劉瑞華

【教學(xué)內(nèi)容】

本節(jié)課是在高一學(xué)生學(xué)完全日制普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（必修）第一冊(cè)（上）“函數(shù)的單調(diào)性”之后組織的一次數(shù)學(xué)問題研究學(xué)習(xí)課，旨在提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究能力，是對(duì)“高中數(shù)學(xué)問題研究學(xué)習(xí)法”的一次有益嘗試。

本節(jié)課研究的實(shí)際問題是：高效益下的低成本問題。

本節(jié)課研究的數(shù)學(xué)模型是：函數(shù)y=x+■。

本節(jié)課研究獲得的成果是：發(fā)現(xiàn)了函數(shù)y=x+■的圖象及其單調(diào)性特征，并運(yùn)用這一特征解決了一個(gè)實(shí)際問題。

【教學(xué)過程】

一、情境

師：今天我們將運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來幫助一家企業(yè)安排他們的生產(chǎn)計(jì)劃，希望能夠獲得成功。（大屏幕顯示）

我市一家民營(yíng)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)需求決定調(diào)整某產(chǎn)品的生產(chǎn)量，以降低成本、提高效益。據(jù)統(tǒng)計(jì)的歷史資料顯示：生產(chǎn)該產(chǎn)品每年固定成本為100萬元，每年生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為x（x+2）百萬元，該企業(yè)全年的生產(chǎn)能力在0.1萬～2萬件之間。請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)生產(chǎn)規(guī)模，要求用最小的投入獲得最大的效益。

二、問題

問題1：這項(xiàng)工作的實(shí)質(zhì)內(nèi)容是什么？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題）怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決？（引導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型）

三、探究

（分小組討論3分鐘后）

A組學(xué)生1：這項(xiàng)工作實(shí)質(zhì)是讓我們確定生產(chǎn)量，使全年的總成本最小。（提出假設(shè)）我們的解法是這樣的：（投影展示）

設(shè)全年生產(chǎn)總成本為y，則有y=x（x+2）+1，即y=x2+2x+1（0.1≤x≤2），這個(gè)函數(shù)在[0.1，2]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=0.1萬件時(shí)，y=1.21百萬為最小，所以安排每年生產(chǎn)0.1萬件最好。

師：說說你們這樣考慮的理由。

生：因?yàn)榭偝杀揪褪强偼度?，花錢越少越好。（檢驗(yàn)假設(shè)）

師：有不同的意見嗎？（引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)新問題）

B組學(xué)生2：我們不贊成他們的觀點(diǎn)，投入少不能說明效益高，因?yàn)橥度肷偕a(chǎn)量就少，很明顯，他們安排的生產(chǎn)量是最少的，這絕不會(huì)取得高效益。（推翻假設(shè)）

（許多同學(xué)表示贊同）

師：依你們的想法該怎樣安排生產(chǎn)呢？

生2：我們暫時(shí)還沒有主意，似乎應(yīng)考慮■的最大值問題。（提出新假設(shè)）

師：說說這種想法的理由。

生：高效益需要有一定的生產(chǎn)規(guī)模，就是要使x較大，而低成本就是要總成本y較小，把二者結(jié)合起來考慮，就要求比值■最大。

師：有道理（全班同學(xué)都表示贊同），大家還有其他想法嗎？比如這個(gè)比值的實(shí)際含義還不太清楚，能弄清楚嗎？（引導(dǎo)深入探究）

C組學(xué)生3：我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)比值的倒數(shù)■就是每件產(chǎn)品的平均成本，認(rèn)為每件產(chǎn)品的平均成本少，才能保證生產(chǎn)效益高，即求 的最小值。（提出新的假設(shè)）

（投影展示）

設(shè)y為全年生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本，則y=■，（0.1≤x≤2），但我們不知道怎樣求y的最小值，請(qǐng)老師和同學(xué)們支援。（與B組同學(xué)觀點(diǎn)一致，但意義更明確）

