芮媛媛+王天予

摘要：現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)教育要求大力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要使學(xué)生掌握滲透于數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，使他們能用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導(dǎo)出結(jié)論，它屬于非常規(guī)思維。其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”，用構(gòu)造法解題，無一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)證明中的構(gòu)造法一般可分為兩類，一類為直接性構(gòu)造法，一類為間接性構(gòu)造法。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；構(gòu)造；幾何變換

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）44-0204-03

一、引言

解數(shù)學(xué)問題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過認(rèn)真地觀察，深入地思考、分析，遷移聯(lián)想，正確思維，巧妙地、合理地構(gòu)造出某些元素、某種模式，使問題轉(zhuǎn)化為新元素的問題，或轉(zhuǎn)化為新元素之間的一種新的組織形式，從而使問題得以解決。構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)的一種重要的方法，它最大的特點(diǎn)是：創(chuàng)造性地使用已知條件。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性和現(xiàn)實(shí)問題的特殊行為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得不僅是歐氏幾何的奠基人，而且也是數(shù)學(xué)上構(gòu)造法的創(chuàng)始人。在《幾何原本》中，他第一次用構(gòu)造法巧妙地證明了數(shù)論中以他的名字命名的基本定理“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮的”。歷史上古今中外不少數(shù)學(xué)家，都曾經(jīng)用構(gòu)造法成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題，如瑞士數(shù)學(xué)家歐拉通過映射構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，成功地解決了著名的哥尼斯保七橋問題；又如我國古代數(shù)學(xué)家通過割補(bǔ)構(gòu)造給出了勾股定理的證明。怎樣構(gòu)造呢？當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法按定式思維去解很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，通常是從一個(gè)目標(biāo)聯(lián)想起我們?cè)?jīng)使用過可能達(dá)到目的的方法、手段，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，這就是構(gòu)造法解題的思路。構(gòu)造法是幫助發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問題的方法。它在數(shù)學(xué)解題中的作用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是許多問題本身有構(gòu)造性的要求，或者可以通過構(gòu)造而直接得解；二是有些問題需要通過構(gòu)造出一個(gè)與原問題有關(guān)或等價(jià)的新問題（我們亦稱之為輔助問題），并通過輔助問題幫助原問題的解決，這種巧妙構(gòu)思正是構(gòu)造法的技巧與魅力所在。

二、構(gòu)造法的應(yīng)用

運(yùn)用構(gòu)造法解決問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造什么和怎么構(gòu)造。充分地挖掘題設(shè)與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，把問題與某個(gè)熟知的概念、公式、定理、圖形聯(lián)系起來，進(jìn)行構(gòu)造，往往能促使問題轉(zhuǎn)化，使問題中原來蘊(yùn)含不清的關(guān)系和性質(zhì)清晰地展現(xiàn)出來，從而恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而謀求解決題目的途徑。

用構(gòu)造法解題時(shí)，被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對(duì)應(yīng)、數(shù)學(xué)模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實(shí)現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造。下面按構(gòu)造對(duì)象的不同將構(gòu)造方法分別予以舉例說明。

1.輔助數(shù)與式的構(gòu)造。在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，利用矛盾的對(duì)立統(tǒng)一性，充分揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，探索構(gòu)造適宜的數(shù)或式，來架設(shè)解題的通道。

例1 正數(shù)a，b滿足a■3+b■3=2，求證：a+b≤2。分析：條件式中次數(shù)是3次，而結(jié)論式中是1次，所以需要降冪。又結(jié)論式是不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立。于是考慮構(gòu)造均值不等式。由均值不等式a■3+b■3+c■3≥3abc得：a■3+13+13≥3a （1）？搖 b■3+13+13≥3b （2） 由（1）+（2）變形整理得：a+b≤2

2.函數(shù)的構(gòu)造。在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過程中，應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標(biāo)。

