，王新兵.數(shù)學啟發(fā)式教學的基本特征.數(shù)學教育學報，2009，18（6）.

【責任編輯付一靜】