劉海濤

數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)一直是初中數(shù)學(xué)教師研究的熱點(diǎn)問題，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。把解題教學(xué)與科學(xué)合理的程序性知識表征聯(lián)系起來，對解題教學(xué)可起到事半功倍的效果。通過“圖形”基本化、“動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化、“典形”對象化、“局部”過程化等方法優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

“圖形”基本化 “動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化 “典形”對象化 “局部”過程化

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，而解題在安德森對知識的分類中屬程序性知識，程序性知識的表征是一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)。數(shù)學(xué)程序性知識又分為智慧技能和認(rèn)知策略，智慧技能又分為簡單操作性技能和復(fù)雜操作性技能。綜合題主要考查學(xué)生初中階段所學(xué)的核心基本知識，基本技能，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。題目靈活多變，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高，學(xué)生要綜合運(yùn)用所學(xué)的知識和數(shù)學(xué)思想方法才能解答，因解法多維，故屬復(fù)雜性操作技能，因此，學(xué)生對綜合題的表征形成簡單操作性技能，是教學(xué)的難點(diǎn)。如何表征才能建構(gòu)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力？本文就此談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考。

一、“圖形”基本化

“圖形”基本化是指在復(fù)雜圖形中分離出解題所需要的基本圖形，利用基本圖形的性質(zhì)分析問題、解決問題。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因?yàn)榭臻g形式的復(fù)雜性，人類不可能把所有圖形的性質(zhì)都認(rèn)知清楚。但人們發(fā)現(xiàn)，很多復(fù)雜的圖形是由基本圖形組合而成，把復(fù)雜圖形的問題轉(zhuǎn)化為基本圖形的問題解決，是人類智慧的結(jié)晶。因此，基本圖形的性質(zhì)，以及如何從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形是要求學(xué)生必須進(jìn)行重點(diǎn)表征的。初中幾何知識中，有很多基本圖形，如相似形中的A型圖、8型圖、一線三等角、子母三角形等，這些基本圖形的識別與性質(zhì)的靈活運(yùn)用是學(xué)生解決復(fù)雜問題的思維載體，有助于學(xué)生形成簡單操作性技能，從而提高學(xué)生解綜合題的能力。

例1：如圖1，⊙O的半徑為6，線段AB與⊙O相交于點(diǎn)C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點(diǎn)E，設(shè)OA=x，CD=y.

（1）求BD長；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)CE⊥OD時(shí)，求AO的長.

分析：此題由已知條件圖形化之后，不難發(fā)現(xiàn)第（1）問運(yùn)用△ACO∽△ODB從而求出BD長。第（2）問以第（1）問為線索，從圖形中分離出來子母三角形△ACO∽△AOB（如圖2），可順利解答此問。第（3）問顯然要把問題轉(zhuǎn)化為方程問題。

（1）略，BD=9

（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC=∠B

又∵∠A=∠A，∴△ACO∽△AOB

∴■=■，

∵AB=AC+CD+BD=y+13，∴■=■

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=■x2-13

定義域?yàn)?■

（3）略，AO=2+2■.

思考：學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有基本圖形清晰的表象，才能夠與新的圖形剌激產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，從而激活已經(jīng)有的知識鏈，分離出基本圖形。解題時(shí)，一是通過已知條件獲得解題線索。此例中把已知條件圖形化后，很快會發(fā)現(xiàn)相似的圖形。二是通過敏銳的觀察能力與表征的基本圖形聯(lián)結(jié)獲得解題線索。此例中有幾對子母三角形，那么在解題中運(yùn)用哪一對呢？通過分析已知與未知所要的關(guān)系式，不難發(fā)現(xiàn)是運(yùn)用△ACO∽△AOB這個(gè)線索。

二、“動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化

“動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化是指把動(dòng)態(tài)問題通過動(dòng)態(tài)不變性轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決。動(dòng)態(tài)問題反映的是現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，題目往往以動(dòng)點(diǎn)問題出現(xiàn)，通常以幾何圖形為背景的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們在線段、射線、直線或弧線上運(yùn)動(dòng)，與其他定點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形的一類開放性題目。此類題目動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，惟妙惟肖，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形中存在動(dòng)態(tài)不變性，學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)問題中的這個(gè)規(guī)律，巧妙利用這個(gè)規(guī)律，才能綜合運(yùn)用初中階段所學(xué)習(xí)的核心知識解決問題。但是對不同的題目其動(dòng)態(tài)不變性是不同的，因此學(xué)生在表征此類題目時(shí)，可把動(dòng)態(tài)不變性進(jìn)行分類表征，如：角度不變性，相似不變性等。