例2 求函數(shù)y=■+■的最大值。

分析：由根號(hào)下的式子看出x+1-x=1且0≤x≤1

故可聯(lián)想到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造x=sin■θ（0≤θ≤■）

所以y=sinx+cosx=■sin（θ+■）

當(dāng)θ=■即x=■時(shí)，y■=■

3.方程的構(gòu)造。方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)題目的已知條件和結(jié)論、性質(zhì)與特征，構(gòu)造出某種數(shù)學(xué)模型（如方程模型），通過對(duì)模型的解釋與研究，實(shí)現(xiàn)問題的解決，這是解數(shù)學(xué)題中常用的思想與方法.即有目的地構(gòu)造方程，以溝通問題中條件與結(jié)論的聯(lián)系，使問題中的隱含關(guān)系明朗化，從而簡(jiǎn)捷迅速地使問題獲解.構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應(yīng)用題，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等即屬此法。

構(gòu)造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點(diǎn)，運(yùn)用方程觀點(diǎn)解題可歸結(jié)為3個(gè)步驟：

1.將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；

2.解這個(gè)方程或討論這個(gè)方程的有關(guān)性質(zhì)，得出相應(yīng)結(jié)論；

3.將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問題的結(jié)論。

例3 設(shè)a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范圍。

分析：由a+b+c=1得a+b=1-c？搖 （1）

將（1）的兩邊平方并將a2+b2+c2=1代入得

ab=c2-c ？搖（2）endprint

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個(gè)不等的實(shí)根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.數(shù)列的構(gòu)造。在處理與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)題目所提供的特征，通過替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個(gè)與欲解（證）問題有關(guān)的數(shù)列（數(shù)組），并對(duì)該數(shù)列（數(shù)組）的特征進(jìn)行分析，?？色@得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

例4 求證：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：構(gòu)造數(shù)列模型=a■=■+■+…+■-1，

則有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以數(shù)列a■為遞增數(shù)列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得證。

評(píng)注：欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式

f（n）-g（n），可以構(gòu)造數(shù)列模型a■=f（n）-g（n），只需證明數(shù)列a■是單調(diào)遞增，且a■>0。另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡(jiǎn)潔.對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

5.構(gòu)造幾何圖形（體）。如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

例5 求證：三角形的三條高相交于一點(diǎn)。分析：本命題若用平面幾何上的綜合證法來證明較為復(fù)雜，而通過構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，證明則顯得極為簡(jiǎn)潔.以AB所在直線為x軸，AB上的高CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)，如圖1。設(shè)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），則三條高線的方程分別為：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因?yàn)閍 -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共點(diǎn)O。

6.構(gòu)造模型。數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本思想就是設(shè)法將所要求解的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或容易解決的問題，模型構(gòu)造在解排列組合問題時(shí)尤顯重要.在教學(xué)過程中經(jīng)常強(qiáng)化這一思想，以便尋求更便捷的解法。

例6 現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)球，問共有多少種不同的分法？

分析：解：題目中球的分法有三類：

（1）有三個(gè)班每個(gè)班分到2個(gè)球，其余4個(gè)班每班分到一個(gè)球，其分法種數(shù)是：N■=C■■；

（2）有一個(gè)班分到3個(gè)球，有一個(gè)班分到2個(gè)球，其余5個(gè)班每班分到一個(gè)球，其分法種數(shù)是N■=C■■C■■；

（3）有一個(gè)班分到4個(gè)球，其余6個(gè)班每班分到1個(gè)球，其分法種數(shù)是N■=C■■。

所以10個(gè)球按題意分法種數(shù)為N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解題過程可以明顯感到，這類問題進(jìn)行分類計(jì)算比較煩瑣，若上題中球的數(shù)目較多，處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式來解決該類問題，由此我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的模型——插板。

將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔（除去首尾兩個(gè)空檔），現(xiàn)在我們用“檔板”把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)）。這樣每個(gè)班級(jí)分到球的個(gè)數(shù)不在于它們所排的位置，借助于這樣一種虛擬的“檔板”分配物品的方法稱之為“隔板法”。使得解題過程更為簡(jiǎn)潔明了。

