高中數(shù)學以集合與函數(shù)為預備性知識，以研究基本初等函數(shù)的性質(zhì)為載體，在具體的問題解決過程中滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想，在此基礎上逐步展現(xiàn)探索更一般的函數(shù)性質(zhì)與圖像的方法系統(tǒng)——導數(shù)。導數(shù)的引入既是對研究函數(shù)性質(zhì)方法體系的完善，更是對前期數(shù)形結合、分類討論思想綜合應用能力的提升.

一、從幾何意義感知導數(shù)的概念

高中數(shù)學教材不追求導數(shù)概念的嚴密性，僅僅從感性理解的層次將函數(shù)f（x）在點P（x0，y0）處的導數(shù)f′（x0）描述為“f（x）在P點處的瞬時變化率”，其幾何意義為“函數(shù)圖像上P點處切線的斜率”，由此，導數(shù)應用最基本的問題是求曲線在某點處的切線.值得注意的是：“f（x）在P點處的切線”與“f（x）過P點的切線”具有不同的含義；此外解析幾何中的切線與曲線常常只有一個交點，y=sinx與其在原點處的切線y=x也只有一個交點，但y=sinx在點（π2，1）處的切線y=1與y=sinx圖像的交點并不唯一，由此，函數(shù)的切線與函數(shù)圖像的交點個數(shù)不存在一般性的結論，這一點必須在具體函數(shù)性質(zhì)的研究過程中逐步領會.

例1求f（x）=x3-2x+3過P（1，2）的切線方程.

分析：一般分類為“P是切點”和“P不是切點”，本題P點在f（x）圖像上，即切點（x0，x30-2x0+3）包含了P（1，2），故無需分類.

設切線l：y-x30+2x0-3=f′（x0）（x-x0），l過P，故2x30-3x20+1=0，因為該方程必有一個根為x0=1，因而左式必有因式x0-1 ①

∴（x0-1）2（2x0+1）=0，得切點P（1，2）或Q（-12，318），

∴切線為y=x+1和y=-54x+134.

根據(jù)導數(shù)的幾何意義，一個切點對應唯一的一條切線.本題步驟①運用了代數(shù)學基本定理，分解因式是難點，也是求切點的關鍵所在.

例2已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和“偽二次函數(shù)”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）.

（1）任取f（x）上兩點A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB中點為C（x0，y0）.f（x）在x=x0處切線是否平行于直線AB？說明理由.

（2）“偽二次函數(shù)”g（x）=ax2+bx+clnx是否有與（1）同樣的性質(zhì)？證明你的結論.

分析：（1）直線AB的斜率k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x1+x2）+b，f（x）在x=x0處的切線斜率為f′（x0）=2ax0+b，∵x0=x1+x22，∴f′（x0）=k恒成立，即x=x0處f（x）的切線總與AB平行.

（2）g′（x0）=2ax0+b+cx0，對x1>0，x2>0，若g（x）有同樣性質(zhì)，

AB的斜率k=g（x1）-g（x2）x1-x2=a（x1+x2）+b+clnx1-lnx2x1-x2，∵x0=x1+x22，

∴2x1+x2=lnx1-lnx2x1-x2恒成立，取x1=1，x2=e，∴21+e=1e-1，∴e=3不成立.故偽二次函數(shù)g（x）不具有（1）同樣的性質(zhì).

若從正面入手，將等式變形為

lnx1x2=2（x1-x2）x1+x2=2·x1x2-1x1x2+1

不妨設x1>x2>0，令t=x1x2>0，則lnt=2·t-1t+1.

構造函數(shù)g（t）=lnt-2·t-1t+1（t>1）

g′（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t·（t+1）2≥0

∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則g（t）>g（1）

而g（1）=0，∴l(xiāng)nt>2·t-1t+1.所以等式不成立，即不具備與（1）同樣的性質(zhì).

