蔡振樹

數(shù)學(xué)作業(yè)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的延伸，是學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)的標(biāo)志性形式。本文針對教輔教材作業(yè)存在的不足，開展校本化作業(yè)研究，提出校本化作業(yè)設(shè)計(jì)的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)，希望能夠起到拋磚引玉的作用。

數(shù)學(xué)作業(yè) 校本化 關(guān)注點(diǎn)

數(shù)學(xué)作業(yè)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的延伸，是學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)的標(biāo)志性形式。傳統(tǒng)上，作業(yè)是老師在上完一節(jié)課以后，讓學(xué)生去做某種教輔資料的《一課一練》等。這類作業(yè)往往不具有針對性，不一定適合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，千篇一律，無法注意到學(xué)生的學(xué)習(xí)差異。特別是高中學(xué)段，高三復(fù)習(xí)階段情況更是嚴(yán)重，教師依賴教輔，學(xué)生拋開教材，大量的題海訓(xùn)練，耗盡大量的學(xué)習(xí)時(shí)間，使學(xué)生背上沉重的包袱，數(shù)學(xué)作業(yè)多、難，是學(xué)生、家長普遍反映的現(xiàn)實(shí)。根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)水平設(shè)計(jì)校本化作業(yè)的研究就應(yīng)運(yùn)而生，本文對此話題作些探索，希起拋磚引玉作用。

一、對高中數(shù)學(xué)校本化作業(yè)的認(rèn)識

所謂校本，一是為了學(xué)校，二是在學(xué)校中，三是基于學(xué)校。為了學(xué)校，是以改進(jìn)學(xué)校實(shí)踐、解決學(xué)校所面臨的問題為指向；在學(xué)校中，是要根據(jù)學(xué)校自身的問題，由學(xué)校中的人也就是老師和學(xué)生來解決；基于學(xué)校就是所形成的解決問題的諸種方案要在學(xué)校中加以有效實(shí)施。

當(dāng)前，特別是高中數(shù)學(xué)作業(yè)的形式，除了課本習(xí)題外，更多的是有關(guān)部門指定的教輔用書，也有相當(dāng)部分的作業(yè)是老師通過剪輯而編成的校本化作業(yè)。老師使用自己編寫的作業(yè)，目的是減少重復(fù)性、機(jī)械性作業(yè)，從而減輕中小學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)。校本化作業(yè)是基于老師所教學(xué)生的實(shí)際而編寫的，其精髓在于老師們的“把脈開藥”，校本化作業(yè)代表的是教師的水平。因此，開展作業(yè)的校本化研究是教師力所能及的事，是實(shí)實(shí)在在的教學(xué)研究，因而是有意義的。

高中數(shù)學(xué)校本化作業(yè)是對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充。數(shù)學(xué)課堂是以思維為基礎(chǔ)，又十分重視應(yīng)用，對學(xué)生的思辨能力、分析問題和解決問題的能力都有較高的要求，僅僅依靠課堂45分鐘來實(shí)現(xiàn)顯然是不夠的。教材配套的習(xí)題是最基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)要求，對高中生而言，尤其是對優(yōu)等生來說吃不飽，中等生也吃不好，差生又吃不消。因此，數(shù)學(xué)作業(yè)的校本化，就為解決這一矛盾找到了路徑，它不僅使學(xué)生課后有了學(xué)習(xí)的延伸，并且校本化作業(yè)的針對性和有效性也可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際學(xué)情得到有效矯正。

校本化作業(yè)是根據(jù)學(xué)?，F(xiàn)實(shí)情況而編定的。不同類型學(xué)校的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力有差異，有重點(diǎn)達(dá)標(biāo)高中的，有普通高中的，這些學(xué)生都用同一套材料顯然是不合適的，而校本化作業(yè)對解決差異性是必要的，也是學(xué)校應(yīng)該探索思考的課題。校本化作業(yè)對學(xué)生也可以起到正面引導(dǎo)作用，因?yàn)樗菍ｉT為學(xué)生量身定做的。

校本化作業(yè)也是對教師教研教學(xué)能力的挑戰(zhàn)和實(shí)踐。教師是課程的執(zhí)行者和解釋者，其對教材的理解力和執(zhí)行力的高低直接關(guān)系到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。通過對作業(yè)的校本化研究，既是檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也是對教師執(zhí)教能力的檢驗(yàn)。

校本化作業(yè)對促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)是有益的。通過教師對作業(yè)的內(nèi)容和難度，作業(yè)的針對性和層次性的研究，通過加強(qiáng)作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容的適用性開發(fā)，使作業(yè)貼近學(xué)生實(shí)際，切實(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)生過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，使學(xué)生的作業(yè)多樣化，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)上的興趣、主動性、自主性、積極性，對促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義。

