唐和生+蘇瑜+薛松濤+鄧立新

文章編號(hào)：16742974(2014)04003306

收稿日期：20130417

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51178337，50708076）；科技部國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基礎(chǔ)研究項(xiàng)目（SLDRCE11B01）；同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院光華基金資助項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：唐和生（1973-），男，安徽安慶人，同濟(jì)大學(xué)副教授，博士

通訊聯(lián)系人，E-mail:thstj@#edu.cn

摘要：采用證據(jù)理論作為傳統(tǒng)概率的替代方法處理不精確的數(shù)據(jù)信息，提出了基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.該方法針對(duì)給定的失效概率許用值Pf，通過(guò)計(jì)算證據(jù)理論的不確定測(cè)度Pl(F)，以Pl(F)<Pf作為可靠性約束條件的替代模型進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì).為了降低基于證據(jù)理論不確定量化分析的計(jì)算成本，引入微分演化優(yōu)化算法計(jì)算區(qū)間邊界值.以典型桁架結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化問(wèn)題為例，驗(yàn)證了所提出方法的準(zhǔn)確性和有效性.



關(guān)鍵詞：證據(jù)理論；微分演化；可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)；形狀優(yōu)化



中圖分類號(hào)：TU318；TU323.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

AMethodofReliabilityDesignOptimizationUsingEvidence

TheoryandDifferentialEvolution



TANGHesheng1,2,SUYu1,XUESongtao1,DENGLixin1

（1.ResearchInstituteofStructuralEngineeringandDisasterReduction,TongjiUniv,Shanghai200092,China;

2.StateKeyLaboratoryofDisasterPreventioninCivilEngineering,TongjiUniv,Shanghai200092,China）

Abstract:Anewmethodofreliabilitydesignoptimizationusingtheevidencetheorywasproposed.Evidencetheorywaspresentedasanalternativetotheclassicalprobabilitytheorytohandletheimprecisedatasituation.TheplausibilitymeasurePl(F)basedonevidencetheory,withPl(F)



Keywords:evidencetheory;differentialevolution;reliabilitydesignoptimization;shapeoptimization



基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)是不確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效途徑.傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)常采用概率模型，但概率方法需要足夠的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息來(lái)擬合其概率特征，而實(shí)際工程中這些數(shù)據(jù)通常是無(wú)法準(zhǔn)確獲知的，所以傳統(tǒng)概率方法面臨巨大的挑戰(zhàn).

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者致力于發(fā)展非概率的不確定建模手段，并在其基礎(chǔ)上提出非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，其中由Dempster[1]和Shafer[2]提出的證據(jù)理論具有較強(qiáng)的不確定處理能力，已經(jīng)成為不確定信息表達(dá)和量化的有力工具，在多目標(biāo)識(shí)別、信息融合、多屬性決策等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[3-6].而基于證據(jù)理論的工程可靠性優(yōu)化分析剛剛起步，并且主要應(yīng)用于機(jī)械與航空領(lǐng)域.Mourelatos等[7]將證據(jù)理論應(yīng)用于內(nèi)壓容器可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，研究了基于證據(jù)理論的失效概率或可靠度指標(biāo)的計(jì)算問(wèn)題.Bae等[8]運(yùn)用證據(jù)理論解決機(jī)械工程中的不確定問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì).郭慧昕等[9-11]提出了證據(jù)理論和區(qū)間分析相結(jié)合的可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將此應(yīng)用于內(nèi)壓容器和氣門彈簧的可靠性研究中.盡管已經(jīng)取得了一些進(jìn)展，但是證據(jù)理論仍然很少應(yīng)用于實(shí)際工程的可靠性優(yōu)化問(wèn)題中，計(jì)算成本是導(dǎo)致該問(wèn)題的主要原因.同時(shí)，基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)在土木工程中的應(yīng)用還是一個(gè)新課題.

為此,本文采用證據(jù)理論處理不確定情況，引入微分演化算法降低證據(jù)理論在可靠性優(yōu)化中的計(jì)算成本，提出了證據(jù)理論和微分演化算法相結(jié)合的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并將該方法應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化問(wèn)題中，來(lái)驗(yàn)證本文所提方法的有效性.

