梁 浩，穆榮軍，王丹丹，蔡 玲，喬立偉

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 天津航海儀器研究所，天津 300131）

基于稀疏高斯積分的艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)濾波方法

梁 浩1，穆榮軍1，王丹丹2，蔡 玲3，喬立偉3

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 天津航海儀器研究所，天津 300131）

針對(duì)艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)中的大姿態(tài)失準(zhǔn)角問題，研究了稀疏高斯厄米特積分濾波在艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)中的應(yīng)用。為了解決稀疏高斯濾波中積分點(diǎn)利用效率不高的問題，提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)各向異性稀疏高斯積分濾波算法，改進(jìn)算法根據(jù)狀態(tài)參數(shù)可觀測(cè)度大小將積分變量分類并根據(jù)分類結(jié)果構(gòu)造各向異性權(quán)重向量來控制各維通道積分的精度等級(jí)，進(jìn)而對(duì)各變量通道的積分點(diǎn)數(shù)目進(jìn)行合理分配。模擬軌跡下仿真結(jié)果表明，采用稀疏高斯濾波與采用改進(jìn)算法的艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)精度相當(dāng)，較無味卡爾曼濾波有所提高，對(duì)準(zhǔn)精度由3′提高到2′；改進(jìn)算法的積分點(diǎn)數(shù)目減少了30%～60%，提高了計(jì)算效率。

艦載機(jī)；傳遞對(duì)準(zhǔn)；非線性濾波；可觀測(cè)度；各向異性；高斯厄米特

艦載機(jī)著艦后在甲板上停放的位置是隨機(jī)的，利用著艦后機(jī)載慣導(dǎo)關(guān)機(jī)時(shí)刻的導(dǎo)航信息，能夠得到艦載機(jī)相對(duì)艦船基準(zhǔn)粗略的姿態(tài)關(guān)系，進(jìn)而在下次值機(jī)起飛前通過傳遞對(duì)準(zhǔn)獲得機(jī)載慣導(dǎo)準(zhǔn)確的初始姿態(tài)信息。通常認(rèn)為上次著艦后飛機(jī)慣導(dǎo)的姿態(tài)角誤差為小量，在小失準(zhǔn)角條件下推導(dǎo)出慣導(dǎo)系統(tǒng)的線性誤差傳播方程[1-2]。然而，實(shí)際中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)大初始失準(zhǔn)角的情況，近年來，許多學(xué)者對(duì)大姿態(tài)失準(zhǔn)角下的非線性模型及非線性濾波算法開展了大量研究[3-5]。

在非線性濾波算法方面，擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）應(yīng)用最為廣泛，EKF利用一階泰勒近似將非線性模型線性化，但EKF計(jì)算過程復(fù)雜，當(dāng)遇到強(qiáng)非線性模型時(shí)誤差較大。無味卡爾曼濾波采用UT變換近似非線性函數(shù)的概率密度，具體采樣形式為確定性采樣，理論上UKF能以二階或三階精度計(jì)算后驗(yàn)分布的均值和協(xié)方差[6-7]。高斯厄米特積分濾波（Gauss-Hermite Quadrature Filter，GHQF）利用高斯厄米特積分方法來直接處理非線性模型，研究表明[8]，GHQF的估計(jì)精度高于EKF和UKF。但GHQF的積分點(diǎn)數(shù)目隨著變量維數(shù)的增加呈指數(shù)形式增長，為了解決GHQF的維數(shù)災(zāi)難問題，有學(xué)者提出了稀疏網(wǎng)格積分濾波方法，其原理是利用Smolyak法則來減少積分采樣點(diǎn)，SGHQF采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨著系統(tǒng)維數(shù)的增加僅呈多項(xiàng)式形式增長，SGHQF在收斂速度和估計(jì)精度方面優(yōu)于EKF和UKF，與GHQF相比，SGHQF具有更高的計(jì)算效率[9-10]。