例2：如圖3，已知扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D。

①若BC=1，求OD的長；

②在△DOE中，是否存在長度保持不變的邊，若存在，求出該邊的長；若不存在，請說明理由；

③設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域。

分析：如圖4，本題第①問學(xué)生可順利解答。第②問對部分學(xué)生來說有一定困難，原因是學(xué)生觀察圖形的能力以及對圖形的感悟不理想，從中分析不出來點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)變化過程中，點(diǎn)D與點(diǎn)E始終分別是弦BC與AC的中點(diǎn)這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，因此不能順利解答此問。事實(shí)上，如果分析出這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，連接AB即可得線段DE的長度是不變的始終是線段AB的一半。第③問要求△DOE的面積為y，依據(jù)三角形面積公式，必須知道一邊及這邊上的高，從已知不難發(fā)現(xiàn)OD是可用含x代數(shù)式表示出來的，就是在△DOE中，知道了一條邊，根據(jù)解三角形知識，可知還少一個(gè)角，如果再知道一個(gè)角，問題即可解決，通過觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)連接OC可得∠DOE在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，其度數(shù)是不變的，始終是45°，抓住這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，通過添加輔助線DF⊥OE，利用解直角三角形知識，可順利解答此題。

解：（1）略，OD=■

（2）略，DE=■

（3）如圖4，連接OC，作DF⊥OE交OE于點(diǎn)F

因?yàn)镺D⊥BC，OE⊥AC，所以∠1=∠2，∠3=∠4

又因?yàn)椤螦OB=90°，

所以∠2+∠3=■∠AOB=45°

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因?yàn)镺D=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過分類、比較、辨析，探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)。二是要使學(xué)生所學(xué)的知識能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題要從大腦中提取所需的基本知識（陳述性知識）以及解決問題的基本方法（程序性知識），如果這些知識在大腦中有穩(wěn)定合理的知識結(jié)構(gòu)，這樣，學(xué)生提取知識的速度和運(yùn)用這些知識進(jìn)行聯(lián)想思維的能力會大大提高，如上題第三問的解答過程聯(lián)想到要求出一個(gè)角，從而獲得解題需要的角度不變性。

三、“典形”對象化

“典形”對象化是指對非常典型的問題，以對象的形式進(jìn)行表征。面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的最新思想，對象概念是隨著人類利用計(jì)算機(jī)解決問題的復(fù)雜程度而產(chǎn)生的，是人類解決復(fù)雜問題的基本方法，對象由數(shù)據(jù)及對數(shù)據(jù)的處理程序組成，對象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對象解決一類問題。一是布魯納的研究認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類目指一組有關(guān)的對象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則?！盵1]二是長時(shí)記憶的表征理論認(rèn)為：“人的長時(shí)記憶系統(tǒng)的表征并不是雜亂無章的，而是按照一定的規(guī)律有組織地儲存。人的認(rèn)知系統(tǒng)可以將大量相似信息組合在一起而形成更有代表性的相對抽象的心理表征，這種心理表征就是概念?！盵2]三是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用所學(xué)的知識解答數(shù)學(xué)問題，是比較復(fù)雜的一個(gè)思維操作過程，需要學(xué)生運(yùn)用表征的數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題，綜合題的復(fù)雜程度是可想而知的。把面向?qū)ο蟮乃枷脒\(yùn)用到數(shù)學(xué)解題的表征上，對象由問題及問題的解決方法組成，封裝是指把問題與解決問題的方法表征在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也就是布魯納所說的類目。繼承是指把問題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問題域，繼承原問題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

第一，問題與解決方法封裝在一起有利于知識的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識信息時(shí)，因?yàn)閱栴}與解決問題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取，有利于運(yùn)用此知識信息進(jìn)行新的信息加工。

