李華棟

【摘 要】洛倫茲曲線模型是當(dāng)今研究收入及分配方面十分熱門的研究方向之一。本文利用拱形函數(shù)對(duì)比，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)給出了洛倫茲曲線的新模型。并采用當(dāng)前通用數(shù)據(jù)，將本文中的模型應(yīng)用效果與文獻(xiàn)中采取方法的應(yīng)用效果進(jìn)行比較，通過均方誤差、平均絕對(duì)誤差、最大絕對(duì)誤差三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的比較，說明新模型對(duì)現(xiàn)有模型有較大的優(yōu)化效果。從而證明本文提出的洛倫茲曲線模型有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值，適用于我國收入分配的研究。

【關(guān)鍵詞】洛倫茲曲線；拱形曲線；收入分配

0 引言

洛倫茲曲線模型是研究收入及分配的理論與應(yīng)用中十分重要的模型，它的作用是從分組數(shù)據(jù)出發(fā)構(gòu)建收入及分配所形成的統(tǒng)計(jì)分布。世界上一些發(fā)達(dá)國家已創(chuàng)立收入及分配的抽樣數(shù)據(jù)庫，所以可以使用例如Kernel法生成收入及分配的統(tǒng)計(jì)分布。Kernel法的有點(diǎn)為可以體現(xiàn)大樣本的收斂性，也就是說當(dāng)樣本量趨向于無窮時(shí)，所對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分布依據(jù)概率可以收斂于總體的統(tǒng)計(jì)分布。但是對(duì)于大部分國家來說，可以使用的收入分配數(shù)據(jù)只是分組數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)中只能給出洛倫茲曲線上一些個(gè)別的點(diǎn)（ 一般只有十個(gè)左右）。經(jīng)濟(jì)學(xué)界對(duì)此的研究已經(jīng)進(jìn)行多年，大家試圖尋找更加合適的模型可以更加接近這種分組數(shù)據(jù)，從而可以得到相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分布，進(jìn)一步能使用經(jīng)濟(jì)理論中已經(jīng)得到證明的理論和方法進(jìn)行收入及分配的分析。國內(nèi)有關(guān)洛倫茲曲線模型的研究還十分稀少，本文在直接求解洛倫茲曲線比較困難的情況下，本文根據(jù)45°直線與洛倫茲曲線的差值圖像形似拱形的特征，首先構(gòu)造拱形曲線方程，進(jìn)而構(gòu)造了新的洛倫茲曲線模型

通過與其它10種模型比較得到在均方誤差、平均絕對(duì)誤差、最大絕對(duì)誤差三種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下，新的洛倫茲曲線模型均優(yōu)于其它10種模型。

1 洛倫茲曲線的研究現(xiàn)狀及進(jìn)展

早期的洛倫茲曲線模型研究始于1970年代，至今已有40余年的歷史，其中較為有名的是帕累托分布對(duì)應(yīng)洛倫茲曲線：

該模型的推出推動(dòng)了美國的收入及分配的領(lǐng)域研究，相關(guān)研究可見于Basmann 等（1991）[4]。Kiwani（1986）提出了一種新型的多參數(shù)洛倫茲曲線模型：

通過實(shí)證發(fā)現(xiàn)（5）、（6）兩式的模型精度十分高，這增加了相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者尋找更優(yōu)化模型的信心，但是（5）、（6）兩式有十分明顯的缺點(diǎn)，即它們顯然不滿足洛倫茲曲線的適用條件，無法將其直接用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。上文提到的（1）、（2）、（3）可以適用洛倫茲曲線的條件，但其缺點(diǎn)是精度極差，找到優(yōu)化的洛倫茲曲線模型已經(jīng)成為該領(lǐng)域工作者的當(dāng)務(wù)之急Chotikapanich（1993）[6]給出新模型：

上述各公式均適用洛倫茲曲線的相關(guān)條件，這對(duì)有收入及分配的研究分析有重要的意義，洛倫茲曲線模型在各國的收入分配中有著廣泛的應(yīng)用，其表達(dá)形式多種多樣，模型有簡(jiǎn)有繁，精度不盡相同。

國內(nèi)洛倫茲曲線模型相關(guān)領(lǐng)域研究少之又少。本文在直接求解洛倫茲曲線比較困難的情況下，本文根據(jù)45°直線與洛倫茲曲線的差值圖像形似拱形的特征，首先構(gòu)造拱形曲線方程，進(jìn)而構(gòu)造了新的洛倫茲曲線模型

