王麗穎，許曉婕

（1.白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 白城137000；2.中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，山東 青島266555）

考慮分數(shù)階半正邊值問題：

分數(shù)階微分方程在數(shù)學(xué)、力學(xué)、分數(shù)控制系統(tǒng)與分數(shù)控制器、各種電子回路以及回歸模型等領(lǐng)域，特別是與分形維數(shù)有關(guān)的物理與工程方面應(yīng)用廣泛［1－8］.文獻［9］應(yīng)用Leray－Schauder非線性抉擇、錐不動點定理和混合單調(diào)算子理論研究了奇異和非奇異邊值問題多重正解的存在性，并給出了奇異問題正解的唯一性，考慮了非線性項正的結(jié)果，即f：（0，1）×［0，＋∞）→［0，＋∞）.本文考慮“半正”問題，即存在M≥0，使得f：（0，1）×［0，＋∞）→［－M，＋∞）.

下面給出分數(shù)階微分方程邊值問題的格林函數(shù)及性質(zhì).

引理1［9］給定h∈C［0，1］和3＜α≤4，方程

稱為邊值問題（2）－（3）的格林函數(shù).

引理2［9］由式（4）定義的格林函數(shù)G（t，s）滿足如下條件：

其中M0＝max｛α－1，（α－2）2｝.

本文主要利用Hammerstein積分方程和Krasnosel’skii錐不動點定理［10］.

引理3［10］令X是一個Banach空間，且P?X是X中的一個錐.假設(shè)Ω1，Ω2是X中的開子集，滿足0∈Ω1??Ω2，且令S：P→P是全連續(xù)算子，使得下列兩個條件之一成立：

本文主要結(jié)果如下.

定理1 假設(shè)下列條件成立：

（H1）f：（0，1）×［0，＋∞）→（－∞，＋∞）是連續(xù)的；

（H3）存在非負函數(shù)h∈C（0，1）∩L1［0，1］，使得f（t，u）＋h（t）≥0，（t，u）∈（0，1）×［0，＋∞）；

其中

事實上，如果0≤t≤s≤1，則

2）證明T：K→K是全連續(xù)的.

由假設(shè)（H1）～（H3），Tu∈C［0，1］.如果un∈K（n＝1，2，…），使得‖un－u‖→0，則當t∈（0，1）時，

由Lebesgue控制收斂定理可得

因此，T：K→C［0，1］是連續(xù)的.

令V?K 是有界集，且r2＝sup｛‖u‖：u∈V｝＋‖ω0‖＋1.如果u∈V，則max｛u（t）－ω0（t），0｝≤r2，0≤t≤1.由假設(shè)（H2），存在非負函數(shù)jr2∈L1［0，1］，使得f＊（t，（u（t）－ω0（t）））≤jr2（t），0＜t＜1.因此，

從而T（V）?C［0，1］是一致有界的.

由1），對任意的u∈V，

表明T（V）?C［0，1］是等度連續(xù)的.從而由 Arzela－Ascoli定理知，T：K→C［0，1］是全連續(xù)的.

另一方面，由引理2知，

因此T（K）?K.

因為不動點等價于邊值問題

如果u∈?Ω（r3），則0≤max｛u（t）－ω0（t），0｝≤r3，0≤t≤1.因此f＊（t，（u（t）－ω0（t）））＋h（t）≤Φ（t），0＜t＜1.從而有

另一方面，當α≤t≤β時，

由Fatou引理可得

因此，存在一個正數(shù)r4＞r3，使得

如果u∈?Ω（r4），則‖u‖＝r4，且

因此，

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