如上所說，應用導數(shù)探究函數(shù)性質(zhì)是對基本初等函數(shù)研究方法的補充與完善，知識的承繼決定了方法的延續(xù)，基本初等函數(shù)性質(zhì)及其研究方法與導數(shù)并非對立而恰恰是辯證統(tǒng)一的知識體系.例2中取x1=1，x2=e反映了y=lnx圖像的基本特征：過（1，0）點和（e，1）點.

二、從“變化率”感悟?qū)?shù)的應用

函數(shù)歸根到底是從變量x到y(tǒng)的對應，而圖像是實數(shù)對（x，y）對應點的集合，由此，函數(shù)的性質(zhì)總是指向“如何變化”——變化的范圍（定義域、值域）、變化的趨勢（單調(diào)性、漸近線等）、變化的特征（對稱性、周期性、零點等）構成了研究函數(shù)的三個基本方面，高中關于導數(shù)的應用側重于單調(diào)性、極值與最值.函數(shù)f（x）的性質(zhì)與其導函數(shù)f′（x）的關系包括：①f（x）的極值點與f′（x）的零點的關系；②不等式f′（x）≥0（≤0）的解集與f（x）單調(diào)區(qū)間的關系.關系①表明f（x）的極值問題最終歸結為方程解的討論，而關系②說明單調(diào)性與解不等式密切相關.特別值得注意的是，f（x）本身的特征性性質(zhì)常常是簡化討論的切入點.

1.盡量運用基本函數(shù)及其特征性質(zhì)優(yōu)化討論過程

函數(shù)的特征性質(zhì)使得某一個確定的函數(shù)或某一類特定的函數(shù)區(qū)別于其他函數(shù)，因而常常是優(yōu)化思維的切入點，上述例2提供了一個典型案例.2013江蘇高考20（2）：“g（x）=ex-ax在（-1，+∞）遞增，討論f（x）=lnx-ax的零點個數(shù)”.這個問題中g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，故a≤1e.

分析Ⅰ：由f′（x）=1x-a=1-axx，（1）a=0，f（x）=lnx；（2）a<0，∵f′（x）>0恒成立，f（x）對x>0遞增；（3）0

分析Ⅱ：f（x）為隨著a變化的動曲線，變形得a=lnxx，f（x）零點個數(shù)即動直線y=a與定曲線h（x）=lnxx（x>0圖像的交點個數(shù).由h′（x）=1-lnxx2知h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）的最大值h（e）=1e>0，又h（1）=0，∴00，結合圖像得：a≤0或a=1e時，f（x）有1個零點，0

對數(shù)函數(shù)y=logax的特征性質(zhì)包括過點（1，0）和（a，1）、以x，y軸為漸近線；類比探求h（x）的漸近線保證了本題過程的嚴謹性.特別地，方程解的討論一般有三種方法：（1）解方程；（2）運用一條曲線的圖像；（3）構造盡可能簡化的定曲線、動直線（通俗說法為“分離參數(shù)”），上述分析Ⅱ明顯簡化了討論環(huán)節(jié).反思2014江蘇高考19（3），尋求特征性質(zhì)同樣會使問題簡化：

已知a>12（e+1e），試比較ae-1和ea-1的大小，即比較（e-1）lna和（a-1）lne.令g（a）=a-1-（e-1）lna，顯然有定值點g（1）=0，g（e）=0 ①，這是本題關鍵！

求導可知g（a）在[e-1，+∞）遞增，在（0，e-1]遞減②.

綜合①②作出g（a）圖像，a=e，g（a）=0；a>e，g（a）>0；e>a>12（e+1e），g（a）<0.

