王茂，周振華，王學(xué)翰

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱150000;2.大慶油田電力集團燃機電廠，黑龍江 大慶230604)

目前，具有范數(shù)有界時變參數(shù)不確定性廣義分段仿射系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題越來越受到人們的關(guān)注［1-3］，但關(guān)于二次D-穩(wěn)定性的研究確少有報道。為使這樣的系統(tǒng)不但具有魯棒穩(wěn)定性，同時也需要滿足某些性能指標［4］，二次型性能指標提出的主要思想是對具有參數(shù)不確定性的系統(tǒng)設(shè)計一個控制律，不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，而且使得閉環(huán)系統(tǒng)的性能不超過某個給定的性能上界［5-7］。

隨著廣義分段仿射系統(tǒng)魯棒控制問題研究的深入，對其進行保性能控制的研究也相繼取得了一些成果［8-10］。然而，目前這方面的研究大多局限于連續(xù)系統(tǒng)，而所采用的方法主要是基于分段Lyapunov函數(shù)法以及一些相應(yīng)線性矩陣不等式的處理方法［11-13］。王茂等研究了一類具有參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制問題［14］，通過求解一組包含參變量的LMIs得到保證廣義分段仿射系統(tǒng)容許的反饋控制器增益。本文基于分段Lyapunov函數(shù)，投影定理以及幾個基本引理，在前人的基礎(chǔ)上引入帶極點約束H∞保性能控制方法對離散廣義分段仿射系統(tǒng)設(shè)計一個魯棒H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器。

文章的研究對象是一類具有時變參數(shù)不確定性的離散廣義分段仿射系統(tǒng)，且不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界，本文特點在于將二次D-穩(wěn)定性與H∞性能指標同時進行考慮，使得由控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)具有二次D-穩(wěn)定性，且同時滿足魯棒H∞性能指標以及預(yù)先給定的二次型性能指標。

1 系統(tǒng)描述及預(yù)備知識

本文的研究對象是一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散時間廣義分段仿射系統(tǒng):

式中:x(k)∈Rnx為系統(tǒng)狀態(tài)變量;u(k)∈Rnu為控制輸入向量;y(k)∈Rny為系統(tǒng)輸出向量;z(k)∈Rnz為可控輸出向量;w(k)∈Rnw，w(k)∈l2［0，∞)為擾動輸入;Ri代表第i個子系統(tǒng)多面體區(qū)域，Ai、Bi、Ci、Di1、Di2、Li、bi、E為第i個子系統(tǒng)的已知定常系數(shù)矩陣;Ebi是偏置項;索引集合是I={1，2，…，N};E∈是廣義矩陣，且rank(E)=r≤nx;ΔAi和Δbi代表系統(tǒng)的不確定項，且滿足如下形式:

式中:Wi1、Ei1和Ei2是已知的實定常矩陣，且具有適當維數(shù)，Δi(t):Z+→Rs1×s2是一個未知實值矩陣函數(shù)，且該時變矩陣函數(shù)包含Lebesgue可測量元素，具有如下形式;

如果式(2)和式(3)成立，則稱系統(tǒng)具有容許的參數(shù)不確定性。

將系統(tǒng)從多面體區(qū)域Ri過渡到Rj的集合用Ω表示，可以描述為

本文假設(shè)多面體區(qū)域Ri，i∈I具有形式:

該多面體區(qū)域可進一步描述為一個橢圓集合，其中

對于每個橢圓區(qū)域，可以得到

進一步將狀態(tài)空間分為兩類區(qū)域I=I0∪I1，I0代表包含原點的-1≤0索引集合區(qū)域，則其余的索引集合區(qū)域用I1表示。

定義1［15］考慮參數(shù)不確定廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)，其中u(k)=0;

1)如果存在z∈C使得det(zE-Ai)≠0，則稱廣義系統(tǒng)(1)是正則的，i∈I;

2)如果 deg(det(zE-Ai))=rank(E)，i∈ I則稱廣義系統(tǒng)(1)是因果的;

3)如果離散廣義系統(tǒng)(1)的所有特征根λ(E，Ai)?Dint(0，1)，則稱系統(tǒng)(1)穩(wěn)定;

4)如果系統(tǒng)(1)是正則、因果，并且穩(wěn)定的，則稱廣義系統(tǒng)(1)是容許的;

