洪若詩，黃小燕

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東潮州 521041）

1 引言與預(yù)備知識(shí)

眾所周知，Hausdorff 測度理論是分形幾何的理論基礎(chǔ)，因此如何計(jì)算或估計(jì)分形集的Hausdorff測度是個(gè)十分重要的問題．近年來，許多作者都致力于一類自相似集的Hausdorff 測度的準(zhǔn)確值的研究，得到了很多有價(jià)值的成果，見文獻(xiàn)[1-10]．文獻(xiàn)[1]研究了由如下5個(gè)相似壓縮

確定的自相似集，得到了該自相似集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值，即

命題A 設(shè)E 是由上述迭代函數(shù)系{ f1，f2，f3，f4，f5} 確定的自相似集，記則

為證明命題A，文獻(xiàn)[1]利用了如下引理．

事實(shí)上，引理A中的不等式（1）不成立，因而命題A的結(jié)論不可靠．本文旨在進(jìn)一步研究這些問題．首先建立一些新的不等式，然后在此基礎(chǔ)上利用文獻(xiàn)[10]給出的一個(gè)基本結(jié)論，計(jì)算出上述自相似集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值．

下面給出計(jì)算自相似集的Hausdorff測度準(zhǔn)確值的一個(gè)基本結(jié)論．

引理1[10]設(shè)E ?Rn是由相似壓縮{ }S1,???,Sm所確定的滿足開集條件的自相似集，dimHE=s，且壓縮比相等(c1=c2=???=cm=c)，則.若存在正整數(shù)k0與N0()以及某k0級(jí)拷貝串（即N0個(gè)ck0-E 之并），使得，對任意k ≥0，N()1 ≤N ≤mk，以及任意表示的任意N個(gè)級(jí)拷貝串之并），則

2 主要結(jié)果

為了得到命題A所討論的自相似集的Hausdorff測度的準(zhǔn)確值，首先給出兩個(gè)有用的引理.

證明 令

則

又

故

成立.

引理3 設(shè)n ≥3，s=log75，則以下不等式成立：

證明 令

則

故（i）成立.

（i）與（iii）的證明方法同（1），從略.

定理1 設(shè)E 是命題A中迭代函數(shù)系{ f1，f2，f3，f4，f5} 所確定的自相似集，則

證明 下面驗(yàn)證自相似集E 滿足引理1的條件.

首先，取k0=2，N0=19，于是

下證，對任意k 及N(1 ≤N ≤5k)有

當(dāng)k=1時(shí)，

若N=1，則

若N=2，則

若N=3，則

若N=4，則

若N=5，則

所以，當(dāng)k=1時(shí)，（1）式成立.

假設(shè)對于正整數(shù)k 以及任意正整數(shù)N(1 ≤N ≤5k)，（1）式成立，則對于正整數(shù)k+1：

當(dāng)N=5n-1時(shí)，

由引理2可得

當(dāng)N=5n-2 時(shí)，

當(dāng)N=5n-3 時(shí)，

由引理3（ii）可得

當(dāng)N=5n-4 時(shí)，

由引理3（iii）可得

因此，對任意正整數(shù)N(1 ≤N ≤5k)，有成立.

[1]殷峰麗．一個(gè)特殊的自相似集的Hausdorff測度[J]．周口師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，31（2）：14-17.

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