第二，對問題的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問題的類比入口，從而在類比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。波利亞在怎樣解題中說“你以前見過此題嗎？是否見過形式上略有不同的題？你是否知道與此有關(guān)的題？是否知道可用的定理？注意未知！考慮一個(gè)你熟悉的未知相同或類似的題目。”運(yùn)用類比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對題目條件進(jìn)行充分變式后，能夠擴(kuò)大題目的類比范圍，從而提高典型問題的類比率。

第三，對問題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。一題多解可開闊學(xué)生的解決問題的思維，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問題。一題多變可擴(kuò)大問題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問題系，豐富問題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)。點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置。將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C。請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與Y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1。點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖像，故圖像開口大小、對稱軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問題，第一，對問題可尋求多種解法。第二，對求二次函數(shù)解析式問題，可對條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=■，OB=2等。第三，可將此題與其他二次函數(shù)問題進(jìn)行聯(lián)系，形成問題系。

思考：此題是典型的數(shù)型結(jié)合問題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫出圖形是獲取解題思路的重要步驟。波利亞在怎樣解題的理解題中說：“學(xué)生應(yīng)該專心地、反復(fù)地并且從各個(gè)方面來考慮題目的主要部分。如果一幅圖與該題目有關(guān)，他應(yīng)畫一張圖并在圖上標(biāo)明未知量與已知數(shù)據(jù)?！焙瘮?shù)問題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目有圖，學(xué)生解答起來比較容易，如果題目沒有圖形，需學(xué)生自己畫圖，就增加了題目的難度，因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對這類問題對象化后，會在長時(shí)記憶中形成此對象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對此類問題經(jīng)變式訓(xùn)練可形成簡單操作性技能。

四、“局部”過程化

“局部”過程化是指對綜合題的局部解題方法進(jìn)行過程化，使學(xué)生對這些過程的表征形成簡單操作技能。過程化思想來源于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，在程序設(shè)計(jì)過程中，有很多程序在執(zhí)行過程中會遇到同樣的一些操作，而這些操作，解決的問題是相同的，只是有些變量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系數(shù)不同而已，因此在程序設(shè)計(jì)時(shí)，把解一元二次方程的程序可單獨(dú)編寫一個(gè)過程，供使用時(shí)調(diào)用。事實(shí)上，綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過程中，是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過的，簡言之，綜合題也是由簡單的問題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡單操作技能供解題需要時(shí)提取，可以提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在X軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：如圖8，此題的第（3）問，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類問題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見的問題，兩個(gè)三角形相似的分類討論問題。此題三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對角相等，然后分類討論解答此題。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如圖9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）.

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）.

思考：初中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，其變化有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的思維過程比較固定，表征時(shí)可形成一個(gè)簡單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問題的過程中。

總之，綜合題的解答是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地對綜合題的解題進(jìn)行表征，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2009（3）.

[2] 張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

【責(zé)任編輯 付一靜】

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因?yàn)镺D=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過分類、比較、辨析，探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)。二是要使學(xué)生所學(xué)的知識能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題要從大腦中提取所需的基本知識（陳述性知識）以及解決問題的基本方法（程序性知識），如果這些知識在大腦中有穩(wěn)定合理的知識結(jié)構(gòu)，這樣，學(xué)生提取知識的速度和運(yùn)用這些知識進(jìn)行聯(lián)想思維的能力會大大提高，如上題第三問的解答過程聯(lián)想到要求出一個(gè)角，從而獲得解題需要的角度不變性。

三、“典形”對象化

“典形”對象化是指對非常典型的問題，以對象的形式進(jìn)行表征。面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的最新思想，對象概念是隨著人類利用計(jì)算機(jī)解決問題的復(fù)雜程度而產(chǎn)生的，是人類解決復(fù)雜問題的基本方法，對象由數(shù)據(jù)及對數(shù)據(jù)的處理程序組成，對象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對象解決一類問題。一是布魯納的研究認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類目指一組有關(guān)的對象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則?！盵1]二是長時(shí)記憶的表征理論認(rèn)為：“人的長時(shí)記憶系統(tǒng)的表征并不是雜亂無章的，而是按照一定的規(guī)律有組織地儲存。人的認(rèn)知系統(tǒng)可以將大量相似信息組合在一起而形成更有代表性的相對抽象的心理表征，這種心理表征就是概念。”[2]三是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用所學(xué)的知識解答數(shù)學(xué)問題，是比較復(fù)雜的一個(gè)思維操作過程，需要學(xué)生運(yùn)用表征的數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題，綜合題的復(fù)雜程度是可想而知的。把面向?qū)ο蟮乃枷脒\(yùn)用到數(shù)學(xué)解題的表征上，對象由問題及問題的解決方法組成，封裝是指把問題與解決問題的方法表征在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也就是布魯納所說的類目。繼承是指把問題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問題域，繼承原問題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