1證據(jù)理論的基本原理

證據(jù)理論是由Dempster和Shafer提出的，又稱為DS理論.它是建立在辨識(shí)框架上的一種不確定理論，設(shè)Θ為辨識(shí)框架，它表示關(guān)于命題互不相容的所有可能答案的有限集合，類似于概率論中有限的樣本空間，冪集2Θ定義為辨識(shí)框架Θ中所有子集的集合，證據(jù)理論是對(duì)冪集元素進(jìn)行基本概率賦值[12].定義函數(shù)m：2Θ→[0,1]，AΘ.當(dāng)滿足：

m(Φ)=0，∑AΘm(A)=1，（1）

稱m為框架Θ上的基本信任分配函數(shù)(BBA)，m(A)為A的基本信任度，表示證據(jù)對(duì)A的信任程度，若m(A)>0，則稱A為焦元.

若m為框架Θ上的基本信任分配函數(shù)，則稱由

Bel(A)=∑BAm(B),（2）

Pl(A)=1-Bel()=∑B∩A≠m(B)（3）

所定義的函數(shù)Bel：2Θ→[0,1]為Θ上的信任函數(shù)，函數(shù)Pl：2Θ→[0,1]為Θ上的似然函數(shù)，Bel(A)表示對(duì)A為真的信任程度，Pl(A)表示對(duì)A為非假的信任程度，也稱為命題A的似然度，兩者之間的關(guān)系如圖1所示，Bel(A)和Pl(A)提供了概率P(A)的上限和下限.由此可見(jiàn)，以概率論為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)可靠性問(wèn)題只是證據(jù)理論的一個(gè)特例.



圖1對(duì)命題A的不確定描述

Fig.1UncertaintyrepresentationofpropositionA

對(duì)于認(rèn)識(shí)不夠透徹的不確定參數(shù)，可能會(huì)有多個(gè)專家提出不同的理論或不同的數(shù)據(jù)來(lái)組成多源證據(jù)，證據(jù)理論可以通過(guò)合成規(guī)則綜合考慮各種證據(jù)源的影響.經(jīng)典的DS合成規(guī)則為：假定m1和m2是同一辨識(shí)框架Θ上的2個(gè)基本信任分配函數(shù)，焦元分別為Ai和Bj，則新的基本信任分配函數(shù)m為：

m(A)=∑Ai∩Bj=Am1(Ai)m2(Bj)1-K,A≠.（4）

式中：K=∑Ai∩Bj=m1(Ai)m(Bj)，表示證據(jù)沖突性的大小.此即為2個(gè)證據(jù)合成的Dempster法則.當(dāng)證據(jù)沖突比較大時(shí)，應(yīng)選用其他的合成方法[13].

2證據(jù)理論和微分演化算法相結(jié)合的可靠

性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

2.1基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

一般來(lái)說(shuō)，基于概率理論的可靠性優(yōu)化問(wèn)題可表述為：

minF(xN,d),

s.t.P{gj(x,d)>g0}

P{gj(x,d)R,

j=1,2,…,k,

dL≤d≤dU,

xL≤xN≤xU．(5)

式中：x=[x1,x2,…,xn]T為n維不確定性量，分別服從一定的概率分布，[xL,xU]為不確定量x的名義值xN的取值區(qū)間；d=[d1,d2,…,dm]T為m維確定性量，[dL,dU]為d的取值區(qū)間；F和g分別為目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)；g(x,d)>g0表示結(jié)構(gòu)發(fā)生失效，g(x,d)<g0表示結(jié)構(gòu)安全，g0為許可的響應(yīng)值；k為約束條件的數(shù)目；P{}表示真實(shí)概率；Pf和R分別為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)給定的失效概率和可靠度許用值.

當(dāng)問(wèn)題中不確定量的認(rèn)識(shí)信息較少或不完整時(shí)，上述優(yōu)化模型中的約束條件不能采用概率理論來(lái)建立，此時(shí)，可以利用證據(jù)理論的不確定建模手段解決這一問(wèn)題.如圖1所示，證據(jù)理論用似然函數(shù)和信任函數(shù)來(lái)進(jìn)行不確定性度量，可以證明[Bel,Pl]是真實(shí)概率的區(qū)間估計(jì)，真實(shí)的失效概率或可靠度夾逼在該區(qū)間內(nèi)：

Pl{gj(x,d)>g0}

P{gj(x,d)>g0}

Bel{gj(x,d)R→

P{gj(x,d)R．（6）

由此，將Pl{gj(x,d)>g0}<pf或Bel{gj(x,d)<g0}>R作為傳統(tǒng)可靠性約束條件的替代模型，建立基于證據(jù)理論的廣義可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：

minF(xN,d)

Pl{gj(x,d)>g0}

g0}>R，

j=1,2,…,k，

dL≤d≤dU，

xL≤xN≤xU.（7）

模型中Pl{gj(x,d)>g0}或Bel{gj(x,d)<g0}是進(jìn)行非概率可靠性分析的前提，由于結(jié)構(gòu)失效占整個(gè)設(shè)計(jì)空間的比例較小，故以Pl{gj(x,d)>g0}<pf作為約束條件可以提高優(yōu)化效率，下面就Pl{gj(x,d)>g0}的計(jì)算進(jìn)行詳細(xì)闡述.