故a=e時ea-1=ae-1；a>e時ea-1>ae-1，e>a>12（e+1e）時ea-1

2.對比函數(shù)與導函數(shù)的圖像確定分類討論的依據(jù)

極值點與導數(shù)的關系為：x=x0為f（x）的極值點，則f′（x0）=0，反之，f′（x0）=0且f（x）在x0兩側具有相反的單調(diào)性時f（x0）才稱為f（x）的極值，典型的函數(shù)是f（x）=x3，f′（0）=0，但f（x）=x3沒有極值.極值是否最大（?。┲祵Σ煌暮瘮?shù)沒有統(tǒng)一的結論，有極值的函數(shù)未必有最值，有最值的函數(shù)也未必有極值.由于單調(diào)區(qū)間直接表現(xiàn)為不等式f′（x0）≥0或f′（x0）≤0的解集，從幾何意義理解，f（x）的單調(diào)區(qū)間與導函數(shù)圖像位于x軸上方還是下方直接相關，因此，在同一坐標系中作出f（x）和f′（x）的圖像是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性及其極值的有效方法.

例3已知函數(shù)f（x）=（m-3）x3+9x.

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為4，求m的值.

分析：（1）f′（x）=3（m-3）x2+9，對于二次函數(shù)，與坐標軸的交點常常是解題的關鍵.∵f′（0）=9>0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上只能是單調(diào)增函數(shù).

由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，故m的取值范圍是[3，+∞）.

（2）討論f′（x）圖像開口，當m≥3時，f（x）在[1，2]遞增，∴[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，得m=54，舍去.

當m<3時，f′（x）=3（m-3）x2+9=0的零點為x=±33-m.由f′（x）圖像知

f（x）在（-∞，-33-m）上單調(diào)減，在（-33-m，33-m）上單調(diào)增，在（33-m，+∞）上單調(diào)減.

①當33-m≥2，即94≤m<3時，[1，2]（-33-m，33-m]，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，舍去.

②當1<33-m<2，即0

③當33-m≤1，即m≤0時，[1，2]（33-m，+∞]，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，

[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.

對于任何函數(shù)的最值問題，優(yōu)先考慮函數(shù)是否單調(diào)是最基本的思路；對于給定區(qū)間A上f（x）的極值或最值問題，基本情形是A為某一個單調(diào)區(qū)間的子集，其次是A包含在兩個或多個相鄰的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣的分類可由f′（x）的圖像，根據(jù)f′（x）值的正負判斷f（x）的增減性繼而作出f（x）圖像——數(shù)形結合是研究一切函數(shù)性質(zhì)的基礎.就江蘇高考而言，與函數(shù)單調(diào)性相關的討論難點一般歸結為一元二次不等式解的討論.

3.拓展問題：運用二分法探求極值點的分布

探求極值點的關鍵是討論方程f′（x）=0的解，對于方程無法直接求解的問題，教材介紹了“二分法”，這為此類問題提供了新的思路.

例4已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），x∈R時其導函數(shù)為f′（x）.

（1）當a=13時，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）>0成立，求b的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個極值點.

分析：（1）當a=13時，f′（x）=x2+2bx+b-13=（x+b）2-b2+b-13，存在性問題常用“補集法”：若x∈[-3，-1]，f′（x）≤0恒成立，因為f′（x）為開口向上，

f′（x）≤0f′（-3）≤0，f′（-1）≤0b≥2615，

∴b∈（-∞，2615）為所求.

（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），

①當a=0時，f′（x）=2bx+b，x=-12為f（x）極值點.

②當a≠0時，令t=ba，f′（x）=0即h（x）=3x2+2tx+（t-1）=0，由于無法分解因式，討論Δ用求根公式將陷入繁瑣的運算.由h（-1）=2-t，h（0）=t-1.

因為h（-12）=-14<0，當t≤1時，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在（-1，-12）內(nèi)有零點.f′（x）在（-1，-12）內(nèi)必有極值點.

當t>1時，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在（-12，0）內(nèi)有零點.f（x）在（-12，0）內(nèi)有極值點.故函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個極值點.

