康厚軍+趙躍宇+朱志輝+解維

摘要：基于CFRP斜拉索橫向各向同性假設(shè)的動(dòng)力學(xué)理論，研究在強(qiáng)迫荷載作用下CFRP斜拉索的面內(nèi)非線性動(dòng)力學(xué)行為.將CFRP斜拉索的空間動(dòng)力學(xué)控制微分方程約化處理得到面內(nèi)運(yùn)動(dòng)控制微分方程，通過無量綱處理后，利用Galerkin方法進(jìn)行一階模態(tài)截?cái)啵玫紺FRP斜拉索在強(qiáng)迫激勵(lì)下面內(nèi)運(yùn)動(dòng)常微分控制方程.利用4階龍格庫(kù)塔法對(duì)微分方程進(jìn)行數(shù)值積分，得到在不同激勵(lì)荷載作用下CFRP拉索的時(shí)間歷程圖、相圖和功率譜圖，進(jìn)而對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明，在強(qiáng)迫激勵(lì)下CFRP斜拉索有較為豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

關(guān)鍵詞：索；強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)；非線性振動(dòng)；分岔

中圖分類號(hào)：O322 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：Based on the assumption of transversely isotropic property of material， the nonlinear inplane dynamical behavior of CFRP cable under forced load was investigated. The partial differential equation for inplane dynamics of the inclined CFRP cable was obtained by reducing spatial kinetic theory. Then， the ordinary differential equations for analyzing the dynamic behavior were obtained in Galerkin method and through dimensionless treatment. The 4order RungeKutta method for differential equations was utilized to get the time history， phase and power spectrum for understanding the nonlinear dynamic behavior of inclined CFRP cable. The rich nonlinear dynamic behavior and phenomena were observed.

Key words： cable； forced motion； nonlinear oscillation； bifurcation

CFRP（Carbon Fiber Reinforced Polymer）斜拉橋是近幾年來出現(xiàn)的一種具有相當(dāng)發(fā)展前景的新型大跨度橋梁，國(guó)內(nèi)外已建成CFRP斜拉索斜拉橋6座.CFRP是一種增強(qiáng)型的碳纖維復(fù)合材料，被廣泛應(yīng)用于航空航天和機(jī)械工程等領(lǐng)域.CFRP斜拉索能克服傳統(tǒng)鋼質(zhì)拉索的銹蝕、疲勞、極限長(zhǎng)度小和承載效率低等問題，它輕質(zhì)（容重約為鋼材的1/5）、高強(qiáng)（彈性模量最高可達(dá)1 000 GPa，抗拉強(qiáng)度可達(dá)2 700 MPa＼[1＼]）和耐腐蝕等特點(diǎn)，使得它作為斜拉索具有相當(dāng)大的競(jìng)爭(zhēng)力，并且隨著斜拉橋跨度的增大，這種優(yōu)勢(shì)將越來越明顯.

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于CFRP斜拉索動(dòng)力學(xué)特性的研究還比較少，主要基于各向同性假設(shè)的傳統(tǒng)拉索理論，利用有限元方法對(duì)其動(dòng)力學(xué)問題開展研究.張新軍等＼[2＼]基于斜拉橋和懸索橋的有限元模型，研究了相同剛度的CFRP索和鋼索在兩種橋型中的空氣動(dòng)力穩(wěn)定問題，發(fā)現(xiàn)CFRP索在懸索橋中由于其較大的扭轉(zhuǎn)頻率而具有更好的空氣動(dòng)力穩(wěn)定性.張鶴和謝旭＼[3-4＼]基于各向同性假設(shè)，采用有限元方法研究了車輛荷載作用下大跨度斜拉橋中CFRP拉索的非線性振動(dòng)行為，發(fā)現(xiàn)在車輛荷載下，CFRP斜拉索的振動(dòng)比剛索大；在橫向風(fēng)荷載作用下，CFRP拉索的橫向變形基本上與鋼索相同.后來，謝旭等＼[5＼]應(yīng)用柔性拉索的非線性振動(dòng)理論，研究了橫向脈動(dòng)風(fēng)荷載作用及支點(diǎn)激勵(lì)下的CFRP拉索非線性振動(dòng)，研究結(jié)果表明，脈動(dòng)風(fēng)雖然導(dǎo)致拉索出現(xiàn)不規(guī)則的豎向和橫向水平振動(dòng)，但不會(huì)改變拉索的參數(shù)振動(dòng)特性.另外，Xiong等＼[6＼]和Fang等＼[7＼]利用有限元方法和實(shí)驗(yàn)對(duì)CFRP斜拉橋的特征頻率和模態(tài)等基本動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了研究.