由上述情境分析可知，分球的方法實(shí)際是為檔板的插法：即在9個(gè)空檔之中插入6個(gè)“檔板”，其方法。種數(shù)為C■■=84，這種方法簡(jiǎn)潔明了。

綜上可知，構(gòu)造法真正體現(xiàn)了“數(shù)式與圖形的溝通、直覺與邏輯的互動(dòng)”以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維特點(diǎn)，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，而是以所掌握的知識(shí)為背景，以具備的能力為基礎(chǔ)，以觀察為先導(dǎo)，以分析為武器，通過仔細(xì)地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。在應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)，要明確目的，需要構(gòu)造的是什么，根據(jù)什么設(shè)計(jì)構(gòu)造方案。構(gòu)造的模型結(jié)構(gòu)形式應(yīng)盡可能的簡(jiǎn)單，以便于問題的解決，盡可能地使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化；構(gòu)造的模型必須是熟悉的，通過熟悉的模型將難以下手的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；構(gòu)造的模型應(yīng)盡可能的直觀，通過構(gòu)造使問題變得直觀明了。

用構(gòu)造法教學(xué)有利于開拓學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有利于學(xué)生的思維由單一轉(zhuǎn)化為多角度。它不僅開拓了學(xué)生的解題思路，而且加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并能給學(xué)生一種數(shù)學(xué)美的享受。最后還應(yīng)指出，構(gòu)造法并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對(duì)于同一道題既能有幾種構(gòu)造法，也可以用其他方法來解，教師應(yīng)注意在學(xué)習(xí)研究的過程中注意對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，能創(chuàng)造性地構(gòu)造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學(xué)習(xí)的愉悅感和成功的體驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究[M].第二版.上?？萍冀逃霭嫔纾?002：339-400.

[2]賀金華.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004，（3）：38-40.

[3]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點(diǎn)技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.構(gòu)造解析幾何模型求函數(shù)值域[J].語數(shù)外，2006，（2）：37-38.

作者簡(jiǎn)介：芮媛媛（1993-），女，學(xué)士，江蘇南京人，研究方向：初等數(shù)學(xué)教育研究；王天予（1994-），女，學(xué)士，江蘇南京人，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個(gè)不等的實(shí)根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.數(shù)列的構(gòu)造。在處理與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)題目所提供的特征，通過替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個(gè)與欲解（證）問題有關(guān)的數(shù)列（數(shù)組），并對(duì)該數(shù)列（數(shù)組）的特征進(jìn)行分析，?？色@得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

例4 求證：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：構(gòu)造數(shù)列模型=a■=■+■+…+■-1，

則有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以數(shù)列a■為遞增數(shù)列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得證。

評(píng)注：欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式

f（n）-g（n），可以構(gòu)造數(shù)列模型a■=f（n）-g（n），只需證明數(shù)列a■是單調(diào)遞增，且a■>0。另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡(jiǎn)潔.對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

5.構(gòu)造幾何圖形（體）。如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

例5 求證：三角形的三條高相交于一點(diǎn)。分析：本命題若用平面幾何上的綜合證法來證明較為復(fù)雜，而通過構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，證明則顯得極為簡(jiǎn)潔.以AB所在直線為x軸，AB上的高CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)，如圖1。設(shè)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），則三條高線的方程分別為：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因?yàn)閍 -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共點(diǎn)O。

6.構(gòu)造模型。數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本思想就是設(shè)法將所要求解的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或容易解決的問題，模型構(gòu)造在解排列組合問題時(shí)尤顯重要.在教學(xué)過程中經(jīng)常強(qiáng)化這一思想，以便尋求更便捷的解法。

例6 現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)球，問共有多少種不同的分法？

分析：解：題目中球的分法有三類：

（1）有三個(gè)班每個(gè)班分到2個(gè)球，其余4個(gè)班每班分到一個(gè)球，其分法種數(shù)是：N■=C■■；

（2）有一個(gè)班分到3個(gè)球，有一個(gè)班分到2個(gè)球，其余5個(gè)班每班分到一個(gè)球，其分法種數(shù)是N■=C■■C■■；