2.2基于微分演化方法的失效似然度計(jì)算

對(duì)于結(jié)構(gòu)分析中出現(xiàn)的不確定量，證據(jù)理論將其表述為區(qū)間數(shù).在計(jì)算結(jié)構(gòu)失效似然度時(shí)，首先根據(jù)不確定量的可能取值范圍，將其劃分為有限個(gè)互不相容的基本區(qū)間作為辨識(shí)框架.以圖2為例，不確定量x1的辨識(shí)框架X1={x11,x12,x13}，冪集2X1={Ф,{x11},{x12},{x13},{x11,x12},{x11,x13},{x12,x13},X1}，基于證據(jù)（專家意見(jiàn)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)）分析，對(duì)冪集中的焦元進(jìn)行基本信任度賦值，得到x1的基本信任分配函數(shù)m.



圖2不確定參數(shù)基本區(qū)間

Fig.2Basicintervalsofuncertaintyparameter



然后，對(duì)每個(gè)不確定變量的焦元進(jìn)行笛卡爾運(yùn)算，得到聯(lián)合焦元區(qū)間，以二維不確定參數(shù)為例：

C=x1×x2={ck=［x1m,x2n］:x1m∈X1,

x2n∈X2}.（8）

式中:x1m，x2n和ck分別為X1，X2和C的焦元區(qū)間.考慮到x1和x2的獨(dú)立性，二維聯(lián)合焦元的基本信任度m(ck)=m(x1m)m(x2n).

由于x1m和x2n都是區(qū)間，焦元ck在集合上為一矩形，顯然，對(duì)于n維問(wèn)題，聯(lián)合辨識(shí)框架中的焦元為n維“超立方體”.令y(x,d)表示結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，結(jié)構(gòu)失效域F為：

F={x:y=g0－g(x,d)<0,x=

［x1,…,xn］∈ck}.（9）

在聯(lián)合BBA和失效域F的基礎(chǔ)上，可根據(jù)式(2)和式(3)計(jì)算結(jié)構(gòu)失效測(cè)度Bel(F)和Pl(F)為：

Bel(F)=∑ckFm(Xc),

Pl(F)=∑ck∩F≠m(Xc)．(10)

可見(jiàn)，在計(jì)算失效測(cè)度時(shí)需要確定聯(lián)合焦元ck是否滿足ckF或ck∩F≠,圖3描述了ck對(duì)Bel(F)和Pl(F)的貢獻(xiàn)．從圖3可以看出：1）若ymax>0，ymin>0，則ck∩F=，ck對(duì)Pl(F)和Bel(F)沒(méi)有貢獻(xiàn)，即ck不參與Pl(F)和Bel(F)的計(jì)算.2）若ymax<0，ymin<0，則ck∩F=ck，ck對(duì)Pl(F)和Bel(F)的計(jì)算都有貢獻(xiàn).3）若ymax>0,ymin<0，ck僅對(duì)Pl(F)有貢獻(xiàn).



圖3焦元區(qū)間對(duì)失效似然度的貢獻(xiàn)

Fig.3Focalelementcontribution

toplausibilityofthefailureregion



因此，為準(zhǔn)確判斷，需要求解y(x,d)在ck對(duì)應(yīng)的“超立方體”域上的極值，即

［ymin,ymax］=［mincky(x,d),mincky(x,d)］.（11）

求解式（11）中區(qū)間極值的主要方法有采樣法和優(yōu)化方法，采樣法的精度很大程度上取決于采樣點(diǎn)數(shù)目，計(jì)算代價(jià)巨大.優(yōu)化方法會(huì)極大降低計(jì)算量，但由于不確定量x的焦元區(qū)間數(shù)目多，而且結(jié)構(gòu)響應(yīng)并不是簡(jiǎn)單的顯式而是通過(guò)有限元分析得到的，故利用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求解復(fù)雜多維非凸的極限狀態(tài)函數(shù)y(x,d)在ck上的極值顯得非常困難.

