（1. 東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210096；2. 東南大學 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096）

（1. 東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210096；2. 東南大學 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096）

為了降低光纖陀螺輸出中的噪聲分量，提出一種基于最小均方法與二代小波變換相結合的去噪方法。首先利用LMS算法進行前端預處理，提高信號的信噪比；然后使用SGWT去噪算法降噪，考慮到SGWT去噪算法易受閾值函數(shù)的影響，將模糊與平滑因子引入到傳統(tǒng)軟閾值法，以縮小估計小波系數(shù)和原小波系數(shù)兩者之間的常值偏差；最后，將本文提出的算法應用于某型光纖陀螺的去噪研究中。實驗結果表明，相對于SGWT去噪算法，采用 LMS-SGWT算法處理后，光纖陀螺的信噪比從0.1698 dB提高到2.0521 dB，方位對準誤差從0.33°降低到0.13°。

LMS算法；二代小波；小波閾值；信號去噪；光纖陀螺

陀螺是慣性導航設備中最重要的器件，用于測量載體的角速率。在各種類型的陀螺中，光纖陀螺因其具有成本低、精度高等優(yōu)點，被廣泛地應用于慣性導航系統(tǒng)[1]。光纖陀螺是根據(jù) Sagnac干涉原理進行工作，當陀螺繞其光纖環(huán)圈平面的垂線旋轉時，在環(huán)圈中以相反方向輸出的兩束相干光將產(chǎn)生相位差，通過檢測光干涉強度就可以檢測出載體角速率[2]。光纖陀螺易受溫度、電磁環(huán)境等因素的影響，導致其輸出中存在漂移[3]，從而影響導航精度。為了降低光纖陀螺輸出中的漂移，國內(nèi)外提出了各種處理光纖陀螺漂移的算法。當前對光纖陀螺漂移的處理主要有兩種方法：1）使用最優(yōu)估計的方法，例如Kalman濾波，對陀螺漂移進行估計[4-5]；2）使用信號去噪方法對陀螺輸出進行去噪處理，常用方法有小波去噪[6-7]、LMS自適應濾波[8-9]等。

然而上述方法均存在著缺陷：使用Kalman濾波進行最優(yōu)估計去噪，需要建立光纖陀螺漂移的精確模型，模型的不準確將會降低估計的精度[4]；小波去噪方法對光纖陀螺進行處理，容易引起小波系數(shù)在閾值處不連續(xù)，影響信號重構，從而導致去噪精度不高[7]；LMS自適應濾波對光纖陀螺漂移進行處理，其收斂的速度與精度受迭代步長的影響[9]。

針對目前光纖陀螺信號去噪方法存在的不足，本文提出了一種基于 LMS與二代小波變換的光纖陀螺去噪算法。引入LMS算法對信號進行前端預處理，以及將模糊與平滑因子引入到傳統(tǒng)軟閾值法以改進SGWT去噪算法，這樣在整體上提高了去噪效果。最后，將本文提出的算法應用于某型光纖陀螺的去噪研究中。實驗結果說明，與目前的算法相比較，該方法提高了光纖陀螺輸出的精度，優(yōu)化了初始對準姿態(tài)精度。

本文的論述結構是：第1、2節(jié)分別介紹了LMS自適應濾波算法和二代小波變換去噪算法的原理及其優(yōu)缺點；第3節(jié)針對上述兩種算法的優(yōu)缺點和它們之間的聯(lián)系，提出了LMS-SGWT去噪算法；第4節(jié)介紹了LMS-SGWT去噪算法的實驗驗證過程及其結果。

1 LMS自適應濾波算法

LMS算法是基于最陡下降法的思想，用梯度的估計值來替換梯度的精確值，不斷地自動調(diào)節(jié)自身濾波器的抽頭權矢量，最后收斂至維納解[9]。

LMS自適應濾波算法公式：

圖1 LMS算法信號流圖Fig.1 Signal flowchart of LMS algorithm

在實際的信號去噪過程中，LMS算法易受噪聲信號的干擾將產(chǎn)生參數(shù)失調(diào)噪聲。減小步長 μ( n)可降低LMS算法的失調(diào)噪聲，提高算法的收斂精度，但是這樣會降低算法的收斂速度。因此，LMS自適應濾波算法收斂的速度和精度對步長 μ( n)的要求是相互矛盾的，這種矛盾影響到了算法的去噪性能。