5)任意非零向量ν1，若滿足Eν1=0，則稱其為矩陣束 (E，Ai)的一階向量，對于滿足 Eνk=Aiνk-1的非零特征向量νk(k≥2)，則稱為矩陣束(E，Ai)的k階特征向量。

以下定義2和定義3，所考慮廣義系統(tǒng)一般形式為

則稱V為廣義系統(tǒng)(8)的一個二次性能矩陣，相應(yīng)的閉環(huán)性能指標值J≤Vx0。x0為系統(tǒng)初始狀態(tài)。

定義3［16］對于給定圓盤 D(c，r)，廣義系統(tǒng)式(8)若存在對稱可逆矩陣T，對所有的ΔA，對稱可逆矩陣T滿足式(9)以及:

則稱廣義系統(tǒng)式(8)是二次D-穩(wěn)定的。若對稱可逆矩陣T同時滿足式(9)和式(11)，則稱對稱可逆矩陣T為廣義系統(tǒng)式(8)的一個二次D-性能矩陣。

引理1 對于適當維數(shù)實矩陣M=MT、S、N和Θ(t)，若滿足ΘT(t)Θ(t)≤I，則當且僅當存在某個標量ε＞0，使M+SΘ(t)N+NTΘT(t)ST＜0等價于M+εSST+ε-1NTN ＜0。

應(yīng)用shcur補引理，M+εSST+ε-1NTN ＜0可以進一步表述為以下2種形式:

引理2［17］(投影定理) 給定矩陣h=hT∈Rn×n，u∈Rk×n和v∈Rm×n，則關(guān)于變量Φ的矩陣不等式h+uTΦTv+vTΦu＜0是LMI可解的，當且僅當:

1)若 v⊥=0，u⊥≠ 0，則 uT⊥hu⊥＜ 0

2)若 u⊥=0，v⊥≠ 0，則 vT⊥hv⊥＜ 0

3)若 u⊥≠0，v⊥≠0，則 uT⊥hu⊥＜ 0，vT⊥hv⊥＜0同時成立，u⊥，v⊥代表u和v的右正交核空間。

本文針對具有參數(shù)不確定性離散時間廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)設(shè)計H∞輸出反饋保性能控制器:

保證閉環(huán)系統(tǒng):

式中系統(tǒng)狀態(tài)矩陣:Ai=Ai+BiKiCi，擾動矩陣:=Di1+BiKiDi2)是容許的，且具有二次D-穩(wěn)定性，滿足性能指標:

式中:Q、R為已知正定加權(quán)矩陣。

2 主要結(jié)果

假設(shè)系統(tǒng)式(1)的輸入矩陣Bi，i∈I是列滿秩的，則存在一組轉(zhuǎn)換矩陣 TBi∈ Rnx×nx，i∈ I ，滿足:

且轉(zhuǎn)換矩陣 TBi∈Rnx×nx非奇異，以下 H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器就是基于該假設(shè)進行設(shè)計的。

定理1 考慮參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)(1)，若存在對稱矩陣 Pi∈ Rnx×nx，標量:

以及:

使得

成立，則存在H∞輸出反饋保性能控制器式(12)，使得閉環(huán)系統(tǒng)式(13)是容許的，且滿足二次性能指標式(14)，即Pi∈Rnx×nx為閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的一個二次性能矩陣。

對任意矩陣H，sym{H}=H+HT。

H∞輸出反饋保性能控制器增益:

證明:可以看到條件式(18)在Ebi=0時，就是條件式(17)。不失一般性，如下可以只證明條件式(18)成立。

選取廣義分段仿射Lyapunov函數(shù):

進一步:

基于Lyapunov函數(shù)的定義，為使閉環(huán)系統(tǒng)式(13)具有魯棒H∞性能指標γ，則只需保證以下不等式成立:

對于閉環(huán)系統(tǒng)式(13)，根據(jù)定義2關(guān)于二次性能矩陣的定義，如果下面不等式成立，則系統(tǒng)具有H∞二次保性能矩陣Pi:

對于任意非零w(k)∈l2［0，∞)，式(22)可進一步等價于:

從式(23)可以得到:

即

假設(shè)矩陣束(E，Ai)是非因果的。用一階特征向量ν1和它的Hermitian矩陣ν1*分別左乘和右乘式(25)得

接下來引用schur補引理，再用Eν2代替Aiν1，并注意到Eν1=0，可以得到

與條件式(16)相矛盾。所以得到矩陣束(E，Ai)是因果的。顯然，證明因果性的同時也證明了矩陣束(E，Ai)的正則性。

考慮區(qū)域信息，即將式(7)代入式(23)并應(yīng)用 S-procedure，其中 λij＜ 0，i∈ I1，(i，j)∈ Ω ，得到

式中:G1=-ETPiE+λijFiTFi+Q。對式(28)中各個矩陣進行合并，并先后應(yīng)用3次Schur補引理，從式(28)可以得到

另一方面，為消除不確定性給求解過程帶來的影響，將式(29)中的不確定性ΔAi和EΔbi分離出來，可以將式(29)改寫為

式中，G=-ETP E+λF+E+Q。系

2

iiji1統(tǒng)矩陣與Lyapunov矩陣相耦合。因此以下應(yīng)用投，(31)影定理消去這種耦合關(guān)系 將式 改寫成為

基于投影定理，做如下變量替換:

應(yīng)用引理2的投影定理，得到

對矩陣 Mi∈ Rnx×(2nx+nz+nw+nu+1+s1)，i∈ I1進行分塊:

其中:

相應(yīng)矩陣的定義與定理1中給出的形式一樣。結(jié)合變量δ1:

將式(35)代入到式(34)中，并結(jié)合所有給定矩陣的定義，最終得到式(18)，第一部分證明結(jié)束。

另一方面，從式(17)、(18)可以得到

--性，并且由 Mi1是下三角陣，可以得到 Mi1(3)可逆。所以控制器增益能夠得到，定理進一步證明完畢。

定理2 考慮范數(shù)有界離散廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)，若存在對稱矩陣 Pi∈ Rnx×nx，標量:

以及

使得式(16)～(18)成立，且滿足以下不等式:

則存在H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器式(12)，使得閉環(huán)系統(tǒng)式(13)具有二次D-穩(wěn)定性，且對于所給二次型性能指標式(14)，Pi為一個二次D-性能矩陣。則閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的控制器增益:

閉環(huán)系統(tǒng)式(13)相應(yīng)的性能上界為

證明 首先，由定義3可知，若一般形式廣義系統(tǒng)式(8)是二次D-穩(wěn)定的，則存在對稱可逆矩陣Pi必須同時滿足以下2個不等式:

第1個不等式與條件式(16)相同，第2個不等式也等價于:

推廣到本文所考慮的離散廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)，若使系統(tǒng)式(1)是二次D-穩(wěn)定的，只需滿足條件式(16)以及以下不等式:

考慮區(qū)域信息，將式(7)代入式(39)中，并且應(yīng)用S-procedure引理，即可得:＞ 0

基于定理2，引入一組標量 ，i∈ I1，(i，j)∈Ω，并引用schur補引理，不等式:

與式(40)等價，其中M和N的定義見定理1。

以下證明方法與定理1相同，去掉系統(tǒng)矩陣和Lyapunov矩陣的耦合關(guān)系之后，即可得到條件式(36)、(37)。顯然，根據(jù)定理 1，由于 Pi滿足式(16)、(18)，則Pi為閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的一個二次性能矩陣，而Pi又滿足式(36)、(37)，所以Pi為閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的一個二次D-性能矩陣，定理2得證。

3 數(shù)值仿真

由于本文所考慮離散廣義分段仿射系統(tǒng)存在外部擾動輸入，應(yīng)用定理1設(shè)計得到的控制器，應(yīng)使得由此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)式(13)具有魯棒H∞性能，且滿足預(yù)先給定的二次型性能指標。然而，基于定理2設(shè)計控制器的主要思想則是考慮將閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的極點配置在所期望的位置上，以保證系統(tǒng)具有實際工程中所要求的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，與此同時，閉環(huán)系統(tǒng)式(13)還應(yīng)滿足一定的H∞性能指標和二次型性能指標。

考慮參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)式(1)由以下2個子系統(tǒng)組成:

橢圓體系數(shù)矩陣:

式中:α1=3，β1=10，α2=4，β2=9 ，R=5，Q=。系統(tǒng)初始狀態(tài)x0=[1 1]T系統(tǒng)擾動輸入向量w =[2 1]TL1= [0.1 0.2 ]，L2=[0.3 0.4 ]圓盤 D(c，r):c1=-5，c2=-10，r1=5，r2=10應(yīng)用定理1得到閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的一個二次性能矩陣以及使閉環(huán)系統(tǒng)式(13)容許的H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器增益:

H∞性能指標γ=6.902 5。相應(yīng)得到系統(tǒng)的一個性能上界:J*≤0.851 7。

圖1為根據(jù)定理1得到的H∞輸出反饋保性能控制器所構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的狀態(tài)響應(yīng)曲線:

圖1 根據(jù)定理1得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State responses of the closed-loop system according to lemma 1

應(yīng)用定理2得到使閉環(huán)系統(tǒng)式(13)具有二次D-穩(wěn)定性的一個二次D-性能矩陣以及使閉環(huán)系統(tǒng)式(13)容許的H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器增益:H∞性能指標γ=13.563。相應(yīng)得到系統(tǒng)的一個性能上界:J*≤7.041。

圖2為根據(jù)定理2得到的H∞輸出反饋保性能控制器所構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的狀態(tài)響應(yīng)曲線。

圖2 根據(jù)定理2得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State responses of the closed-loop system according to lemma 2

由通過仿真所得到的數(shù)據(jù)可以看到，基于定理1所設(shè)計的控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)式(13)H∞擾動抑制度γ=6.902 5，且性能上屆小于0.851 7，滿足先前的設(shè)計要求?；诙ɡ?所設(shè)計的控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)式(13)具有二次D-穩(wěn)定性，同時得到系統(tǒng)的H∞干擾抑制度 γ=13.563，相應(yīng)性能上屆為7.041。通過分析可以看到，基于定理2的控制器設(shè)計方法由于考慮了系統(tǒng)的二次D-穩(wěn)定性使得H∞性能指標較基于定理1所得到的同類性能指標有所下降，即:閉環(huán)系統(tǒng)式(13)具有二次D-穩(wěn)定性時魯棒性能有所下降。

下面采用一個實際例子進行說明，使用隧道二極管電路作為一個物理映射，證實對范數(shù)有界廣義分段仿射系統(tǒng)H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器的求取［14］，定理1比定理2具有更好的系統(tǒng)魯棒控制性能，考慮隧道二極管電路［18］，電容電壓用x1(k)表示，電感電流用x2(k)表示，流過隧道二極管的電流用x3(k)表示。經(jīng)過離散化得到離散廣義分段仿射系統(tǒng)模型:系統(tǒng)參數(shù)的取值參看文獻［14］，其余參數(shù)及橢圓區(qū)域分段按照第一個數(shù)值例子進行選擇，系統(tǒng)擾動輸入向量

進行實驗仿真可得:基于定理2求取H∞靜態(tài)輸出反饋控制器時，利用Matlab軟件無法得到可行解?；诙ɡ?求取廣義分段仿射系統(tǒng)H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器增益:K1=-1.256 6，K2=-0.526 3。H∞性能指標γ=9.563。

從仿真所得數(shù)據(jù)可以看到基于定理2的控制器設(shè)計方法由于考慮了二次D-穩(wěn)定性使得閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性能有所下降。

4 結(jié)束語

本文在分段仿射Lyapunov函數(shù)，投影定理以及幾個處理線性矩陣不等式基本引理的基礎(chǔ)上，設(shè)計了使具有范數(shù)有界形式參數(shù)不確定性的離散時間廣義分段仿射系統(tǒng)容許的H∞輸出反饋保性能控制器，保證了由此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)具有二次D-穩(wěn)定性。控制器存在的充分條件在所采用算法的基礎(chǔ)上最終體現(xiàn)為LMIs約束的形式，并且求解過程不包含對系統(tǒng)矩陣的分解，這種做法大大減低了算法的保守性，最后的數(shù)值仿真給出了H∞靜態(tài)輸出反饋保性能控制器的最優(yōu)解，同時使得閉環(huán)系統(tǒng)極點被約束在復(fù)平面指定區(qū)域上，并注意到由于考慮系統(tǒng)的二次D-穩(wěn)定性使得系統(tǒng)原本H∞性能指標有所下降。仿真證明了設(shè)計方法的有效性。

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