綜上所述，導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運用分為與切線有關的基本問題和與單調(diào)性相關的重點問題，最終指向為導函數(shù)的性質(zhì)探究，包括零點分布及與之相關的不等式問題.導函數(shù)的性質(zhì)基于基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其研究方法，無論是導函數(shù)還是原函數(shù)，優(yōu)先考慮其特征性性質(zhì)并靈活運用數(shù)形結合的思想，合理轉(zhuǎn)化、優(yōu)化分類討論的過程是簡捷嚴謹解決相關問題的關鍵所在.

（作者：吉冬林，江蘇省邗江中學）

對數(shù)函數(shù)y=logax的特征性質(zhì)包括過點（1，0）和（a，1）、以x，y軸為漸近線；類比探求h（x）的漸近線保證了本題過程的嚴謹性.特別地，方程解的討論一般有三種方法：（1）解方程；（2）運用一條曲線的圖像；（3）構造盡可能簡化的定曲線、動直線（通俗說法為“分離參數(shù)”），上述分析Ⅱ明顯簡化了討論環(huán)節(jié).反思2014江蘇高考19（3），尋求特征性質(zhì)同樣會使問題簡化：

已知a>12（e+1e），試比較ae-1和ea-1的大小，即比較（e-1）lna和（a-1）lne.令g（a）=a-1-（e-1）lna，顯然有定值點g（1）=0，g（e）=0 ①，這是本題關鍵！

求導可知g（a）在[e-1，+∞）遞增，在（0，e-1]遞減②.

綜合①②作出g（a）圖像，a=e，g（a）=0；a>e，g（a）>0；e>a>12（e+1e），g（a）<0.

故a=e時ea-1=ae-1；a>e時ea-1>ae-1，e>a>12（e+1e）時ea-1

2.對比函數(shù)與導函數(shù)的圖像確定分類討論的依據(jù)

極值點與導數(shù)的關系為：x=x0為f（x）的極值點，則f′（x0）=0，反之，f′（x0）=0且f（x）在x0兩側具有相反的單調(diào)性時f（x0）才稱為f（x）的極值，典型的函數(shù)是f（x）=x3，f′（0）=0，但f（x）=x3沒有極值.極值是否最大（?。┲祵Σ煌暮瘮?shù)沒有統(tǒng)一的結論，有極值的函數(shù)未必有最值，有最值的函數(shù)也未必有極值.由于單調(diào)區(qū)間直接表現(xiàn)為不等式f′（x0）≥0或f′（x0）≤0的解集，從幾何意義理解，f（x）的單調(diào)區(qū)間與導函數(shù)圖像位于x軸上方還是下方直接相關，因此，在同一坐標系中作出f（x）和f′（x）的圖像是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性及其極值的有效方法.

例3已知函數(shù)f（x）=（m-3）x3+9x.

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為4，求m的值.

分析：（1）f′（x）=3（m-3）x2+9，對于二次函數(shù)，與坐標軸的交點常常是解題的關鍵.∵f′（0）=9>0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上只能是單調(diào)增函數(shù).

由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，故m的取值范圍是[3，+∞）.

（2）討論f′（x）圖像開口，當m≥3時，f（x）在[1，2]遞增，∴[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，得m=54，舍去.

當m<3時，f′（x）=3（m-3）x2+9=0的零點為x=±33-m.由f′（x）圖像知

f（x）在（-∞，-33-m）上單調(diào)減，在（-33-m，33-m）上單調(diào)增，在（33-m，+∞）上單調(diào)減.

①當33-m≥2，即94≤m<3時，[1，2]（-33-m，33-m]，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，舍去.

②當1<33-m<2，即0

③當33-m≤1，即m≤0時，[1，2]（33-m，+∞]，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，

[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.

對于任何函數(shù)的最值問題，優(yōu)先考慮函數(shù)是否單調(diào)是最基本的思路；對于給定區(qū)間A上f（x）的極值或最值問題，基本情形是A為某一個單調(diào)區(qū)間的子集，其次是A包含在兩個或多個相鄰的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣的分類可由f′（x）的圖像，根據(jù)f′（x）值的正負判斷f（x）的增減性繼而作出f（x）圖像——數(shù)形結合是研究一切函數(shù)性質(zhì)的基礎.就江蘇高考而言，與函數(shù)單調(diào)性相關的討論難點一般歸結為一元二次不等式解的討論.

