蔡吉花，唐光平，姚 君

( 1．黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱150022; 2．湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082)

馬爾可夫鏈的離散人口預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用

蔡吉花1，唐光平2，姚 君1

( 1．黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱150022; 2．湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082)

為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)我國(guó)未來(lái)人口發(fā)展趨勢(shì)，以我國(guó)近10年來(lái)人口數(shù)據(jù)為依據(jù)，對(duì)中國(guó)人口老齡化進(jìn)程加快的問(wèn)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。利用絕對(duì)分布的馬爾可夫鏈人口預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)了未來(lái)中國(guó)人口結(jié)構(gòu)，建立了基于模糊權(quán)馬爾可夫鏈人口預(yù)測(cè)模型，對(duì)人口出生率和死亡率以及人口總數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，同時(shí)檢驗(yàn)了這些預(yù)測(cè)模型的可靠性。最后討論了基于平穩(wěn)分布的人口結(jié)構(gòu)控制問(wèn)題。

人口結(jié)構(gòu);馬爾可夫鏈;模糊權(quán);人口預(yù)測(cè)

收稿日期: 2013-12-18
基金項(xiàng)目:黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目( 12521479)
第一作者簡(jiǎn)介:蔡吉花( 1963-)，女，黑龍江省尚志人，教授，碩士，研究方向:微分方程與隨機(jī)過(guò)程，E-mail: caijh2003@163．com。

0引言

馬爾可夫鏈模型是一種隨機(jī)預(yù)測(cè)模型，與其他統(tǒng)計(jì)方法不同，它不需要從復(fù)雜的預(yù)測(cè)因子中尋求各因素之間的相互規(guī)律，只需考慮事件本身歷史狀況的演變特點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)的變化趨勢(shì)[1]。國(guó)內(nèi)學(xué)者運(yùn)用馬爾可夫鏈模型對(duì)我國(guó)各地區(qū)的人均GDP的變化趨勢(shì)及房?jī)r(jià)指數(shù)、人均旅游消費(fèi)進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析。2011年，郭嗣琮等進(jìn)一步對(duì)模糊馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型作了探討。通過(guò)分析人口數(shù)據(jù)及歷史狀況的演變特點(diǎn)，馬爾可夫鏈模型可以應(yīng)用于建立離散人口預(yù)測(cè)模型。筆者利用我國(guó)近10年來(lái)人口數(shù)據(jù)，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，建立相應(yīng)的離散人口模型，并用Matlab軟件計(jì)算分析，修正模型，較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了我國(guó)未來(lái)人口問(wèn)題的發(fā)展趨勢(shì)，分析了人口老齡化發(fā)展進(jìn)程及控制問(wèn)題。

1基于馬爾科夫鏈的人口預(yù)測(cè)模型

1. 1絕對(duì)分布馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型

定義1[1]設(shè){ X}是隨機(jī)序列，狀態(tài)空間E =

n{ 1，2，…，N}，若P{ Xm + k=j Xm= i} = P(ijk)與m無(wú)關(guān)，稱{ Xn}為時(shí)齊的Markov鏈。其中p(ijk)叫由狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)k步到達(dá)狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率。P( k)= ( p(ijk))N×N叫k步轉(zhuǎn)移概率矩陣;當(dāng)k =1時(shí)，P( 1)簡(jiǎn)記為P，P為一步轉(zhuǎn)移概率pij所組成的矩陣，稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。k步轉(zhuǎn)移概率矩陣由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣得到，即P( k)= Pk。

定義2 Markov鏈{ Xn}初始時(shí)刻各狀態(tài)的概率P{ X0= i} = pi( i∈E)，稱為初始分布;在時(shí)刻n ( n≥0)取各狀態(tài)的概率P{ Xn= i} = p(in)( i∈E)，稱為絕對(duì)分布，且

稱π= (π1，π2，…，πN)為平穩(wěn)分布，式( 2)也可寫成矩陣形式:π=πP。

定理1對(duì)狀態(tài)有限的馬爾可夫鏈，如果存在k>0，使pij( k)>0，i，j =1，2，…，N，則此馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v性的[2]。

通過(guò)構(gòu)造馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣及初值分布，計(jì)算絕對(duì)分布及平穩(wěn)分布，對(duì)未來(lái)各狀態(tài)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測(cè)的模型稱為絕對(duì)分布馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型。