本文建立了大姿態(tài)失準(zhǔn)角下慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差傳播模型，將SGHQF算法應(yīng)用于艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)，為了進(jìn)一步降低實(shí)際應(yīng)用中SGHQF的計(jì)算負(fù)擔(dān)，提出了一種基于系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)可觀測(cè)度分析的自適應(yīng)各向異性稀疏積分濾波算法，并采用模擬軌跡對(duì)基于改進(jìn)方法的艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 自適應(yīng)各向異性稀疏積分濾波算法

稀疏網(wǎng)格Smolyak規(guī)則是對(duì)單變量GHQ積分進(jìn)行多維擴(kuò)展的一種方法，描述如下：

式中， wsj、γsj為 ij精度等級(jí)的單變量積分權(quán)值和積分點(diǎn)。

SGHQF積分點(diǎn)的數(shù)目隨著積分變量維數(shù)的增加呈多項(xiàng)式增長，降低了計(jì)算量。然而，SGHQF對(duì)各維積分變量同等重視，均勻分配積分點(diǎn)，因此，SGHQF的積分點(diǎn)利用效率并不是最高的。濾波器的估計(jì)速度和精度取決于系統(tǒng)的可觀測(cè)性，狀態(tài)分量可觀測(cè)性的強(qiáng)弱用可觀測(cè)度來衡量。下面給出改進(jìn)的AASGHQF算法，該算法根據(jù)各通道變量的可觀測(cè)度大小對(duì)各積分變量進(jìn)行分類，以此來分配各維積分點(diǎn)數(shù)目，將更多積分點(diǎn)分配至更重要的變量通道[11]。表達(dá)式如下：

可觀測(cè)度的分析方法主要有估計(jì)誤差協(xié)方差陣的征值法和可觀測(cè)矩陣的奇異值分解法，前者要在Kalman濾波運(yùn)算之后才能進(jìn)行可觀測(cè)度分析，而后者可以在濾波估計(jì)的同時(shí)進(jìn)行可觀測(cè)度計(jì)算。利用微分幾何非線性系統(tǒng)理論及李導(dǎo)數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析并求解非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣[12]，采用奇異值分解法（Singular Value Decomposition，簡稱SVD法）對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)分量的可觀測(cè)性進(jìn)行定量分析[13]。狀態(tài)分量的可觀測(cè)度定義為：

式中：ηj表示狀態(tài)向量中第j個(gè)分量的可觀測(cè)度，σ0表示外觀測(cè)量所對(duì)應(yīng)的奇異值，σmax為使待估計(jì)的初始狀態(tài)取得最大值的奇異值。

在進(jìn)行集合劃分時(shí)，要求各子集之間互不相交。經(jīng)上述篩選處理后，S x (n)中所有狀態(tài)分量按可觀測(cè)度強(qiáng)弱劃分到高-低（ Sx1和 Sx2）兩個(gè)子集中。通過計(jì)算各變量通道的可觀測(cè)度大小對(duì)g進(jìn)行賦值，對(duì)于可觀測(cè)度低的變量通道，即使非線性程度較大，也應(yīng)減少其積分點(diǎn)數(shù)目所占的比重，合理有效地對(duì)積分點(diǎn)進(jìn)行分配。

式(3)可改寫為：

式中：

AASGHQ的積分點(diǎn)可表示為：

2 地理系下艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)模型

2.1 慣導(dǎo)非線性誤差傳播模型

艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)過程中，涉及到主、子兩套慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，其誤差傳播特性同單個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差傳播特性有一定差異，需要對(duì)相關(guān)參量進(jìn)行重新定義和處理，當(dāng)姿態(tài)失準(zhǔn)角為大角度時(shí)，基于小角度假設(shè)的一階線性化慣導(dǎo)誤差方程不能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的誤差傳播特性，應(yīng)建立大失準(zhǔn)角下的非線性系統(tǒng)模型。

地理坐標(biāo)系內(nèi)，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的非線性誤差傳播模型為[14]：

2.2 傳遞對(duì)準(zhǔn)模型

2.2.1 狀態(tài)方程

取狀態(tài)向量為：

式中：各分量依次分別為姿態(tài)失準(zhǔn)角、主子慣導(dǎo)東向及北向速度之差、經(jīng)緯度之差、子慣導(dǎo)的陀螺常值漂移和加速度計(jì)測(cè)量零偏。