3.拓展問題：運用二分法探求極值點的分布

探求極值點的關鍵是討論方程f′（x）=0的解，對于方程無法直接求解的問題，教材介紹了“二分法”，這為此類問題提供了新的思路.

例4已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），x∈R時其導函數(shù)為f′（x）.

（1）當a=13時，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）>0成立，求b的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個極值點.

分析：（1）當a=13時，f′（x）=x2+2bx+b-13=（x+b）2-b2+b-13，存在性問題常用“補集法”：若x∈[-3，-1]，f′（x）≤0恒成立，因為f′（x）為開口向上，

f′（x）≤0f′（-3）≤0，f′（-1）≤0b≥2615，

∴b∈（-∞，2615）為所求.

（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），

①當a=0時，f′（x）=2bx+b，x=-12為f（x）極值點.

②當a≠0時，令t=ba，f′（x）=0即h（x）=3x2+2tx+（t-1）=0，由于無法分解因式，討論Δ用求根公式將陷入繁瑣的運算.由h（-1）=2-t，h（0）=t-1.

因為h（-12）=-14<0，當t≤1時，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在（-1，-12）內(nèi)有零點.f′（x）在（-1，-12）內(nèi)必有極值點.

當t>1時，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在（-12，0）內(nèi)有零點.f（x）在（-12，0）內(nèi)有極值點.故函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個極值點.

綜上所述，導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運用分為與切線有關的基本問題和與單調(diào)性相關的重點問題，最終指向為導函數(shù)的性質(zhì)探究，包括零點分布及與之相關的不等式問題.導函數(shù)的性質(zhì)基于基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其研究方法，無論是導函數(shù)還是原函數(shù)，優(yōu)先考慮其特征性性質(zhì)并靈活運用數(shù)形結合的思想，合理轉(zhuǎn)化、優(yōu)化分類討論的過程是簡捷嚴謹解決相關問題的關鍵所在.

（作者：吉冬林，江蘇省邗江中學）

對數(shù)函數(shù)y=logax的特征性質(zhì)包括過點（1，0）和（a，1）、以x，y軸為漸近線；類比探求h（x）的漸近線保證了本題過程的嚴謹性.特別地，方程解的討論一般有三種方法：（1）解方程；（2）運用一條曲線的圖像；（3）構造盡可能簡化的定曲線、動直線（通俗說法為“分離參數(shù)”），上述分析Ⅱ明顯簡化了討論環(huán)節(jié).反思2014江蘇高考19（3），尋求特征性質(zhì)同樣會使問題簡化：

已知a>12（e+1e），試比較ae-1和ea-1的大小，即比較（e-1）lna和（a-1）lne.令g（a）=a-1-（e-1）lna，顯然有定值點g（1）=0，g（e）=0 ①，這是本題關鍵！

求導可知g（a）在[e-1，+∞）遞增，在（0，e-1]遞減②.

綜合①②作出g（a）圖像，a=e，g（a）=0；a>e，g（a）>0；e>a>12（e+1e），g（a）<0.

故a=e時ea-1=ae-1；a>e時ea-1>ae-1，e>a>12（e+1e）時ea-1

2.對比函數(shù)與導函數(shù)的圖像確定分類討論的依據(jù)

極值點與導數(shù)的關系為：x=x0為f（x）的極值點，則f′（x0）=0，反之，f′（x0）=0且f（x）在x0兩側具有相反的單調(diào)性時f（x0）才稱為f（x）的極值，典型的函數(shù)是f（x）=x3，f′（0）=0，但f（x）=x3沒有極值.極值是否最大（小）值對不同的函數(shù)沒有統(tǒng)一的結論，有極值的函數(shù)未必有最值，有最值的函數(shù)也未必有極值.由于單調(diào)區(qū)間直接表現(xiàn)為不等式f′（x0）≥0或f′（x0）≤0的解集，從幾何意義理解，f（x）的單調(diào)區(qū)間與導函數(shù)圖像位于x軸上方還是下方直接相關，因此，在同一坐標系中作出f（x）和f′（x）的圖像是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性及其極值的有效方法.