通過三種比較標(biāo)準(zhǔn)：均方誤差、平均絕對(duì)誤差、最大絕對(duì)誤差的比較，通過模擬分析的形式將其與具有代表性的10種洛倫茲曲線進(jìn)行比較，說明其優(yōu)化程度較好，從而構(gòu)造一種洛倫茲曲線模型，并以實(shí)際數(shù)據(jù)說明模型的精度，以期此模型可以對(duì)我國收入分配的研究有所幫助。

2 基于拱形模型的優(yōu)化洛倫茲曲線

由文獻(xiàn)[12]可知，如果Lp（p∈0，1）同時(shí)滿足以下四個(gè)條件：

L0=0；L1=1；LP′≥0；LP″≥0（13）

那么該方程對(duì)應(yīng)的曲線為洛倫茲曲線。下面我們構(gòu)造符合要求的新的洛倫茲曲線方程。

2.1 構(gòu)造新的洛倫茲曲線

圖1 收入分配的洛倫茲曲線示意圖

圖1中橫軸表示人口比例p，縱軸表示總收入比例L（p）。上圖中，曲線L（p）（曲線OBA）位置越高，代表的收入分配就越平等。其中45°曲線（直線OA）可以為平等收入線，即是完全平等的收入分配。此時(shí)滿足

然后將題目表一所給的收入分配分組數(shù)據(jù)代入上述公式中，應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行曲線的擬合，如圖2、圖3所示，曲線ODC和拱形曲線近乎重合，構(gòu)造出的Lp曲線和期望得到的Lp也幾乎重合。最后將代入數(shù)據(jù)得出的Lp代入文獻(xiàn)[4]給的4個(gè)條件，發(fā)現(xiàn)是符合要求的。由此說明新構(gòu)造的曲線方程（17）是合理的。

圖2 拱形擬合曲線

注：紅色曲線是原數(shù)據(jù)所得拱形曲線，黑色曲線為擬合拱形方程曲線.

圖 3 最終所得的Lp擬合曲線

注：紅色曲線是原數(shù)據(jù)所得Lp曲線，黑色曲線是擬合Lp方程曲線.

所以，我們可定義收入分配的新洛倫茲模型為

2.2 模型比較

為說明上述模型的可行性和優(yōu)越性，我們從上文提到的參考文獻(xiàn)中找出了10種模型

下面給出一組我國收入分配接近實(shí)際的一組模擬數(shù)據(jù)：

表1中[xj，xj+1]是收入?yún)^(qū)間，單位為元，fj是該區(qū)間內(nèi)的人口比例，pj是[0，xj+1]中人口比例，是中人口擁有的總收入比例，因此（pj，Lj）是洛倫茲曲線上的點(diǎn)，其中25000以上人口比例為1%?？偲骄杖毽?6603元。將上表所給出分配數(shù)據(jù)代入新模型L（p）和上述10個(gè)模型（下轉(zhuǎn)第38頁）（上接第10頁）中，用最小二乘法擬合模型的參數(shù)，然后分別就均方誤差、平均絕對(duì)誤差和最大絕對(duì)誤差三個(gè)方面，對(duì)這11個(gè)模型進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示。

分析表2可以看出，我們構(gòu)造出的新模型L（p）的MSE、MAE和MAS較其它10種模型取值都小，由此可以說明我們的新模型優(yōu)于其它10種模型。

3 結(jié)語

根據(jù)上文描述，洛倫茲曲線在收入及分配領(lǐng)域的研究是有非常重要的使用價(jià)值。對(duì)于洛倫茲曲線的優(yōu)化在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著不可替代的重要作用?；仡檶?duì)于洛倫茲曲線研究過程，經(jīng)歷了函數(shù)形式的由簡(jiǎn)到繁，參數(shù)的由少到多。但是無論如何變化，其基本的要求是滿足洛倫茲條件，這是其模型發(fā)展的基本所在。本文所給出的基于拱形函數(shù)的洛倫茲曲線模型優(yōu)化了現(xiàn)有模型的，對(duì)其結(jié)果做了充分的實(shí)證分析，令其滿足洛倫茲條件的嚴(yán)格條件。給此領(lǐng)域的研究者提供了一種新穎的研究思路。但是，由于數(shù)據(jù)的選擇范圍略顯有限，新模型的優(yōu)化程度有待于后續(xù)研究者給出充分的實(shí)證研究，總體來說，關(guān)于洛倫茲曲線的研究有著廣闊的研究空間，有待于相關(guān)研究人士的進(jìn)一步研究。

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