系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程為：

式中：f為非線性向量函數(shù)， wk-1為零均值高斯白噪聲序列，其方差陣為 Qk-1。

2.2.2 觀測(cè)方程

采用速度匹配模式，系統(tǒng)的觀測(cè)向量為：

觀測(cè)方程為：

2.3 濾波器設(shè)計(jì)

艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)的概率密度為高斯型，傳遞對(duì)準(zhǔn)濾波器具有如下形式。

1）預(yù)測(cè)：

2）更新：

式中：

3 仿真分析

3.1 仿真分析1

選取精度等級(jí)為 3的二維高斯積分進(jìn)行仿真分析，對(duì)SGHQ和AASGHQ的積分點(diǎn)數(shù)目和分布進(jìn)行比較。L精度等級(jí)的單積分點(diǎn)的數(shù)目為2L-1個(gè)[15]，分別用 X1、 X2和 X3表示等級(jí)1、2、3的單變量積分點(diǎn)，則 X1、 X2和 X3包含的積分點(diǎn)分別為1、3、7個(gè)。根據(jù)稀疏網(wǎng)格積分規(guī)則，SGHQ的積分點(diǎn)為D2,3= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),}，取點(diǎn)分布如圖 1所示[10]。當(dāng) g= [2,1]時(shí)，根據(jù)式(7)～(10)得 AASGHQ的積分點(diǎn)為 D2,3= {(1,1),(1,3),(2,1)}，取點(diǎn)分布如圖2所示。

圖1 SGHQ取點(diǎn)分布示意圖Fig.1 Points distribution of SGHQ

圖2 AASGHQ取點(diǎn)分布示意圖Fig.2 Points distribution of AASGHQ

當(dāng)L=3，n=1～6時(shí)，SGHQ、AASGHQ的積分點(diǎn)數(shù)如表1所示，AASGHQ需要更少的積分點(diǎn)。

由計(jì)算結(jié)果可以看出，g的取值決定了各維積分ij的幅值范圍及積分點(diǎn)的數(shù)目?？梢愿鶕?jù)式(5)、式(6)的可觀測(cè)度分組計(jì)算依據(jù)對(duì)g進(jìn)行賦值。AASGHQF與SGHQF相比，AASGHQF能夠減少30%～60%的積分點(diǎn)數(shù)。

表1 SGHQ和AASGHQ所需積分點(diǎn)的數(shù)目Tab.1 Number of points of SGHQ and AASGHQ

3.2 仿真分析2

采用模擬軌跡分別對(duì)基于 UKF、SGHQF和AASGHQF的艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)進(jìn)行仿真對(duì)比分析。

在二級(jí)海情下，艦船以10 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，主慣導(dǎo)陀螺常值漂移0.0012 (°)/h(1σ)，加表零偏6×10-6g(1σ)；子慣導(dǎo)陀螺常值漂移0.06 (°)/h(1σ)，加表零偏3×10-4g(1σ)；主、子慣組數(shù)據(jù)更新周期為0.1 s，傳遞對(duì)準(zhǔn)濾波周期為0.2 s，仿真時(shí)間15 min；艦體坐標(biāo)系內(nèi)橫向、法向和縱向桿臂為[2m 6.7m 35m]，預(yù)設(shè)安裝誤差角和甲板靜態(tài)變形角之和為1.0°；SGHQF、AASGHQF的精度等級(jí)均取為L=3；AASGHQF中g(shù)根據(jù)可觀測(cè)度計(jì)算結(jié)果進(jìn)行取值，對(duì)可觀測(cè)度低的變量通道積分點(diǎn)進(jìn)行稀疏，ηM取值為1。

模擬飛行軌跡下系統(tǒng)各狀態(tài)分量的可觀測(cè)度計(jì)算結(jié)果如表2所示（選取其中一段），相應(yīng)的自適應(yīng)重要度因子的取值為g=[1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]。

表2 模擬軌跡下狀態(tài)參數(shù)可觀測(cè)度Tab.2 Observable degree of state parameters under simulation trajectory