第一，問題與解決方法封裝在一起有利于知識的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識信息時(shí)，因?yàn)閱栴}與解決問題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取，有利于運(yùn)用此知識信息進(jìn)行新的信息加工。

第二，對問題的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問題的類比入口，從而在類比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。波利亞在怎樣解題中說“你以前見過此題嗎？是否見過形式上略有不同的題？你是否知道與此有關(guān)的題？是否知道可用的定理？注意未知！考慮一個(gè)你熟悉的未知相同或類似的題目。”運(yùn)用類比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對題目條件進(jìn)行充分變式后，能夠擴(kuò)大題目的類比范圍，從而提高典型問題的類比率。

第三，對問題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。一題多解可開闊學(xué)生的解決問題的思維，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問題。一題多變可擴(kuò)大問題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問題系，豐富問題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)。點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置。將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C。請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與Y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1。點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖像，故圖像開口大小、對稱軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問題，第一，對問題可尋求多種解法。第二，對求二次函數(shù)解析式問題，可對條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=■，OB=2等。第三，可將此題與其他二次函數(shù)問題進(jìn)行聯(lián)系，形成問題系。

思考：此題是典型的數(shù)型結(jié)合問題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫出圖形是獲取解題思路的重要步驟。波利亞在怎樣解題的理解題中說：“學(xué)生應(yīng)該專心地、反復(fù)地并且從各個(gè)方面來考慮題目的主要部分。如果一幅圖與該題目有關(guān)，他應(yīng)畫一張圖并在圖上標(biāo)明未知量與已知數(shù)據(jù)?！焙瘮?shù)問題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目有圖，學(xué)生解答起來比較容易，如果題目沒有圖形，需學(xué)生自己畫圖，就增加了題目的難度，因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對這類問題對象化后，會在長時(shí)記憶中形成此對象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對此類問題經(jīng)變式訓(xùn)練可形成簡單操作性技能。

四、“局部”過程化

“局部”過程化是指對綜合題的局部解題方法進(jìn)行過程化，使學(xué)生對這些過程的表征形成簡單操作技能。過程化思想來源于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，在程序設(shè)計(jì)過程中，有很多程序在執(zhí)行過程中會遇到同樣的一些操作，而這些操作，解決的問題是相同的，只是有些變量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系數(shù)不同而已，因此在程序設(shè)計(jì)時(shí)，把解一元二次方程的程序可單獨(dú)編寫一個(gè)過程，供使用時(shí)調(diào)用。事實(shí)上，綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過程中，是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過的，簡言之，綜合題也是由簡單的問題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡單操作技能供解題需要時(shí)提取，可以提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大?。?/p>

（3）如果點(diǎn)C在X軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：如圖8，此題的第（3）問，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類問題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見的問題，兩個(gè)三角形相似的分類討論問題。此題三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對角相等，然后分類討論解答此題。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如圖9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）.

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）.

思考：初中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，其變化有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的思維過程比較固定，表征時(shí)可形成一個(gè)簡單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問題的過程中。

總之，綜合題的解答是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地對綜合題的解題進(jìn)行表征，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2009（3）.

[2] 張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

【責(zé)任編輯 付一靜】

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因?yàn)镺D=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過分類、比較、辨析，探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)。二是要使學(xué)生所學(xué)的知識能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題要從大腦中提取所需的基本知識（陳述性知識）以及解決問題的基本方法（程序性知識），如果這些知識在大腦中有穩(wěn)定合理的知識結(jié)構(gòu)，這樣，學(xué)生提取知識的速度和運(yùn)用這些知識進(jìn)行聯(lián)想思維的能力會大大提高，如上題第三問的解答過程聯(lián)想到要求出一個(gè)角，從而獲得解題需要的角度不變性。