例3已知函數(shù)f（x）=（m-3）x3+9x.

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為4，求m的值.

分析：（1）f′（x）=3（m-3）x2+9，對于二次函數(shù)，與坐標軸的交點常常是解題的關鍵.∵f′（0）=9>0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上只能是單調(diào)增函數(shù).

由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，故m的取值范圍是[3，+∞）.

（2）討論f′（x）圖像開口，當m≥3時，f（x）在[1，2]遞增，∴[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，得m=54，舍去.

當m<3時，f′（x）=3（m-3）x2+9=0的零點為x=±33-m.由f′（x）圖像知

f（x）在（-∞，-33-m）上單調(diào)減，在（-33-m，33-m）上單調(diào)增，在（33-m，+∞）上單調(diào)減.

①當33-m≥2，即94≤m<3時，[1，2]（-33-m，33-m]，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，舍去.

②當1<33-m<2，即0

③當33-m≤1，即m≤0時，[1，2]（33-m，+∞]，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，

[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.

對于任何函數(shù)的最值問題，優(yōu)先考慮函數(shù)是否單調(diào)是最基本的思路；對于給定區(qū)間A上f（x）的極值或最值問題，基本情形是A為某一個單調(diào)區(qū)間的子集，其次是A包含在兩個或多個相鄰的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣的分類可由f′（x）的圖像，根據(jù)f′（x）值的正負判斷f（x）的增減性繼而作出f（x）圖像——數(shù)形結合是研究一切函數(shù)性質(zhì)的基礎.就江蘇高考而言，與函數(shù)單調(diào)性相關的討論難點一般歸結為一元二次不等式解的討論.

3.拓展問題：運用二分法探求極值點的分布

探求極值點的關鍵是討論方程f′（x）=0的解，對于方程無法直接求解的問題，教材介紹了“二分法”，這為此類問題提供了新的思路.

例4已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），x∈R時其導函數(shù)為f′（x）.

（1）當a=13時，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）>0成立，求b的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個極值點.

分析：（1）當a=13時，f′（x）=x2+2bx+b-13=（x+b）2-b2+b-13，存在性問題常用“補集法”：若x∈[-3，-1]，f′（x）≤0恒成立，因為f′（x）為開口向上，

f′（x）≤0f′（-3）≤0，f′（-1）≤0b≥2615，

∴b∈（-∞，2615）為所求.

（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），

①當a=0時，f′（x）=2bx+b，x=-12為f（x）極值點.

②當a≠0時，令t=ba，f′（x）=0即h（x）=3x2+2tx+（t-1）=0，由于無法分解因式，討論Δ用求根公式將陷入繁瑣的運算.由h（-1）=2-t，h（0）=t-1.

因為h（-12）=-14<0，當t≤1時，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在（-1，-12）內(nèi)有零點.f′（x）在（-1，-12）內(nèi)必有極值點.

當t>1時，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在（-12，0）內(nèi)有零點.f（x）在（-12，0）內(nèi)有極值點.故函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個極值點.

綜上所述，導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運用分為與切線有關的基本問題和與單調(diào)性相關的重點問題，最終指向為導函數(shù)的性質(zhì)探究，包括零點分布及與之相關的不等式問題.導函數(shù)的性質(zhì)基于基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其研究方法，無論是導函數(shù)還是原函數(shù)，優(yōu)先考慮其特征性性質(zhì)并靈活運用數(shù)形結合的思想，合理轉(zhuǎn)化、優(yōu)化分類討論的過程是簡捷嚴謹解決相關問題的關鍵所在.

（作者：吉冬林，江蘇省邗江中學）