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廣義V-r-Ⅰ型不變凸非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題

2014-10-25 07:34:26
關(guān)鍵詞:不等號(hào)最優(yōu)性對(duì)偶

閆 春 雷

(青島大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島266071)

凸性在數(shù)學(xué)規(guī)劃中應(yīng)用廣泛.為了減弱對(duì)凸性的要求,研究者們給出了幾類廣義凸函數(shù)的定義.Hanson[1]介紹了不變凸函數(shù);Hanson等[2]給出了Ⅰ型與Ⅱ型不變凸函數(shù)的概念.文獻(xiàn)[3-8]將Ⅰ型不變凸函數(shù)推廣到可微或不可微多目標(biāo)規(guī)劃的情形,取得了一些有意義的結(jié)果;Jeyakumar等[9]將不變凸的概念推廣到多目標(biāo)規(guī)劃情形,給出了V-不變凸的概念;Antczak[10]結(jié)合V-不變凸[9]與r-不變凸[11]給出了V-r-不變凸的概念;Antczak[12]將V-r-不變凸推廣到局部Lipschitz函數(shù),并在局部Lipschitz函數(shù)的V-r-不變凸條件下給出了非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題的Karush-Kuhn-Tuker必要與充分最優(yōu)性條件及Mond-Weir與Wolf型對(duì)偶結(jié)果;Ahmad等[13]又將V-r-不變凸進(jìn)行了推廣,給出了局部Lipschitz函數(shù)廣義V-r-不變凸的概念,并在廣義V-r-不變凸條件下給出了非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題的Karush-Kuhn-Tuker充分最優(yōu)性條件及 Mond-Weir對(duì)偶性.

本文考慮非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題,結(jié)合V-r-不變凸與Ⅰ型不變凸,通過給出局部Lipschitz函數(shù)的廣義V-r-Ⅰ型不變凸概念,在廣義V-r-Ⅰ型不變凸條件下得到了非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題的Fritz-John和Karush-Kuhn-Tuker充分最優(yōu)性條件,并建立了混合型對(duì)偶問題,且在廣義V-r-Ⅰ型不變凸條件下給出了弱對(duì)偶性與嚴(yán)格逆對(duì)偶性.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于任意的x=(x1,x2,…,xn)∈?n,y=(y1,y2,…,yn)∈?n,有x=y(tǒng)?xi=y(tǒng)i(i=1,2,…,n);x<y?xi<yi(i=1,2,…,n);x≤y?xi≤yi(i=1,2,…,n);x?y?x≤y且x≠y.

定義1[14]設(shè)集合X??n非空,f:X→?是實(shí)值函數(shù),x∈X,N為x的鄰域,如果存在某個(gè)常數(shù)K>0,使得對(duì)任意的y,z∈N,有

則稱f在x處是局部Lipschitz的.

若不等式(1)對(duì)于任意的x∈X都成立,則稱f在X上是局部Lipschitz的.

定義2[14]X??n為非空開集,函數(shù)f:X→?在點(diǎn)x∈X處是局部Lipschitz的,d∈?n.若極限

存在,則稱此極限為f在x處沿方向d的廣義方向?qū)?shù).

定義3[14]X??n為非空開集,函數(shù)f:X→?在x∈X的廣義次梯度記為

考慮非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題(VP):

定義5[12]設(shè)f:X→?p為定義在非空開集X??n上的局部Lipschitz函數(shù),r為任意實(shí)數(shù),如果存在函數(shù)η:X×X→?n,αi:X×X→?+\{0},i∈I,使得對(duì)于任意的x∈X,有

則稱函數(shù)f在u∈X處關(guān)于η是V-r-不變凸的.若x≠u時(shí),式(2)不等號(hào)嚴(yán)格成立,則稱函數(shù)f在u∈X處關(guān)于η是嚴(yán)格V-r-不變凸的.