1. 2 人口生滅模型

定義4設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程{ X( t)，t≥0}的狀態(tài)空間為E = { 0，1，2，…}，轉(zhuǎn)移概率為pij( t)，如果則稱{ X( t)，t≥0}為生滅過(guò)程，λi為出生率，μi為死亡率。

運(yùn)用生滅過(guò)程建立的人口生滅模型可以簡(jiǎn)單地描述:

設(shè)λi為第i年的人口出生率，μi為第i年的人口死亡率，Si為第i年的人口數(shù)，S^i為第i年的預(yù)測(cè)人口數(shù)，用生滅鏈推導(dǎo)的人口數(shù)，有如下關(guān)系成立:

其中，λi和μi都不為0，式( 3)可用于中國(guó)人口總量的中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

1. 3模糊權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型

模糊權(quán)馬爾可夫鏈?zhǔn)歉倪M(jìn)的馬爾可夫鏈模型，其基本求解步驟:

( 1)馬爾可夫鏈的權(quán)重

首先計(jì)算指標(biāo)樣本序列的各階自相關(guān)系數(shù)

再將自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化

并將其作為各階馬爾可夫鏈的權(quán)重( m為需要計(jì)算的時(shí)滯數(shù))。

( 2)狀態(tài)的劃分

分五個(gè)步驟進(jìn)行:

①選擇統(tǒng)計(jì)指標(biāo)和標(biāo)定方法

設(shè)U = { u1，u2，…，un}為待分類的全體，ui表示第i個(gè)指標(biāo)，用rij表示指標(biāo)ui和uj的相似系數(shù)，0≤rij≤1 ( i，j =1，2，…，n)。rij計(jì)算常用絕對(duì)值減數(shù)法:

其中c適當(dāng)選取，使rij在[0，1]中且盡量分散，記模糊矩陣R = ( rij)。

②模糊聚類

對(duì)模糊矩陣R，用逐次平方法求出其傳遞閉包珚R為模糊等價(jià)矩陣，再選擇閥值λ，對(duì)U進(jìn)行分類[3]。在選擇一個(gè)閥值λ后，對(duì)傳遞閉包做如下處理:

③狀態(tài)劃分

U的分類數(shù)就是馬氏鏈的狀態(tài)數(shù)，同時(shí)還得到各指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)及具體劃分范圍。

④計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)各指標(biāo)所對(duì)應(yīng)狀態(tài)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算出一步以及多步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

⑤預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)

利用馬爾可夫鏈權(quán)重ωk，結(jié)合k轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測(cè)某年處于狀態(tài)i的概率值pi，

取max{ pi}的狀態(tài)i作為某年預(yù)測(cè)狀態(tài)[4]。通過(guò)對(duì)已知樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，檢驗(yàn)預(yù)測(cè)的效果。

2 模型應(yīng)用

將馬爾可夫鏈的預(yù)測(cè)模型應(yīng)用于中國(guó)人口指標(biāo)的預(yù)測(cè)，包括人口結(jié)構(gòu)、死亡率與出生率、人口總數(shù)預(yù)測(cè)及人口的控制。文中數(shù)據(jù)均來(lái)源于中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒人口各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)[5]。

2. 1絕對(duì)分布馬氏鏈的人口結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)

將人口按照0～14、15～34、35～49、50～64、65歲以上(對(duì)應(yīng)于1～5狀態(tài))來(lái)劃分，由2004～2009年各年齡段人口數(shù)據(jù)計(jì)算出各年齡段的人口所占比例，如表1所示。65歲及以上人口比例走勢(shì)圖如圖1所示。

表1中國(guó)2004～2009年人口年齡結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)Table 1 2004～2009 data of Chinese population age structure

圖1 各年份65歲及以上人口所占比例Fig．1 Each year proportion of population for 65 years old and above 65

2．1．1轉(zhuǎn)移概率矩陣

每相鄰兩年為一步，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算方法如下[6]:

( 1)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移只會(huì)發(fā)生于其本身和相鄰狀態(tài)之間，且是狀態(tài)i向狀態(tài)j( j≥i)轉(zhuǎn)移;

( 2)在相同狀態(tài)i下，若n + 1年比n年的數(shù)據(jù)比例升高了，則記為pii= 1，而pij= 0，j = 1，2，…，5 ( j≠i) ;