2 二代小波變換去噪算法

2.1 提升算法

二代小波變換是基于提升算法的一種小波變換，提升算法首先使用多項式插補的方法獲得信號的高頻系數(shù)，然后通過某種約束條件獲取信號的低頻系數(shù)[11]。二代小波變換不僅繼承了第一代小波變換的特性，而且和第一代小波變換相比較，具有算法結構簡單、解算速度快、內(nèi)存空間占用少等優(yōu)點。

提升算法的結構分為分解(Split)、預測(Predict)和更新(Update)。

分解：將輸入信號 si分為2個部分 si-1和 di-1， si-1稱為尺度系數(shù)子集，di-1稱為小波系數(shù)子集。常用的分解方法是根據(jù)輸入信號 si的奇偶順序，將輸入信號分解為奇序列 di-1與偶序列 si-1，分解過程表示為

預測：構造預測算子P，用偶序列 si-1的預測值P(si-1)去預測奇序列 di-1，然后用奇序列的實際值di-1與預測值 P(si-1)之差來替換原來的 di-1。

更新：構造更新算子U，使用上述的小波子集di-1對偶序列 si-1進行更新。

不斷重復上述的提升算法，就可以實現(xiàn)對信號的小波變換。提升算法對信號的重構過程與分解過程是互逆的，互換一下預測與更新的順序，然后再對信號進行合成操作，就能重構信號。

圖2 提升算法的分解和重構示意圖Fig.2 Decomposition and reconstruction of the lifting scheme

2.2 二代小波變換去噪

在光纖陀螺信號進行二代小波變換(SGWT)后，獲得的小波系數(shù)主要是由噪聲和信號的細節(jié)特征組成。根據(jù)信號小波系數(shù)和噪聲小波系數(shù)在小波空間內(nèi)具有不同的分布特性，保留大尺度低分辨率小波系數(shù)，同時對各尺度高分辨率小波系數(shù)進行“閾值收縮”處理，最后使用二代小波逆變換進行信號重構[7]。

在實際的應用環(huán)境中，光纖陀螺易受電磁環(huán)境等因素的影響，光纖陀螺輸出的信噪比較低。二代小波變換去噪算法對光纖陀螺進行處理時，閾值函數(shù)將影響去噪的效果。另外，由于光纖陀螺信號是非平穩(wěn)信號，在二代小波變換過程中，預測算子與更新算子不能很好地預測或更新信號次數(shù)比算子次數(shù)高的信號，從而影響到去噪效果[11]，因此單獨采用SGWT去噪算法對光纖陀螺信號進行處理，去噪性能有限。

3 LMS-SGWT去噪算法

針對上述討論的LMS算法與SGWT去噪算法兩者的優(yōu)勢與缺陷，本文提出一種LMS-SGWT去噪算法，將LMS算法與SGWT算法進行融合。首先利用LMS算法進行前端平滑預處理，以提高信號的信噪比；然后使用SGWT去噪算法降噪?？紤]到SGWT去噪算法易受閾值函數(shù)的影響，將模糊與平滑因子引入到傳統(tǒng)軟閾值法，以縮小估計小波系數(shù)和原小波系數(shù)兩者之間的常值偏差，使重構信號逼近真實信號。

3.1 SGWT模糊自適應小波閾值法

由小波變換與信號的 Lipschitz指數(shù)兩者之間的關系可知，隨著小波變換分解尺度的增大，噪聲對應的小波系數(shù)的幅值將減小，而有用信號對應的小波系數(shù)幅值受分解尺度的影響較小，因此根據(jù)每一尺度的小波系數(shù)特性，自適應調(diào)節(jié)小波閾值，實現(xiàn)在保留信號系數(shù)的同時最大限度地減小噪聲系數(shù)的目的[11]。另外，為了縮小估計小波系數(shù)和原小波系數(shù)兩者之間的常值偏差，將模糊因子與Savitzky-Golay平滑算法[12]引入到傳統(tǒng)軟閾值法。具體步驟如下：