（3）有一個(gè)班分到4個(gè)球，其余6個(gè)班每班分到1個(gè)球，其分法種數(shù)是N■=C■■。

所以10個(gè)球按題意分法種數(shù)為N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解題過程可以明顯感到，這類問題進(jìn)行分類計(jì)算比較煩瑣，若上題中球的數(shù)目較多，處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式來解決該類問題，由此我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的模型——插板。

將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔（除去首尾兩個(gè)空檔），現(xiàn)在我們用“檔板”把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)）。這樣每個(gè)班級(jí)分到球的個(gè)數(shù)不在于它們所排的位置，借助于這樣一種虛擬的“檔板”分配物品的方法稱之為“隔板法”。使得解題過程更為簡(jiǎn)潔明了。

由上述情境分析可知，分球的方法實(shí)際是為檔板的插法：即在9個(gè)空檔之中插入6個(gè)“檔板”，其方法。種數(shù)為C■■=84，這種方法簡(jiǎn)潔明了。

綜上可知，構(gòu)造法真正體現(xiàn)了“數(shù)式與圖形的溝通、直覺與邏輯的互動(dòng)”以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維特點(diǎn)，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，而是以所掌握的知識(shí)為背景，以具備的能力為基礎(chǔ)，以觀察為先導(dǎo)，以分析為武器，通過仔細(xì)地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。在應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)，要明確目的，需要構(gòu)造的是什么，根據(jù)什么設(shè)計(jì)構(gòu)造方案。構(gòu)造的模型結(jié)構(gòu)形式應(yīng)盡可能的簡(jiǎn)單，以便于問題的解決，盡可能地使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化；構(gòu)造的模型必須是熟悉的，通過熟悉的模型將難以下手的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；構(gòu)造的模型應(yīng)盡可能的直觀，通過構(gòu)造使問題變得直觀明了。

用構(gòu)造法教學(xué)有利于開拓學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有利于學(xué)生的思維由單一轉(zhuǎn)化為多角度。它不僅開拓了學(xué)生的解題思路，而且加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并能給學(xué)生一種數(shù)學(xué)美的享受。最后還應(yīng)指出，構(gòu)造法并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對(duì)于同一道題既能有幾種構(gòu)造法，也可以用其他方法來解，教師應(yīng)注意在學(xué)習(xí)研究的過程中注意對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，能創(chuàng)造性地構(gòu)造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學(xué)習(xí)的愉悅感和成功的體驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]賀金華.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004，（3）：38-40.

[3]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點(diǎn)技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.構(gòu)造解析幾何模型求函數(shù)值域[J].語數(shù)外，2006，（2）：37-38.

作者簡(jiǎn)介：芮媛媛（1993-），女，學(xué)士，江蘇南京人，研究方向：初等數(shù)學(xué)教育研究；王天予（1994-），女，學(xué)士，江蘇南京人，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個(gè)不等的實(shí)根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.數(shù)列的構(gòu)造。在處理與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)題目所提供的特征，通過替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個(gè)與欲解（證）問題有關(guān)的數(shù)列（數(shù)組），并對(duì)該數(shù)列（數(shù)組）的特征進(jìn)行分析，?？色@得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

例4 求證：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：構(gòu)造數(shù)列模型=a■=■+■+…+■-1，

則有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以數(shù)列a■為遞增數(shù)列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得證。

評(píng)注：欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式

f（n）-g（n），可以構(gòu)造數(shù)列模型a■=f（n）-g（n），只需證明數(shù)列a■是單調(diào)遞增，且a■>0。另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡(jiǎn)潔.對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