校本化作業(yè)對高中學(xué)校辦學(xué)特色化來說是基點(diǎn)之一。以數(shù)學(xué)作業(yè)的校本化研究為依托，在新課程變革的形勢下探尋數(shù)學(xué)作業(yè)校本化的策略和實(shí)施途徑，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)領(lǐng)域不斷寬泛，開發(fā)生成新的教育教學(xué)資源，以多樣化的形式來展開對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，這有利于深化學(xué)校的辦學(xué)特色。

二、高中數(shù)學(xué)校本化作業(yè)設(shè)計(jì)的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念，高中新課程的數(shù)學(xué)作業(yè)已不再完全是課堂教學(xué)的附屬，而更是重建與提升課程意義及人生意義的重要內(nèi)容。每一次數(shù)學(xué)作業(yè)都是學(xué)生成長的新生長點(diǎn)。學(xué)生在問題不斷生成、不斷解決的探索中成長；在知識的不斷運(yùn)用中，在知識與能力的不斷互動中，在情感、態(tài)度、價(jià)值觀的不斷碰撞中成長。因此，高中數(shù)學(xué)校本化作業(yè)的設(shè)計(jì)，是一件具有創(chuàng)造性的工作，通過實(shí)踐的操作與反思，促發(fā)一些感想，數(shù)學(xué)校本化作業(yè)應(yīng)該遵循一定的原則，下面舉例著重談?wù)勊膫€(gè)關(guān)注點(diǎn)。

1.遵循課標(biāo)，以綱為綱

校本化作業(yè)是高中數(shù)學(xué)課程的有效強(qiáng)化和擴(kuò)充，要遵循課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，力求體現(xiàn)學(xué)科個(gè)性，它的開發(fā)應(yīng)立足于學(xué)科特點(diǎn)，以學(xué)生的發(fā)展為根本出發(fā)點(diǎn)。這是最基本的原則，也是校本化作業(yè)設(shè)計(jì)的依據(jù)。課程標(biāo)準(zhǔn)不要求的內(nèi)容我們堅(jiān)決不用，或者用要求學(xué)生掌握的語言來表述，這類題目特別在許多教輔材料中經(jīng)常出現(xiàn)，我們要堅(jiān)決予以改正。如“正方體的外接球”，現(xiàn)行課程沒有提到這概念，我們可冠之于“正方體的所有頂點(diǎn)在某一球面上”等等。

2.依據(jù)課本，追本溯源

設(shè)計(jì)作業(yè)選題時(shí)我們可以從課本中找影子，對課本例題習(xí)題進(jìn)行改編加以創(chuàng)造。畢竟教科書作為知識的呈現(xiàn)載體，在習(xí)題和例題的選擇上都具有其典型性和示范性，我們在平時(shí)的日常教學(xué)工作中，可以在課本習(xí)題和例題的處理上多下功夫。

例1：已知A1，A2分別為橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)，橢圓C上異于A1，A2的點(diǎn)P恒滿足kPA1·kPA2=-■，則橢圓的離心率C為

A.■ B.■ C.■ D.■

【設(shè)計(jì)意圖】本題源于高中課本《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1》人教A版介紹的這樣兩個(gè)問題：

第2.2節(jié)例3：如圖，設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相交于M，且他們的斜率之積是-■，求點(diǎn)M的軌跡方程。

第2.3節(jié)探究：如圖，設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相交于M，且他們的斜率之積是■，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M軌跡方程判斷軌跡的形狀。與2.2例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？

例2：為調(diào)查某校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，采用如下調(diào)查方法：

（1）在該校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，并編號為1，2，3，……100；

（2）在箱內(nèi)放置兩個(gè)白球和三個(gè)紅球，讓抽取的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住其顏色并放回；

（3）請下列兩類學(xué)生舉手：①摸到白球且號數(shù)為偶數(shù)的學(xué)生；②摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。

如果總共有26名學(xué)生舉手，那么用概率與統(tǒng)計(jì)的知識估計(jì)，該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是：

A.88% B.90% C.92% D.94%

【設(shè)計(jì)意圖】本題源于高中課本《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修3》人教A版2.2.1閱讀材料：如何得到敏感性問題的誠實(shí)反應(yīng)。

3.關(guān)注基礎(chǔ)，回歸定義

基本概念、基本運(yùn)算等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，是支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容，也是夯實(shí)雙基的重要載體，定義的掌握與否是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。因此，校本化作業(yè)的設(shè)計(jì)要特別關(guān)注基礎(chǔ)，回歸定義。

例3：函數(shù)的圖像與方程的曲線有著密切的聯(lián)系，如把拋物線y2=x的圖像繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°就得到函數(shù)y=x2的圖像。若把雙曲線■-y2=1繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度？茲后，能得到某一個(gè)函數(shù)的圖像，則旋轉(zhuǎn)角？茲可以是