對(duì)于CFRP拉索的非線性振動(dòng)問題，目前國(guó)內(nèi)外的研究也主要基于傳統(tǒng)拉索的各向同性動(dòng)力學(xué)理論.梅葵花等＼[8＼]建立了CFRP拉索的非線性參數(shù)振動(dòng)模型，對(duì)相同條件下的CFRP拉索和鋼拉索，采用數(shù)值方法分析了頻率匹配比、拉索靜拉力、激勵(lì)幅值以及阻尼等因素對(duì)拉索參數(shù)振動(dòng)特性的影響.吳曉等＼[9＼]對(duì)比研究碳纖維纜索懸索橋與鋼纜索懸索橋的豎向非線性自由振動(dòng)，利用Galerkin方法及LP法求出了懸索橋豎向非線性自振的近似解，研究表明溫度升高使懸索橋非線性自振頻率降低.Kang等＼[10＼]研究了在參數(shù)激勵(lì)下CFRP拉索和鋼質(zhì)拉索的主共振和亞諧波共振，發(fā)現(xiàn)CFRP拉索彈性模量取值不同，對(duì)拉索的非線性振動(dòng)性能有較大的影響，可以改變拉索的軟硬彈簧特性，這有利于拉索的減振設(shè)計(jì).

近幾年來，對(duì)CFRP斜拉索動(dòng)力學(xué)特性的研究，開始考慮其材料各向異性的問題.李志江＼[11＼]采用各向異性的材料本構(gòu)關(guān)系，考慮了彎曲剛度、剪切剛度和扭轉(zhuǎn)等因素影響，推導(dǎo)出了對(duì) CFRP 材料斜拉索分析具有針對(duì)性而且計(jì)算精度較高的梁模型方程，研究了在外部激勵(lì)荷載作用下CFRP斜拉索主參數(shù)共振時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.該方面的研究工作才剛剛起步，還有待進(jìn)一步揭示CFRP拉索的非線性動(dòng)力學(xué)特性和機(jī)理，以期為大跨度索支撐橋梁的設(shè)計(jì)和建造提供理論支撐和有建設(shè)性的建議.

本文基于CFRP斜拉索的各向異性材料特性和斜拉索的基本力學(xué)性能，將其假定為橫向各向同性材料，建立了其非線性動(dòng)力學(xué)控制偏微分方程.將風(fēng)對(duì)拉索的渦激等作用簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫激勵(lì)，通過龍格庫(kù)塔法對(duì)CFRP斜拉索在主共振和亞諧波共振時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.研究結(jié)果表明，在強(qiáng)迫激勵(lì)下CFRP斜拉索有較為豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

1CFRP斜拉索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程

斜拉索在風(fēng)、橋塔和橋面激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生大幅振動(dòng)，給橋梁安全造成隱患.CFRP斜拉索由于其自重更輕、跨度更大，在風(fēng)荷載作用下，其非線性動(dòng)力學(xué)特性將可能更為突出.因此，對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)特性開展深入系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.對(duì)CFRP斜拉索的研究，特做以下基本假設(shè)：截面滿足平截面假設(shè)、不考慮材料的非線性、將各向異性材料假定為橫向各向同性、在重力作用下垂度曲線近似為拋物線.由于抗彎剛度對(duì)拉索的模態(tài)頻率和相互作用（特別是高階模態(tài)）有較大影響＼[12＼]，因此，在動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)控制微分方程的推導(dǎo)過程中，考慮了CFRP拉索抗彎剛度和溫度的影響.

