朱少平 王珍

摘 要：概率論習(xí)題對于很多同學(xué)尤其是初學(xué)者來說感覺太難，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過具體的例子對若干解題方法和技巧予以闡述。

關(guān)鍵詞：概率論；解題

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的課程，和其它數(shù)學(xué)類課程相比較，諸多概念都要抽象得多。而對概率論習(xí)題，歷來形成一種片面的看法--太難，盡管有趣，可不容易掌握規(guī)律。甚至于剛開始這門課程的學(xué)習(xí)尚未入門便有此見，在一定程度上影響了我們的教學(xué)。從根本上說，概率論的習(xí)題同其它任何一門數(shù)學(xué)課程一樣并不困難，只是由于這門學(xué)科的獨(dú)特性--處理隨機(jī)現(xiàn)象，在處理的方法上和其它數(shù)學(xué)學(xué)科很不一樣，更著重從概念與思路去解決問題，學(xué)生一下子掌握不了便很自然了。在教學(xué)實(shí)踐中，總結(jié)了一些解概率習(xí)題的方法，歸納如下。

1 巧用對稱性

在考慮古典概型時(shí)，我們著眼于要使樣本的處于對稱的地位，對稱性的應(yīng)用在古典概型中是很廣泛的，下面舉一些運(yùn)用對稱性的例子。

例1：n對夫婦任意排成一列，求每一位妻子都排在她的丈夫前面的概率。

解：以Ai記事件"第i對夫婦丈夫排在妻子的后面"，這時(shí)即要求P（A1A2…An）。首先根據(jù)對稱性，P（Ai）=，因?yàn)閷γ恳粚Ψ驄D來說，要么妻子在前要么丈夫在前，這兩者等可能發(fā)生。此外，還可以進(jìn)一步得到A1，A2，…，An是相互獨(dú)立的，這是因?yàn)槲覀儧]有任何理由可以斷定其中某對夫婦丈夫與妻子的先后位置可以影響到其他的夫婦丈夫與妻子的先后位置。于是有P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）=?；蛟S有人對A1，A2，…，An是相互獨(dú)立的這一事實(shí)不放心，可以用排列組合直接計(jì)算。排列的總數(shù)是（2n）！，為了計(jì)算有利樣本點(diǎn)數(shù)，可以首先考慮n個(gè)丈夫的排列，一共有n！種可能，然后將排在第一位的那位丈夫的妻子放入隊(duì)伍，很顯然她只有一種可能的位置--排在最前面。接著把排在第二位的丈夫的妻子放進(jìn)隊(duì)伍，由于她丈夫前面已有兩人，因此她有3種可選擇的位置。對排在第三位的丈夫的妻子來說進(jìn)入隊(duì)伍有5種可選擇的位置。依次下去，考慮最后那一位丈夫的妻子，進(jìn)入隊(duì)伍有2n-1個(gè)可供選擇的位置，這樣有利樣本點(diǎn)總數(shù)是n?。?n-1）??！=n！×（1·3·5…（2n-1）），于是所要求的概率是=。這個(gè)結(jié)果與前面的一致，但是這種做法不容易想到，并且計(jì)算復(fù)雜。前一種做法充分考慮了概率論的概念，使得計(jì)算簡單，顯然優(yōu)越得多。

例2：某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有n根，每次使用時(shí)，他任取一盒并從中抽出一根。問當(dāng)他發(fā)現(xiàn)一盒空而另一盒還有r（0≤r≤n）根的概率是多少？

解：由對稱性，只要計(jì)算事件A="發(fā)現(xiàn)甲盒空而乙盒還有 根"的概率，所求概率是這個(gè)概率的2倍。首先計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)槊看味际堑瓤赡艿厝〖缀谢蛞液?，共取?n-r+1次，故樣本空間中共有22n-r+1個(gè)樣本點(diǎn)。事件A的發(fā)生可分兩段考察，前2n-r次中甲盒恰好取到n次，且次序不論，最后一次必定取到甲盒，這樣才發(fā)現(xiàn)甲盒已空，這種樣本點(diǎn)共有2n-r

n個(gè)，因此P（A）=2n-r

n/22n-r+1。故所求概率為p=2P（A）=2n-r

n/22n-r。

例3：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)開始，等可能地向上下左右四個(gè)方向隨機(jī)游動(dòng)，每次游動(dòng)的距離為1，求經(jīng)過2n次游動(dòng)后，質(zhì)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)的概率。

解：由于每次都是等可能地向四個(gè)方向隨機(jī)游動(dòng)，所以經(jīng)過2n次游動(dòng)后，樣本空間總的樣本點(diǎn)數(shù)為42n。假設(shè)所求事件為An，則若要質(zhì)點(diǎn)過2n次游動(dòng)后回到出發(fā)點(diǎn)，An要滿足上下游動(dòng)次數(shù)相等、左右游動(dòng)的次數(shù)也相等，若左、右移動(dòng)各k次，則上、下移動(dòng)各n-k次，共2n次，這類樣本點(diǎn)共有（2n）！/k！k！n-k！n-k！個(gè)，將k自0至n累加即得事件An所含樣本點(diǎn)數(shù)NA，其中N==2n

n，則所求概率為P

A=2n

n/4。

2 運(yùn)用逆事件公式

在計(jì)算概率時(shí)要充分利用概率的性質(zhì)，牢牢掌握求逆事件的概率公式P

=1-PA 。

例4：擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于出現(xiàn)反面次數(shù)的概率是多少。

解：設(shè)A表示事件"出現(xiàn)正面次數(shù)多于出現(xiàn)反面次數(shù)"，顯然當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正面次數(shù)與反面次數(shù)不可能相等，因此A的逆事件就是"反面次數(shù)多于正面次數(shù)"。根據(jù)對稱性，也就是說正、反面可以互換，P

=1-PA=。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)可能相等可能不等，且相等的概率為n

/2，仍用前面的辦法可算得PA=1-n

/2。

在解決上述問題時(shí)，如果沒有充分考慮逆事件的概率公式這樣一個(gè)有力的工具，若要得到上述解法恐怕很困難。

3 整值隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

整值隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望

EX=n·PX=n

=PX=1+PX=2+…+PX=n+…

+PX=2+…+PX=n+…

+…

+PX=n+…

+…

=PX≥1+X≥2+…+PX≥n+…

即有EX=PX≥n

例5：甲、乙兩人進(jìn)行比賽，每局甲勝的概率為p，乙勝的概率為1-p=q，比賽進(jìn)行到有一人連勝兩局為止，以X表示比賽的局?jǐn)?shù)，求平均比賽多少局。

解：題設(shè)即求E（X）。若直接求X的分布列并不困難：PX=2k+1=pq+pq=pq，k≥0；PX=2k=

P

+qpqk-1，k≥1。后面求期望時(shí)涉及到的級數(shù)求和會(huì)比較麻煩。改用P（X≥n）就可避免這種麻煩。由于X≥n表示到n-1局為止，沒有一人連勝兩局，總是兩人輪流勝，于是PX≥1=1，PX≥2k+1=2pq，k≥1，

PX≥2k=pq+pq=pq，k≥1

故EX=1+2pq+pq=3pq=-1=。

4 結(jié)束語

在概率論課程教學(xué)中，鉆研解題方法有利于教師的教和學(xué)生的學(xué)，有助于教學(xué)質(zhì)量的提高和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：江西省教改項(xiàng)目（JXJG-13-9-9）