A.30° B.45° C.60° D.90°

【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)的定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f∶A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。由函數(shù)的定義可知，函數(shù)是數(shù)集間的映射。作為一個(gè)映射，就必須滿足映射的條件，只能一對一或者多對一，不能一對多，所以上題中需讓雙曲線的漸近線旋轉(zhuǎn)至與y軸重合。

例4：已知二次函數(shù)y=f（x）的圖像如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為

A.■ B.■ C.■ D.■

【設(shè)計(jì)意圖】本題考察利用定積分概念意義求面積。根據(jù)圖像可得：y=f（x）=-x2+1，再由定積分的幾何意義，可求得面積為S=∫■■（-x2+1）dx=（-■x3+x）■■=■。故選B。

4.注意差異，能力創(chuàng)新

不同學(xué)生在學(xué)習(xí)能力等方面存在個(gè)體差異是客觀的，面對差別，對他們提出不一樣的要求，實(shí)行因材施教的教育原則，準(zhǔn)確把握學(xué)情是科學(xué)有效地設(shè)計(jì)作業(yè)的前提。弄清學(xué)生本節(jié)課所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)及知識技能提升的水平，以學(xué)生潛能的發(fā)展為標(biāo)準(zhǔn)，最大限度地發(fā)揮其自身具有的潛質(zhì)，創(chuàng)設(shè)具有層次性的數(shù)學(xué)作業(yè)，能讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到不同的發(fā)展，設(shè)計(jì)多梯級、多層次的作業(yè)，給學(xué)生留有自主選擇的空間，滿足不同學(xué)生能力發(fā)展的需要。注意差異，能力創(chuàng)新題目的選擇是校本化作業(yè)的精髓。

例5：將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。記AB邊所在直線的傾斜角為？茲，已知？茲∈[0，■]。

（Ⅰ）試用？茲表示■的坐標(biāo)（要求將結(jié)果化簡為形如（cos？琢，sin？琢）的形式）；

（Ⅱ）定義：對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），稱為|x1-x2|+|y1-y2|為P、Q兩點(diǎn)間的“taxi距離”，并用符號‖PQ‖表示。試求‖BC‖的最大值。

【設(shè)計(jì)意圖】“taxi距離”也稱出租車幾何或曼哈頓距離（Manhattan Distance），是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和。之所以把“曼哈頓距離”稱為距離，是因?yàn)椤奥D距離”滿足“距離”的定義：設(shè)X是非空集合，對于X中的任意任意兩個(gè)元素x與y，按照某一法則都對應(yīng)唯一的實(shí)數(shù)？籽（x，y），并滿足以下的三條距離公理：

（1）非負(fù)性：？籽（x，y）≥0，當(dāng)且僅x=y當(dāng)時(shí)？籽（x，y）=0；

（2）對稱性：？籽（x，y）=？籽（y，x）；

（3）三角不等式：對于任意的x，y，z，？籽（x，y）≤？籽（x，z）+？籽（z，y）。

以曼哈頓距離的定義為背景考查新定義問題是近年高考的熱點(diǎn)，這種題型屬于創(chuàng)新題，能有效考查直線方程、絕對值、不等式等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)學(xué)探究能力、推理論證能力、問題解決能力和創(chuàng)新意識，這體現(xiàn)了新課標(biāo)的教育理念。解題時(shí)，嚴(yán)格根據(jù)定義，從定義出發(fā)，以不變應(yīng)萬變，這才是上上之策。不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生可以達(dá)到不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，體現(xiàn)差異性。