5.構(gòu)造幾何圖形（體）。如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

例5 求證：三角形的三條高相交于一點(diǎn)。分析：本命題若用平面幾何上的綜合證法來證明較為復(fù)雜，而通過構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，證明則顯得極為簡(jiǎn)潔.以AB所在直線為x軸，AB上的高CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)，如圖1。設(shè)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），則三條高線的方程分別為：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因?yàn)閍 -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共點(diǎn)O。

6.構(gòu)造模型。數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本思想就是設(shè)法將所要求解的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或容易解決的問題，模型構(gòu)造在解排列組合問題時(shí)尤顯重要.在教學(xué)過程中經(jīng)常強(qiáng)化這一思想，以便尋求更便捷的解法。

例6 現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)球，問共有多少種不同的分法？

分析：解：題目中球的分法有三類：

（1）有三個(gè)班每個(gè)班分到2個(gè)球，其余4個(gè)班每班分到一個(gè)球，其分法種數(shù)是：N■=C■■；

（2）有一個(gè)班分到3個(gè)球，有一個(gè)班分到2個(gè)球，其余5個(gè)班每班分到一個(gè)球，其分法種數(shù)是N■=C■■C■■；

（3）有一個(gè)班分到4個(gè)球，其余6個(gè)班每班分到1個(gè)球，其分法種數(shù)是N■=C■■。

所以10個(gè)球按題意分法種數(shù)為N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解題過程可以明顯感到，這類問題進(jìn)行分類計(jì)算比較煩瑣，若上題中球的數(shù)目較多，處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式來解決該類問題，由此我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的模型——插板。

將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔（除去首尾兩個(gè)空檔），現(xiàn)在我們用“檔板”把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)）。這樣每個(gè)班級(jí)分到球的個(gè)數(shù)不在于它們所排的位置，借助于這樣一種虛擬的“檔板”分配物品的方法稱之為“隔板法”。使得解題過程更為簡(jiǎn)潔明了。

由上述情境分析可知，分球的方法實(shí)際是為檔板的插法：即在9個(gè)空檔之中插入6個(gè)“檔板”，其方法。種數(shù)為C■■=84，這種方法簡(jiǎn)潔明了。

綜上可知，構(gòu)造法真正體現(xiàn)了“數(shù)式與圖形的溝通、直覺與邏輯的互動(dòng)”以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維特點(diǎn)，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，而是以所掌握的知識(shí)為背景，以具備的能力為基礎(chǔ)，以觀察為先導(dǎo)，以分析為武器，通過仔細(xì)地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。在應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)，要明確目的，需要構(gòu)造的是什么，根據(jù)什么設(shè)計(jì)構(gòu)造方案。構(gòu)造的模型結(jié)構(gòu)形式應(yīng)盡可能的簡(jiǎn)單，以便于問題的解決，盡可能地使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化；構(gòu)造的模型必須是熟悉的，通過熟悉的模型將難以下手的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；構(gòu)造的模型應(yīng)盡可能的直觀，通過構(gòu)造使問題變得直觀明了。

用構(gòu)造法教學(xué)有利于開拓學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有利于學(xué)生的思維由單一轉(zhuǎn)化為多角度。它不僅開拓了學(xué)生的解題思路，而且加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并能給學(xué)生一種數(shù)學(xué)美的享受。最后還應(yīng)指出，構(gòu)造法并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對(duì)于同一道題既能有幾種構(gòu)造法，也可以用其他方法來解，教師應(yīng)注意在學(xué)習(xí)研究的過程中注意對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，能創(chuàng)造性地構(gòu)造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學(xué)習(xí)的愉悅感和成功的體驗(yàn)。

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[3]劉朝斌.解一元二次不等式的幾點(diǎn)技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.構(gòu)造解析幾何模型求函數(shù)值域[J].語數(shù)外，2006，（2）：37-38.

作者簡(jiǎn)介：芮媛媛（1993-），女，學(xué)士，江蘇南京人，研究方向：初等數(shù)學(xué)教育研究；王天予（1994-），女，學(xué)士，江蘇南京人，研究方向：數(shù)學(xué)教育。