采用艦船模擬軌跡，基于 UKF、SGHQF和AASGHQF的慣導(dǎo)傳遞對(duì)準(zhǔn)結(jié)果如圖3和圖4所示。

基于三種非線性濾波算法的傳遞對(duì)準(zhǔn)估計(jì)精度對(duì)比如表3所示，表中Δφ為姿態(tài)失準(zhǔn)角估計(jì)誤差，ΔV為速度估計(jì)誤差。

表3 仿真結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of simulation results

圖3 姿態(tài)失準(zhǔn)角估計(jì)誤差Fig.3 Estimation error of misalignment angles

由仿真結(jié)果圖3、圖4和表3可以看出，與基于UKF的傳遞對(duì)準(zhǔn)相比，采用AASGHQF和SGHQF方法時(shí)，能夠減小三向姿態(tài)失準(zhǔn)角和速度的估計(jì)誤差，對(duì)準(zhǔn)精度提高了1′；AASGHQF與SGHQF兩者濾波估計(jì)精度相當(dāng)，根據(jù)AASGHQF和SGHQF計(jì)算量分析結(jié)果可知，由于采用了各向異性稀疏算法，基于AASGHQF的艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)在保證對(duì)準(zhǔn)精度的同時(shí)，所需的積分點(diǎn)數(shù)目更少，計(jì)算效率更高。

圖4 速度估計(jì)誤差Fig.4 Estimation error of velocity

4 結(jié) 論

本文建立了地理系下的艦機(jī)慣導(dǎo)傳遞對(duì)準(zhǔn)非線性模型，提出了一種自適應(yīng)各向異性稀疏高斯積分濾波算法，能夠根據(jù)狀態(tài)參數(shù)可觀測(cè)度對(duì)各維變量分配積分點(diǎn)，擺脫了傳統(tǒng)方法中均勻分配積分點(diǎn)的缺點(diǎn)。仿真對(duì)比分析表明，基于AASGHQF的傳遞對(duì)準(zhǔn)方法具有較高的計(jì)算效率，可有效地提高艦機(jī)傳遞對(duì)準(zhǔn)精度，滿足艦載機(jī)慣導(dǎo)大姿態(tài)失準(zhǔn)角下高精度初始對(duì)準(zhǔn)的需求。

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Carrier-aircraft transfer alignment filter based on sparse Gauss-Hermite quadrature algorithm

LIANG Hao1, MU Rong-jun1, WANG Dan-dan2, CAI Ling3, QIAO Li-wei3
(1. Department of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China; 3. Tianjin Navigation Instrument Research Institute, Tianjin 300131, China)

In view of the problems of large misalignment angles in carrier-aircraft INS’s transfer alignment, a sparse Gauss-Hermite quadrature filter(SGHQF) is applied to transfer alignment. To solve the problems of low utilization efficiency of points in SGHQF, a new adaptive anisotropic sparse Gauss-Hermite quadrature filter(AASGHQF) is proposed. The state parameters’ observable degree is quantized to classify the state parameters, and a mechanism for controlling the accuracy level of each dimension is presented by structuring adaptive anisotropic importance vector, in which the value of every element is determined according to grouped results. This mechanism can distribute the quadrature points nonuniformly and reasonably. Simulation results show that the AASGHQF algorithm has comparative performance with SGHQF and has a better performance compared with Unscented Kalman filter(UKF). The alignment precision of 3 arcmin could be improved to 2 arcmin by this algorithm. In addition, the number of AASGHQ points is decreased by 30%～60% and the computation efficiency is increased.

carrier aircraft; transfer alignment; nonlinear filters; observability; anisotropic; Gauss-Hermite

聯(lián) 系 人：穆榮軍（1969—），男，副教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：murjun@163.com

1005-6734(2014)05-0587-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.05.006

V249.32

A

2014-05-26；

2014-09-16

海軍重點(diǎn)預(yù)研項(xiàng)目（401010301）；國防基礎(chǔ)科研項(xiàng)目（C0320110001）

梁浩（1987—），男，博士研究生，研究方向?yàn)槌跏紝?duì)準(zhǔn)及信息融合。E-mail：liangwangyihao@163.com