近年來(lái)仿生智能優(yōu)化算法被廣泛引入到結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，例如模擬退火法(SA)[14]、遺傳算法(GA)[15]、微分演化法(DE)[16]等，其中DE是一種新穎的啟發(fā)式智能算法，采用變異、交叉和選擇3項(xiàng)基本操作，通過(guò)若干代種群演化操作不斷舍棄劣質(zhì)解，保留優(yōu)質(zhì)解，最終獲取近似全局最優(yōu)解.研究表明，微分演化算法在求解非凸、多峰、非線性優(yōu)化問(wèn)題中表現(xiàn)出較強(qiáng)的穩(wěn)健性，同時(shí)具有收斂較快的優(yōu)點(diǎn)[17].因此，本文采用DE提高y(x,d)區(qū)間極值的求解速度，如圖4所示，從而減少優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算成本.

圖4區(qū)間函數(shù)極值求解

Fig.4Intervaloptimizationforcomputingbounds

根據(jù)以上描述，基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)是利用微分演化算法在滿足可靠性約束Pl{g(x,d)>g0}<pf的條件下，尋求結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)變量和最優(yōu)目標(biāo)值.同時(shí)，基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)約束失效似然度又是通過(guò)微分演化算法來(lái)提高其計(jì)算效率的，可靠性約束條件的計(jì)算流程如圖5所示.



圖5可靠性約束計(jì)算流程

Fig.5Flowchartofcalculationofreliabilityconstraint

3算例分析

為了便于比較，取文獻(xiàn)[18]中的25桿桁架形狀優(yōu)化進(jìn)行討論，結(jié)構(gòu)形式見(jiàn)圖6，彈性模量名義值E=68950MPa，作用于桁架上的荷載名義值列于表1，容許拉壓應(yīng)力[σ]=±275.6MPa，各節(jié)點(diǎn)三向允許的最大位移為8.89mm.其他參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[18].



圖625桿空間桁架結(jié)構(gòu)

Fig.625barspacetrussstructure



表125桿桁架節(jié)點(diǎn)荷載名義值

Tab.1Normalvalueofjointloadfor25bartruss

節(jié)點(diǎn)號(hào)

Fx/kN

Fy/kN

Fz/kN

1

4.448

-44.48

-44.48

2

0

-44.48

-44.48

3

2.224

0

0

6

2.668

0

0

文獻(xiàn)[18]對(duì)該桁架進(jìn)行了確定性優(yōu)化，本文在此基礎(chǔ)上考慮不確定情況，將外荷載和彈性模量視為不確定的，假定其不確定信息（焦元區(qū)間及基本信任度）如表2所示，在2種不確定因素存在的情況下，進(jìn)行既滿足可靠度約束條件又使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最小的最優(yōu)設(shè)計(jì)，該不確定優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

findd=［A1,A2,…,A8,X4,Y4,…,Y8］,

minF(d)=∑8i=1ρAiLi+λM,

s.t.Pl{gi(x,d)<0}

g1(x,d)=278.6-maxσk(x,d),

g2(x,d)=8.89-maxujl(x,d),

x=［F1x,F1y,…,F6z,E］．(12）

式中:d為尺寸和形狀設(shè)計(jì)變量;x為不確定參數(shù);Pl{gi(x,d)<0}

考慮結(jié)構(gòu)允許的失效概率Pf為0.05和0.1二種情況，采用本文所提方法對(duì)25桿桁架進(jìn)行可靠性形狀優(yōu)化.Pf=0.05情況的評(píng)價(jià)函數(shù)收斂曲線和最終形狀分別見(jiàn)圖7和圖8.圖9給出最優(yōu)設(shè)計(jì)時(shí)位移約束函數(shù)g2(x,d)的信任度和似然度累計(jì)分布曲線.為了與文獻(xiàn)[18]的確定性形狀優(yōu)化結(jié)果相比較，根據(jù)圖9，表3詳細(xì)列出了應(yīng)力和位移約束失效似然度.