1）信號的二代小波變換處理：采用Db4小波基，小波分解尺度為3層，對光纖陀螺信號進行二代小波變換，得到信號在各尺度上的小波系數(shù)。

2） 求解小波閾值：

a) 根據(jù)Stein無偏似然估計原理，得到第一尺度上的閾值 λ1：

式中，σ為噪聲信號的均方差， d1為第一尺度的小波系數(shù)序列， median(d1)為 d1序列的中位數(shù)， Wb為風險值對應的小波系數(shù)平方。

b) 求解各尺度的小波閾值

式中： k=1,2,...,l ，l為小波分解尺度；dk為第k層小波系數(shù)序列，Pk為第k層小波系數(shù)序列的代數(shù)平方和。

式中，λ為小波閾值，n為時刻點。

式中：p為多項式階數(shù)，m為平滑窗單邊點數(shù)；bk擬合系數(shù)，可根據(jù)式(10)求出。在本文中p取3，m取2。

5） 信號重構：二代小波逆變換作用于各尺度上的尺度系數(shù)與估計小波系數(shù)。

3.2 LMS-SGWT算法具體步驟

1）LMS算法前端預處理：利用LMS算法預處理光纖陀螺信號。因為在LMS自適應濾波過程中，算法收斂的速度和精度均與迭代步長密切相關，而在本文提出的算法中，因為有SGWT去噪算法的進一步降噪，所以LMS算法的迭代步長主要考慮收斂速度。綜合考慮，本文提出一種改進步長公式：

式中，α 為衰減系數(shù)，β 為加權系數(shù)。α 與β 通過多次實驗測得：α 為30.05，β 為25.5。

2） 二代小波變換信號去噪：針對步驟1）處理后的光纖陀螺信號，采用SGWT模糊自適應小波閾值法進行去噪處理。

4 光纖陀螺信號去噪實驗及分析

4.1 光纖陀螺信號去噪實驗

將IMU組件固定在水平靜止的三軸轉臺上，轉臺的內(nèi)框和中框為0°，外框角度為45°。當光纖陀螺開機穩(wěn)定后，對IMU的輸出信號進行采樣，采樣頻率是200 Hz，采樣時間長度是300 s。使用文獻[7]中的SGWT去噪算法、本文提出的SGWT模糊自適應閾值去噪算法以及LMS-SGWT去噪算法，對光纖陀螺信號分別進行去噪處理。圖4和表1給出了去噪實驗結果（以 Z軸陀螺信號為例）。

圖3 慣性組件和三軸轉臺圖Fig.3 IMU and three-axle table

由圖4和表1可知，F(xiàn)OG原始信號的標準差為0.011 (°)/s，信噪比為0.1698 dB，標準差大，信噪比低，說明原始信號中含有大量噪聲。經(jīng)算法降噪處理以后，信號的標準差減小，信噪比提高。例如，經(jīng)SGWT算法去噪，信號的標準差降低到0.0095 (°)/s，信噪比提高到0.3144 dB，說明上述算法都具有降噪功能，但是各種去噪信號的標準差和信噪比各不相同，說明算法性能存在差異。FOG信號經(jīng)SGWT改進算法處理后，信噪比提高到0.4925 dB，優(yōu)于SGWT算法的0.3144 dB，可知本文提出的SGWT改進算法性能優(yōu)于文獻[7]中的 SGWT算法。信號經(jīng) LMSSGWT算法處理后，信號的信噪比為2.0521 dB，改善最大，說明LMS-SGWT去噪算法具有明顯的優(yōu)勢。

圖4b SGWT算法去噪信號時域圖 Fig.4 b Time-domain diagram of SGWT denoising signal

圖4 c SGWT改進算法去噪信號時域圖Fig.4 c Time-domain diagram of improved SGWT denoising signal