進(jìn)行無量綱參數(shù)分析時(shí)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)工程實(shí)際做適當(dāng)變化.采用龍格庫(kù)塔法對(duì)常微分方程（18）求解，求得拉索在面內(nèi)橫向強(qiáng)迫激勵(lì)下響應(yīng)的時(shí)間歷程圖、相圖、功率譜圖和分叉圖，從而對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究. 為確保計(jì)算結(jié)果的正確，分叉圖經(jīng)過頻閃法和Poincare截面法兩種方法進(jìn)行計(jì)算和相互驗(yàn)證.

圖2為激勵(lì)幅值f=0.001時(shí)，CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分叉圖.從圖中可以看出，隨著激勵(lì)頻率的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了一個(gè)較為復(fù)雜的變化過程，總體表現(xiàn)為硬彈簧特性.當(dāng)激勵(lì)頻率較小時(shí)（ω<0.026），系統(tǒng)表現(xiàn)出多周期小幅振動(dòng)；在0.026< ω<0.175時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出單周期的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，但在此激勵(lì)頻率區(qū)間出現(xiàn)多次跳躍，響應(yīng)幅值并不一定隨著激勵(lì)頻率增大而增大，有時(shí)會(huì)逐漸變??；當(dāng)激勵(lì)頻率大于0.118時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值才隨激勵(lì)頻率的增大而增大，當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到0.305時(shí)，通

從圖中可以看出，不同激勵(lì)幅值不能改變CFRP斜拉索的軟硬彈簧特性，仍就表現(xiàn)出硬彈簧特性.隨著激勵(lì)幅值的增加，系統(tǒng)的分叉行為變得越來越復(fù)雜，當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.005時(shí)，周期運(yùn)動(dòng)的頻率區(qū)間越來越小，單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)僅在0.118至0.130 5和0.137 5至0.229之間存在，其余頻率域均變?yōu)槎嘀芷谏踔粱煦邕\(yùn)動(dòng)，混沌運(yùn)動(dòng)的頻率區(qū)間變大.另外，拉索大幅響應(yīng)的頻率區(qū)間隨激勵(lì)幅值的增加也隨之增大，同時(shí)響應(yīng)的最大幅值也隨之變大.

圖5描述了在激勵(lì)幅值為0.005時(shí)不同激勵(lì)頻率下CFRP斜拉索的時(shí)間歷程、相圖和功率譜圖.從圖中可以看出，在不同的激勵(lì)頻率下，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在激勵(lì)頻率為0.15時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，形成連續(xù)譜成分，但以激勵(lì)頻率響應(yīng)為主.當(dāng)激勵(lì)頻率增大為0.17時(shí)，從相圖和時(shí)間歷程圖可以看出系統(tǒng)做單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，但從功率譜圖可以看出，其中仍含有較少成分的其它周期運(yùn)動(dòng)，并且這些離散譜峰倍頻成分明顯，只是對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)較小.這也說明結(jié)合多種方法分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況更為精確.激勵(lì)頻率增大到0.19時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出雙周期運(yùn)動(dòng).但是，與此同時(shí)也可以從功率譜圖中觀察到倍頻成分，這些成分對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)幾乎為零.