三、“典形”對象化

“典形”對象化是指對非常典型的問題，以對象的形式進(jìn)行表征。面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的最新思想，對象概念是隨著人類利用計(jì)算機(jī)解決問題的復(fù)雜程度而產(chǎn)生的，是人類解決復(fù)雜問題的基本方法，對象由數(shù)據(jù)及對數(shù)據(jù)的處理程序組成，對象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對象解決一類問題。一是布魯納的研究認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類目指一組有關(guān)的對象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則?！盵1]二是長時(shí)記憶的表征理論認(rèn)為：“人的長時(shí)記憶系統(tǒng)的表征并不是雜亂無章的，而是按照一定的規(guī)律有組織地儲存。人的認(rèn)知系統(tǒng)可以將大量相似信息組合在一起而形成更有代表性的相對抽象的心理表征，這種心理表征就是概念?！盵2]三是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用所學(xué)的知識解答數(shù)學(xué)問題，是比較復(fù)雜的一個(gè)思維操作過程，需要學(xué)生運(yùn)用表征的數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題，綜合題的復(fù)雜程度是可想而知的。把面向?qū)ο蟮乃枷脒\(yùn)用到數(shù)學(xué)解題的表征上，對象由問題及問題的解決方法組成，封裝是指把問題與解決問題的方法表征在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也就是布魯納所說的類目。繼承是指把問題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問題域，繼承原問題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

第一，問題與解決方法封裝在一起有利于知識的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識信息時(shí)，因?yàn)閱栴}與解決問題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取，有利于運(yùn)用此知識信息進(jìn)行新的信息加工。

第二，對問題的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問題的類比入口，從而在類比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。波利亞在怎樣解題中說“你以前見過此題嗎？是否見過形式上略有不同的題？你是否知道與此有關(guān)的題？是否知道可用的定理？注意未知！考慮一個(gè)你熟悉的未知相同或類似的題目。”運(yùn)用類比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對題目條件進(jìn)行充分變式后，能夠擴(kuò)大題目的類比范圍，從而提高典型問題的類比率。

第三，對問題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。一題多解可開闊學(xué)生的解決問題的思維，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問題。一題多變可擴(kuò)大問題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問題系，豐富問題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)。點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置。將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C。請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與Y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1。點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖像，故圖像開口大小、對稱軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問題，第一，對問題可尋求多種解法。第二，對求二次函數(shù)解析式問題，可對條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=■，OB=2等。第三，可將此題與其他二次函數(shù)問題進(jìn)行聯(lián)系，形成問題系。

思考：此題是典型的數(shù)型結(jié)合問題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫出圖形是獲取解題思路的重要步驟。波利亞在怎樣解題的理解題中說：“學(xué)生應(yīng)該專心地、反復(fù)地并且從各個(gè)方面來考慮題目的主要部分。如果一幅圖與該題目有關(guān)，他應(yīng)畫一張圖并在圖上標(biāo)明未知量與已知數(shù)據(jù)。”函數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目有圖，學(xué)生解答起來比較容易，如果題目沒有圖形，需學(xué)生自己畫圖，就增加了題目的難度，因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對這類問題對象化后，會在長時(shí)記憶中形成此對象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對此類問題經(jīng)變式訓(xùn)練可形成簡單操作性技能。

四、“局部”過程化

“局部”過程化是指對綜合題的局部解題方法進(jìn)行過程化，使學(xué)生對這些過程的表征形成簡單操作技能。過程化思想來源于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，在程序設(shè)計(jì)過程中，有很多程序在執(zhí)行過程中會遇到同樣的一些操作，而這些操作，解決的問題是相同的，只是有些變量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系數(shù)不同而已，因此在程序設(shè)計(jì)時(shí)，把解一元二次方程的程序可單獨(dú)編寫一個(gè)過程，供使用時(shí)調(diào)用。事實(shí)上，綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過程中，是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過的，簡言之，綜合題也是由簡單的問題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡單操作技能供解題需要時(shí)提取，可以提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在X軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：如圖8，此題的第（3）問，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類問題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見的問題，兩個(gè)三角形相似的分類討論問題。此題三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對角相等，然后分類討論解答此題。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如圖9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）.

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）.

思考：初中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，其變化有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的思維過程比較固定，表征時(shí)可形成一個(gè)簡單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問題的過程中。

總之，綜合題的解答是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地對綜合題的解題進(jìn)行表征，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2009（3）.

[2] 張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

【責(zé)任編輯 付一靜】