圖4d LMS-SGWT算法去噪信號時域圖Fig.4 d Time-domain diagram of LMS-SGWT denoising signal

4.2 粗對準姿態(tài)誤差實驗

在捷聯(lián)慣性導航中，初始對準的姿態(tài)精度受光纖陀螺精度的影響，在相同實驗條件與算法下，初始對準姿態(tài)精度可以反映光纖陀螺的精度。因此，為了進一步對比分析各種去噪算法的效果，設計了以下捷聯(lián)慣性導航解析粗對準實驗。將IMU組件固定在水平靜止的三軸轉臺上，轉臺內(nèi)框和中框角度為0°，外框角度為45°，IMU輸出信號的采樣頻率為200 Hz。在對準實驗前，使用文獻[7]中的SGWT算法，本文提出的SGWT改進算法以及LMS-SGWT算法對光纖陀螺信號分別進行去噪處理。利用FOG原始信號與去噪信號分別進行對準實驗，在第150 s計算姿態(tài)角。實驗結果如圖5所示(以航向角誤差為例)。

圖5 a SGWT算法去噪信號航向誤差Fig.5 a Heading error of SGWT denoising signal

圖5 b SGWT改進算法去噪信號航向誤差Fig.5 b Heading error of improved SGWT denoising signal

圖5 c LMS-SGWT算法去噪信號航向誤差Fig.5 c Heading error of LMS-SGWT denoising signal

由圖5可知，與原始信號相比，使用上述三種去噪信號進行對準實驗，航向角誤差不同程度地都降低了，間接說明上述去噪算法能對光纖陀螺信號去噪。由圖5(b)與圖5(a)對比可知，在FOG信號經(jīng)SGWT改進算法去噪后，粗對準的航向角誤差為 0.21°，優(yōu)于圖5(a)中的0.28°，說明SGWT改進算法的去噪性能比文獻[7]中的SGWT算法更好。使用LMS-SGWT算法去噪后的信號進行粗對準，航向角誤差為0.13°，其誤差最小，說明在上述三種去噪算法中，LMS-SGWT算法的去噪效果最好。

5 結 論

為了降低光纖陀螺輸出中的噪聲分量，本文提出了基于 LMS與二代小波變換的光纖陀螺信號去噪算法。該算法首先利用LMS算法進行前端預處理，以提高信號的信噪比，然后使用SGWT模糊自適應小波閾值法降噪。利用某型光纖陀螺的輸出信號驗證算法的性能，實驗結果表明，本文提出的LMS-SGWT算法的效果優(yōu)于其它算法，并且優(yōu)化了捷聯(lián)慣性導航初始對準姿態(tài)精度。由于LMS-SGWT算法結構簡單，占用內(nèi)存空間少，所以在工程應用中有一定的參考價值。

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基于LMS與二代小波變換的光纖陀螺去噪算法

徐曉蘇1,2，吳 亮1,2，劉義亭1,2

Denoising algorithm for FOG based on LMS and second-generation wavelet transform

XU Xiao-su1,2, WU Liang1,2, LIU Yi-ting1,2
(1. School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2. Key Laboratory of Micro-inertial Instrument and Advanced Navigation Technology, Southeast University, Nanjing 210096, China)

To denoise the FOG output signal, a denoising algorithm based on LMS (Least Mean Square) and the Second Generation Wavelet Transform (SGWT) is proposed. Firstly, the LMS algorithm is used to pretreat and improve the signal’s signal-noise ratio (SNR). Then the SGWT algorithm is used to further denoise the signal. Considering that the SGWT algorithm is easily influenced by threshold function, a fuzzy factor and a smooth factor are introduced to reduce the constant deviation between estimated wavelet coefficient and original wavelet coefficient. A certain kind of FOG is used to verify the LMS-SGWT algorithm. Experiment results show that the SNR of FOG is increased from 0.1698 dB to 2.0521dB, and the alignment error of heading is decreased from 0.33° to 0.13°.

LMS algorithm; second generation wavelet; wavelet threshold; signal de-noising; FOG

1005-6734(2014)06-0810-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.06.020

U666.1

A

2014-07-17；

2014-10-27

國家自然科學基金項目（51175082，60874092）

徐曉蘇（1961—），男，教授，博士生導師，從事慣性技術與應用研究。E-mail：xxs@seu.edu.cn