王露健，周星德，秦飛馬，張 翔，李勇直

(河海大學土木與交通學院，江蘇南京 210098)

振動主動控制中的系統(tǒng)模型只是實際物理系統(tǒng)的一個近似，模型誤差存在必然會降低控制系統(tǒng)的功能;由于系統(tǒng)的狀態(tài)不可測或不易觀測，測量結果可能受噪聲干擾，必須采用觀測器來進行狀態(tài)變量估計［1-3］。基于觀測器的狀態(tài)變量估計是振動主動控制技術應用于實際的關鍵，而觀測變量個數(shù)往往少于狀態(tài)變量個數(shù)，導致狀態(tài)變量估計值出現(xiàn)較大誤差。為了實現(xiàn)振動主動控制的目的，控制器設計需滿足穩(wěn)定性要求。目前，多數(shù)控制器設計利用Lyapunov穩(wěn)定性原理來保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性［4-5］。此外，控制器設計還要滿足一定的性能指標及約束條件。隨著振動控制策略研究的深入，設計中往往存在多個約束條件，同時各個約束條件之間相互制約，因而線性矩陣不等式(LMI)得到了應用［6-11］。但在實際的應用過程中，含多個未知參數(shù)的LMI求解存在缺陷，因此，筆者以文獻［12］作為參考對基準建筑物進行控制器設計，并對由約束條件及性能指標構造的含2個未知參數(shù)的LMI求解做出改進。

1 控制器設計

建立狀態(tài)方程如下:

式中:xp——2r×1維狀態(tài)矢量;t——時間變量;A——2r×2r維矩陣;D——2r×g 維矩陣;u——作動器控制力向量;E——2r×1維矩陣——地震波加速度。

以位移作為控制輸出矢量:

式中:H——q×2r維輸出矩陣(q為控制輸出的狀態(tài)變量數(shù)目)。

采用Kalman濾波器進行狀態(tài)變量估計，設測量方程與控制輸出方程一致，最優(yōu)估計如下:

其中

由于地震波是未知的，在進行控制器設計時采用不考慮地震外激勵的模式。誤差函數(shù)定義為

其導數(shù)為

對照文獻［12］，本文不存在參考模型，故將控制力的表達式定義為

式中:γ——正數(shù);P——相應維數(shù)的正定矩陣。

為保證控制力作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構建Lyapunov函數(shù)

對其求導，簡記為如下二次型形式:

其中

Basher［12］提出基于觀測器的LMI控制方法，要求矩陣Q＜0，滿足穩(wěn)定性，但未給出P和γ的確定方法。同時確定P和γ是很困難的，此外，考慮到‖P‖和γ的數(shù)量級問題，本文提出如下優(yōu)化模型:

在求解策略方面，提出通過給定P來優(yōu)化γ的方案;為了保證‖P‖和γ數(shù)量級一致，可以對角矩陣的方式給出初值P;筆者通過調試，發(fā)現(xiàn)采用單位矩陣作為初值P是一個較優(yōu)的選擇。具體求解過程如下:(a)令P=I(I為相應維數(shù)的單位矩陣);(b)通過式(9)進行優(yōu)化計算，確定目標函數(shù)J;(c)利用式(6)確定控制力，在進行仿真分析時，筆者發(fā)現(xiàn)u=γDTPxz不能達到很好的控制效果，進而根據(jù)實際控制要求來確定調節(jié)因子β。最終得到控制力的表達式為

2 實例分析

有關3層基準建筑物的詳細定義、截面尺寸及節(jié)點劃分可參閱文獻［13］。

每個節(jié)點考慮水平、豎直和轉動共3個自由度，整個結構共計60個自由度，去掉約束后還有45個自由度。在地震作用下的振動方程可表示為

式中:M、C、K——建筑物質量、阻尼和剛度矩陣，均為45×45階矩陣;Γ——地震作用的位置矩陣;¨xg——地震波加速度;B——作動器定位矩陣，為45×p階矩陣;u——p×1維控制力矢量(p為作動器數(shù)目)［14］。

為了驗證本文方法的可行性，對3層基準建筑物進行仿真。地震波采用Kobe波，時間歷程取為50 s。樓層1布置2個相同的作動器，樓層2和樓層3各布置1個作動器?？刂戚敵鰳菍?和樓層3的位移。

由于3層基準建筑物的自由度數(shù)目比較多，本例中取前5階模態(tài)進行降階計算［15-16］。前5階自然頻率為0.99 Hz、3.06 Hz、5.83 Hz、7.23 Hz、9.97 Hz。

式(1)的狀態(tài)方程中xp為10×1維狀態(tài)矢量，A、D、E分別為10×10、10×2、10×1維矩陣。式(2)中H為2 ×10 維輸出矩陣，其中 H(1，2)=1，H(2，3)=1，其余均為0。

通過求解器，得到Kalman濾波器的增益矩陣L，從而得到所有狀態(tài)變量的估計值。

再通過優(yōu)化模型(式(9))的求解，得到J=0.7。然后經(jīng)過反復調試，得到較優(yōu)的調節(jié)因子β=1013，從而得到最終的控制律α:

最后給出控制前后樓層2和樓層3的位移響應及作動器控制力的時程曲線，見圖1、圖2。

圖1 控制前后的位移時程曲線Fig.1 Displacement time histories before and after control

圖2 作動器控制力時程曲線Fig.2 Control time histories of actuator

3 結 語

以3層基準建筑物為研究對象，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足約束條件的限制下，建立了含有2個未知參數(shù)的線性矩陣不等式，通過對不等式求解，得到較優(yōu)的性能指標，并在不斷的調試下得到最終的控制律。從仿真結果看，本文方法具有較好的控制效果。

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