A組學(xué)生此時(shí)又活躍起來了，學(xué)生4：總成本是這個(gè)式子的分子，當(dāng)它最小時(shí)，平均成本最小，所以我們?nèi)匀粓?jiān)持原來的觀點(diǎn)。

B組學(xué)生5：（反對(duì)）指出x=1萬件時(shí)，平均成本為4百元，而x=0.1萬件時(shí)，平均成本為12.1百元，這已是前者的3倍，x=1似乎就是最佳選擇。（學(xué)生的直覺）（此時(shí)全班同學(xué)都投了贊成票，支持新假設(shè)。）

師：再次歸納提出問題2：下面我們把主要精力集中在C組同學(xué)提出的問題中，即要解決y=■（0.1≤x≤2）的最小值問題。

我們可以從以下幾個(gè)方面去進(jìn)行研究：①?gòu)臄?shù)量上考慮這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；②從圖形上考慮是否有最低點(diǎn)；③能否進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形處理。（引導(dǎo)啟發(fā)探究、解決問題的途徑）

（大約6分鐘后）A組學(xué)生1再次發(fā)表自己的見解：可以將式子變形為x2+（2-y）x+1=0，關(guān)于x的方程有解，由Δ≥0解得y≥4，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x=1∈[0.1，2]（驗(yàn)證了學(xué)生5的猜測(cè)，贏得一陣掌聲。）

D組學(xué)生6：我們找到了圖象的最低點(diǎn)在x=1處，說明全年生產(chǎn)1萬件最好。

師：你們采用了什么方法畫圖？

生：描點(diǎn)法。（展示圖形）

……

（C組學(xué)生不甘示弱）學(xué)生7：我們已經(jīng)解決了這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問題，它在[0.1，1]上是減函數(shù)，在（1，2]上是增函數(shù)。（投影展示推證過程）

對(duì)任意xl，x2，設(shè)0.1≤xl

f（xl）-f（x2）=■-■

=x1-x2+■-■=（x1-x2）（1-■）=■，

當(dāng)x1<1，x2≤1時(shí)，f（x1）-f（x2）>0；

當(dāng)x1>1，x2>1時(shí)，f（x1）-f（x2）<0。

這說明函數(shù)y=f（x）在[0.1，1]上是減函數(shù)，（1，2]上是增函數(shù)。

師：這個(gè)特點(diǎn)能解決問題嗎？

生：能。這說明x=1是函數(shù)的一個(gè)分界點(diǎn)，在它的左邊遞減，右邊遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的3值最小，即每年安排生產(chǎn)1萬件最好。（檢驗(yàn)新假設(shè)，得到結(jié)論）

師：很好?。ㄍ瑢W(xué)們也隨著喝彩）C組同學(xué)實(shí)際上也證明了B組同學(xué)提出的函數(shù)y=x+■的單調(diào)性，我們把兩組同學(xué)研究的結(jié)論合并起來，是不是又認(rèn)識(shí)了一個(gè)新的函數(shù)呢？

生：是，就是y=x+■。

師：有誰(shuí)能將今天探究的問題總結(jié)一下嗎？

四、生成

生8：今天我們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了一個(gè)實(shí)際生產(chǎn)問題。

生9：今天我們研究了函數(shù)y=■的最小值。

……

師：大家都說得很好，今天我們不僅幫助這家企業(yè)解決了生產(chǎn)的實(shí)際問題，更重要的是我們?cè)诮鉀Q問題的同時(shí)，認(rèn)識(shí)了一個(gè)很好的新函數(shù)，它就是y=x+■。希望它能成為我們共同的朋友，它的圖象在（0，+∞）上是一個(gè)漂亮的“√”（大屏幕顯示），這是對(duì)同學(xué)們今天出色表現(xiàn)的最高贊賞。

教師提出課外探究的新問題，再進(jìn)行拓展后結(jié)束。（拓展問題，課外延伸）

參考文獻(xiàn)：

王新民.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)效率及其效率意識(shí)的分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（3）.

編輯 李建軍