例6：設(shè)f0（x）=x·ex，f1（x）=f0′（x），

f2（x）=f1′（x），…，fn（x）=fn-1′（x）（n∈N*）。

（Ⅰ）請寫出fn（x）的表達(dá)式（不需證明）；

（Ⅱ）求fn（x）的極小值yn=f（xn）；

（Ⅲ）設(shè)gn（x）=-x2-2（n+1）x-8n+8，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，求a-b的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】本題重點(diǎn)考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的重點(diǎn)知識，如復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性極值、二次函數(shù)的最值等；同時(shí)，交匯考查了合情推理、數(shù)列等核心知識點(diǎn)，試題的交匯自然和諧，綜合程度較高；有效覆蓋了3個(gè)能力2個(gè)意識（《考試大綱》《考試說明》要求5個(gè)能力2個(gè)意識）。如：抽象概括出函數(shù)fn（x）解析式的過程考查了抽象概括能力；由歸納推理得fn（x）的解析式、第（Ⅲ）步先猜后證的過程考查了推理論證能力；求a-b最小值的過程考查了運(yùn)算求解能力；以導(dǎo)數(shù)為工具求fn（x）的極小值點(diǎn)考查了應(yīng)用意識；第（Ⅲ）步解法一構(gòu)造函數(shù)、解法二利用數(shù)列的單調(diào)性創(chuàng)造性解題考查了創(chuàng)新意識。同時(shí)，也考查了6種數(shù)學(xué)思想方法（《考試說明》要求7種數(shù)學(xué)思想方法），如：求函數(shù)fn（x）、gn（x）的最值中，實(shí)際上是研究函數(shù)fn（x）、gn（x）的圖像，考查了數(shù)形結(jié)合思想，以數(shù)釋形的同時(shí)也應(yīng)以形助數(shù)；解題中的每一個(gè)步驟都體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)思想；用導(dǎo)數(shù)求fn（x）的最值、利用配方法求gn（x）的最值、以及求a-b的最小值的過程中滲透著函數(shù)的零點(diǎn)定理都考查了函數(shù)與方程思想；從f0（x），f1（x）…，到fn（x）的推理過程滲透著特殊與一般思想、有限與無限思想、必然與或然思想。

從本題所涉及的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思想方法，可以看出本題確立的是以能力立意，注重創(chuàng)新的指導(dǎo)思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，區(qū)分不同層次的學(xué)生數(shù)學(xué)水平，充分體現(xiàn)個(gè)體學(xué)習(xí)的差異性。

三、對高中數(shù)學(xué)作業(yè)校本化的幾點(diǎn)思考

1.關(guān)于“拿來”與“創(chuàng)新”的關(guān)系

在數(shù)學(xué)作業(yè)校本化的初期階段，甚至可以說絕大部分的時(shí)期，都是允許“拿來主義”的。對教輔材料要堅(jiān)持少而精的原則，批判地繼承，有選擇地利用?！皠?chuàng)新”意味著對教師提出更高的要求，但是真正有水平的教師很少是用現(xiàn)成的資料給學(xué)生的，他通常能根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教材的特點(diǎn)給學(xué)生編題，這就是創(chuàng)新，這樣的作業(yè)能有效地舉一反三，以一代十。當(dāng)然，若能很好地處理“拿來”與“創(chuàng)新”的關(guān)系，通過有效的校本化作業(yè)訓(xùn)練，使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到提高，就是有意義的。

2.“課后”作業(yè)，還是“課前”，“隨堂”

作業(yè)通常情況是留給學(xué)生課后完成的，課后批改，課后講評，這是傳統(tǒng)的做法。但是，我們也可根據(jù)不同的課型特點(diǎn)，精心選擇問題作為課前學(xué)習(xí)的載體，許多地方都有嘗試“先學(xué)后教”的教改實(shí)驗(yàn)并取得一定的成效，因此，“課前”作業(yè)也未嘗不可。此外，對應(yīng)高中數(shù)學(xué)課堂，很多時(shí)候我們也可以保證每節(jié)課留出一定的時(shí)間來進(jìn)行當(dāng)堂訓(xùn)練，隨堂完成?！罢n后”、“課前”、“隨堂”，不同學(xué)習(xí)時(shí)段的作業(yè)要求顯然是不一樣的，需要我們更深入地探討，這都是“校本化”的話題。

3.作業(yè)評講與教師輔導(dǎo)的實(shí)效性問題

學(xué)生交上作業(yè)，教師評改后講評是常見的反饋模式。作業(yè)是教師與學(xué)生交流的主要載體，教師輔導(dǎo)以及評講能否及時(shí)有效是作業(yè)最關(guān)注的目標(biāo)。校本化作業(yè)能否處理好這個(gè)關(guān)系是最值得研究的問題，哪些作業(yè)學(xué)生可以獨(dú)立完成，哪些作業(yè)需要教師輔導(dǎo)學(xué)生才能完成，哪些作業(yè)需要及時(shí)講評才能幫助學(xué)生排疑解難等，都是校本化作業(yè)必須面對的課題。

總之，作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸，優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)，可以有力地拓展學(xué)生的減負(fù)空間，發(fā)展獨(dú)特的個(gè)性。學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開作業(yè)，數(shù)學(xué)作業(yè)的校本化就是要努力使學(xué)生不覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是負(fù)擔(dān)，同時(shí)又讓他們有興趣，并且能夠有效地掌握知識，進(jìn)而發(fā)展成為能力素養(yǎng)。我們應(yīng)該以新課程理念為指導(dǎo)，校本化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)作業(yè)，注重基礎(chǔ)知識和技能的訓(xùn)練，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)的過程與方法，讓學(xué)生在完成作業(yè)時(shí)情感態(tài)度價(jià)值觀得到升華，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)習(xí)潛能。高中數(shù)學(xué)課堂的有效創(chuàng)設(shè)，進(jìn)行校本化作業(yè)的研究是可以值得深入實(shí)踐反思的。

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【責(zé)任編輯 鄭雪凌】