表2外荷載和彈性模量的不確定信息

Tab.2Theuncertaininformationofloadandelasticmodulus

F1x/kN

F1y/kN

F1z/kN

F2y/kN

區(qū)間

BPA

區(qū)間

BPA

區(qū)間

BPA

區(qū)間

BPA

[3.54.6]

0.15

[-48.9-44.5]

0.2

[-48.9-44.5]

0.2

[-48.9-44.5]

0.2

[4.24.6]

0.65

[-44.5-40.0]

0.5

[-44.5-40.0]

0.5

[-44.5-40.0]

0.5

[4.65.3]

0.2

[-40.0-33.4]

0.3

[-40.0-33.4]

0.3

[-40.0-33.4]

0.3

F2z/kN

F3x/kN

F6x/kN

E/103MPa

[-48.9-44.5]

0.2

[1.82.3]

0.15

[2.12.8]

0.15

[6065]

0.1

[-44.5-40.0]

0.5

[2.12.3]

0.65

[2.52.8]

0.65

[6570]

0.5

[-40.0-33.4]

0.3

[2.32.7]

0.2

[2.83.2]

0.2

[7080]

0.4

迭代次數(shù)

圖725桿桁架形狀優(yōu)化的收斂曲線

Fig.7Shapeoptimizationconvergence

historyof25bartruss





圖825桿桁架的形狀優(yōu)化結(jié)果

Fig.8Optimumshapeof25bartruss

由圖7可知，該算法具有很高的計(jì)算效率，25桿桁架形狀的優(yōu)化計(jì)算在迭代大約100次后已經(jīng)收斂.從圖9和表3可以看出，在Pf=0.1和Pf=0.05兩種情況下，位移約束失效概率［P(g2<0)］的不確定區(qū)間

g2(x,d)(a)Pf=0.05

g2(x,d)(b)Pf=0.1

圖9位移約束的信任度和似然度累積分布

Fig.9Cumulativebeliefandplausibility

distributionfordisplacementconstraint



[Bel,Pl]分別為[0,0.066]和[0,0.036]，失效似然度即概率上界均小于相應(yīng)的失效概率許用值，滿足設(shè)計(jì)可靠度的要求.由表3可知，由于考慮不確定性的存在，基于DS可靠性優(yōu)化結(jié)果總質(zhì)量要比確定性優(yōu)化結(jié)果有所增加，但是從失效似然度來(lái)看，前者的可靠性（93.4%，96.4%）要明顯高于后者（5%）.由此可見(jiàn)，對(duì)不確定量的認(rèn)識(shí)信息較少，無(wú)法采用概率理論時(shí)，證據(jù)理論以區(qū)間測(cè)度[Bel,Pl]代替?zhèn)鹘y(tǒng)概率單值來(lái)描述這種認(rèn)知不確定顯得更為合理.由于基于DS的可靠性優(yōu)化將使結(jié)構(gòu)具有良好的魯棒性，有效避免由于錯(cuò)誤估計(jì)而造成優(yōu)化結(jié)果的偏差.

表325桿空間桁架形狀優(yōu)化結(jié)果比較

Tab.3Comparisonofoptimaldesignsforthe25bartruss

設(shè)計(jì)變量

/mm2

文獻(xiàn)[18]

結(jié)果/mm2

本文不確定分析

結(jié)果/mm2

Pf=0.05

Pf=0.1

A1

64.5

64.5

64.5

A2

64.5

64.5

64.5

A3

645

774.2

774.2

A4

64.5

64.5

64.5

A5

64.5

64.5

64.5

A6

64.5

64.5

64.5

A7

64.5

64.5

64.5

A8

580.6

838.7

709.6

X4

949.9

984.6

961.1

Y4

1406.6

1770.5

1375.6

Z4

3283.9

2599.1

3283.7

X8

1315.9

1322.5

1468.0

Y8

3544.8

3400.5

3533.2

總質(zhì)量/kg

Pl(g1<0)

Pl(g2<0)

53.1

0

0.95

66.5

0

0.036

62.2

0

0.066

4結(jié)論

可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于不確定信息較少無(wú)法構(gòu)造精確概率分布時(shí)，證據(jù)理論代替?zhèn)鹘y(tǒng)的概率理論進(jìn)行不確定信息描述是一種理想的選擇.該方法用不確定區(qū)間測(cè)度[Bel,Pl]代替不可知的真實(shí)概率來(lái)處理不完備的數(shù)據(jù)信息，以Pl(F)<Pf作為概率可靠性約束條件的替代模型，本文同時(shí)引入微分演化算法提高求解聯(lián)合焦元內(nèi)反應(yīng)區(qū)間極值的計(jì)算效率以及可靠性優(yōu)化的尋優(yōu)速度，降低證據(jù)理論在可靠性優(yōu)化中的計(jì)算成本.

本文以25桿桁架形狀優(yōu)化為例，在考慮荷載和彈性模量均為不確定的情況下，基于DS進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)得到了很好的結(jié)果.分析結(jié)果表明，本文所提方法在實(shí)際工程中具有一定的應(yīng)用前景.

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