圖6為主共振時(shí)系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的分叉圖.可以看出，隨著激勵(lì)幅值的增加系統(tǒng)以單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)為主，只在部分幅值區(qū)間出現(xiàn)多周期運(yùn)動(dòng)，如：雙周期運(yùn)動(dòng)（0.000 74

圖7為亞諧波共振時(shí)系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的分叉圖. 比較圖6可以看出，CFRP斜拉索在強(qiáng)迫振動(dòng)情況下的亞諧波共振的響應(yīng)幅值幾乎都有一定程度的增大，但相對(duì)于發(fā)生參強(qiáng)激勵(lì)的情況（亞諧波共振的響應(yīng)幅值比主共振有數(shù)量級(jí)的提高）要小很多.由此說明，CFRP強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)亞諧波共振和主共振的響應(yīng)幅值在同一量級(jí).從圖7中可以看出，隨著激勵(lì)幅值的增加，單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)幅值同時(shí)增大.當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.001 34時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡p周期穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，且響應(yīng)幅值突然增大（響應(yīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象）.當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.001 97時(shí)，雙周期穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)再次轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃芷谶\(yùn)動(dòng).隨著激勵(lì)幅值的進(jìn)一步增大，在0.004 058與0.004 203之間，由單周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng)，同時(shí)振動(dòng)幅值伴有跳躍現(xiàn)象.當(dāng)激勵(lì)幅值大于0.004 203時(shí)，系統(tǒng)又回到穩(wěn)態(tài)的單周期運(yùn)動(dòng).最后，當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.004 671時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng)，直到激勵(lì)幅值達(dá)到0.003 24時(shí)，系統(tǒng)由4周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步增加激勵(lì)幅值，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).當(dāng)激勵(lì)幅值大于0.005 4時(shí)，系統(tǒng)突然由混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)的單周期運(yùn)動(dòng).

4結(jié)論

通過對(duì)CFRP斜拉索面內(nèi)強(qiáng)迫振動(dòng)分叉行為的理論研究和算例分析，發(fā)現(xiàn)了豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，同時(shí)得到一些有意義的結(jié)論.

1）CFRP斜拉索面內(nèi)強(qiáng)迫振動(dòng)亞諧波共振的振幅雖然相對(duì)主共振時(shí)有一定程度的增加，但相對(duì)于參強(qiáng)共振時(shí)的情況，亞諧波共振危險(xiǎn)性有可能和主共振為同一個(gè)量級(jí).

2）通過對(duì)CFRP斜拉索面內(nèi)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分叉行為分析，系統(tǒng)具有非常豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性：觀察到了由倍周期分叉進(jìn)入混沌的現(xiàn)象，最后混沌運(yùn)動(dòng)突然轉(zhuǎn)變?yōu)殡p周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃苓\(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象.

3）當(dāng)激勵(lì)頻率不變時(shí)，激勵(lì)幅值越大，對(duì)應(yīng)同一激勵(lì)頻率區(qū)間系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可能會(huì)越來越復(fù)雜，同一激勵(lì)頻率下的單周期運(yùn)動(dòng)可能變?yōu)殡p周期多周期甚至是混沌運(yùn)動(dòng).

4）在同一激勵(lì)頻率下，隨著激勵(lì)幅值的增大，CFRP斜拉索的響應(yīng)幅值并不一定隨著增大，可能在某一區(qū)間段響應(yīng)幅值越來越小，最后可能通過跳躍行為，響應(yīng)幅值突然有超過100%的增加.

5）亞諧波共振時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的增加，發(fā)現(xiàn)CFRP斜拉索通過雙周期分叉使響應(yīng)幅值發(fā)生跳躍的現(xiàn)象，最后又轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃芷诜€(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).

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5）亞諧波共振時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的增加，發(fā)現(xiàn)CFRP斜拉索通過雙周期分叉使響應(yīng)幅值發(fā)生跳躍的現(xiàn)象，最后又轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃芷诜€(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).

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5）亞諧波共振時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的增加，發(fā)現(xiàn)CFRP斜拉索通過雙周期分叉使響應(yīng)幅值發(fā)生跳躍的現(xiàn)象，最后又轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃芷诜€(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).

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