下面假設(shè)X為?n中非空開集,f:X→?p,g:X→?m為局部Lipschitz函數(shù).函數(shù)η:X×X→?n,αi:X×X→?+\{0},βj:X×X→?+\{0},νi:X×X→?+\{0},ωj:X×X→?+\{0},i∈I,j∈M,r為任意實(shí)數(shù).

定義6 如果存在函數(shù)η及αi,βj(i∈I,j∈M),使得對(duì)任意的x∈X,有:

則稱(f,g)在u∈X處關(guān)于η 是V-r-Ⅰ型不變凸的.

定義7 如果存在函數(shù)η及νi,ωj(i∈I,j∈M),使得對(duì)任意的x∈X,有:

則稱(f,g)在u∈X 處關(guān)于η 是(偽,擬)V-r-Ⅰ型不變凸的.

若當(dāng)x≠u時(shí),式(7),(9)中第二個(gè)不等號(hào)嚴(yán)格成立,則稱(f,g)在u∈X處關(guān)于η是(嚴(yán)偽,擬)V-r-Ⅰ型不變凸的;若當(dāng)x≠u時(shí),式(8),(10)中第二個(gè)不等號(hào)嚴(yán)格成立,則稱(f,g)在u∈X處關(guān)于η是(偽,嚴(yán)擬)V-r-Ⅰ型不變凸的.

定義8 如果存在函數(shù)η及νi,ωj(i∈I,j∈M),使得對(duì)任意的x∈X,有:

則稱(f,g)在u∈X 處關(guān)于η 是(擬,偽)V-r-Ⅰ型不變凸的.

若當(dāng)x≠u時(shí),式(12),(14)中第二個(gè)不等號(hào)嚴(yán)格成立,則稱(f,g)在u∈X處關(guān)于η是(擬,嚴(yán)偽)V-r-Ⅰ型不變凸的;若當(dāng)x≠u時(shí),式(11),(13)中第二個(gè)不等號(hào)嚴(yán)格成立,則稱(f,g)在u∈X 處關(guān)于η 是(嚴(yán)擬,偽)V-r-Ⅰ型不變凸的.

2 最優(yōu)性條件

且下列條件之一成立:

由條件1)得

又由條件1)得

式(16)+式(17)得

根據(jù)次微分的運(yùn)算性質(zhì)[14],得

2)的證明類似1).由條件2),式(16)中<0換為≤0,式(17)中≤0換為<0,仍可得到式(18),結(jié)論成立.

由條件1)或條件2)均能得式(16)成立.其余證明與定理1類似.

3 混合型對(duì)偶

考慮(VP)的對(duì)偶問題(VD):

定理3(弱對(duì)偶)設(shè)x,(y,μ,λ)分別為(VP)和(VD)的可行解,如果下列條件之一成立:

又因?yàn)?/p>

由條件1)及次微分的運(yùn)算性質(zhì)[14],得

因?yàn)椋▂,μ,λ)為(VD)的可行解,有-λjgj(y)≤0,j∈J2.從而

由條件1)及次微分的運(yùn)算性質(zhì)[14],得

式(21)+式(23)得

2)的證明類似1).

定理4(弱對(duì)偶)設(shè)x,(y,μ,λ)分別為(VP)和(VD)的可行解,如果下列條件之一成立:

由條件1)及次微分的運(yùn)算性質(zhì)[14]知式(21)成立.其余證明與定理3類似.

與式(20)矛盾.

2)的證明類似1).

[1]Hanson M A.On Sufficiency of the Kuhn-Tucker Conditions [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1981,80(2):545-550.

[2]Hanson M A,Mond B.Necessary and Sufficient Conditions in Constrained Optimization [J].Mathematical Programming,1987,37(1):51-58.

[3]Kaul R N,Suneja S K,Srivastava M K.Optimality Criteria and Duality in Multiple-objective Optimization Involving Generalized Invexity[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1994,80(3):465-482.

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