( 3)在相同狀態(tài)i下，若n + 1年比n年的數(shù)據(jù)比例下降了，則pii應(yīng)該為n + 1年的比例與n年的比例的商值，而pi，i +1的值恰等于1-pii，pij= 0，j = 1，2，…，5( j≠i，i +1) ;

( 4)在n年到n +1年的過(guò)程中，若有狀態(tài)i-1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i的數(shù)據(jù)發(fā)生，則計(jì)算狀態(tài)i的轉(zhuǎn)移概率時(shí)，應(yīng)考慮加進(jìn)狀態(tài)i-1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i的數(shù)據(jù)部分，并加到計(jì)算比值的分母部分;

( 5)若狀態(tài)5轉(zhuǎn)移的部分不是全發(fā)生在本狀態(tài)，且同年?duì)顟B(tài)1的比例比前一年增加了，則記狀態(tài)1增加的比例為狀態(tài)5轉(zhuǎn)移出的數(shù)據(jù)部分，依此類推。

按此轉(zhuǎn)移概率計(jì)算方法，則2004～2005年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

同樣，計(jì)算2005～2006、2006～2007、2007～2008、2008～2009年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分別記為P2、P3、P4、P5。為了消除樣本隨機(jī)性影響，更好地描述狀態(tài)規(guī)律，在此取P1、P2、P3、P4、P5的平均值作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P:

2．1．2遍歷性與平穩(wěn)分布

利用Matlab軟件計(jì)算P14，其所有元素p(ij1

4)都大于0，該過(guò)程具有遍歷性。

設(shè){πj，j∈I}是該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，則由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣式( 8)，可建立如下方程組，

解上述方程組，得平穩(wěn)分布:

π1=0. 102 8，π2=0．070 8，π3=0．086 0，π4=0．192 2，π5=0．548 2。

說(shuō)明按照現(xiàn)行人口政策長(zhǎng)此以往，中國(guó)人口的年齡結(jié)構(gòu)比例中老年人口將達(dá)到54. 82%。

2．1．3人口年齡結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)

采用2007～2009年這三年各年齡段所占比例的均值作為初始概率分布:

P( 0) = ( 17. 356 7 28. 263 3 26. 213 3 18. 630 0 9. 536 7)λ0。

利用式( 1)求絕對(duì)分布律，即把2009年作為初始年份，經(jīng)過(guò)n年的人口結(jié)構(gòu)分布記為

λn=λ0Pn。

2010～2012年的人口年齡構(gòu)成進(jìn)行預(yù)測(cè):

λ2010=λ0P( 16. 908 3 27. 581 8 26. 493 0 19. 244 8 9. 772 1)，

λ2011=λ0P2= ( 16. 474 1 26. 915 8 26. 734 5 19. 859 8 10. 015 7)，

λ2012=λ0P3= ( 16．053 8 26．265 2 26．939 9 20．473 6 10．267 5)。

這個(gè)計(jì)算結(jié)果與2010、2011、2012年人口年齡構(gòu)成實(shí)際值基本吻合。

同理，經(jīng)過(guò)20年、30年、50年、100年的人口年齡構(gòu)成如下:

λ20=λ0P20= ( 10．713 2 17．317 7 26．464 8 29．826 7 15．677 7)，

λ30=λ0P30= ( 8．830 5 13．630 5 24．199 6 33．721 6 19．617 9)，

λ50=λ0P50= ( 6．918 2 8．817 1 18．635 3 37．496 8 28．132 6)。

圖2 可以直觀地看出各年齡段人口比例變化趨勢(shì)。從預(yù)測(cè)值分析得到，按照現(xiàn)行的人口政策，20、30年后，我國(guó)老年人口比例分別接近15%、20%; 50年后，老年人口比例占到近30%。我國(guó)人口老齡化進(jìn)程在不斷加快，這樣必然造成社會(huì)撫養(yǎng)系數(shù)過(guò)大，不利于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展。政府應(yīng)適當(dāng)調(diào)整人口政策，使人口結(jié)構(gòu)趨向合理。

圖2 2012～2112年各年齡段人口比例預(yù)測(cè)情況Fig．2 2012～2112 proportion of population forecast for all ages

2. 2模糊權(quán)馬爾可夫鏈的人口死亡率與出生率預(yù)測(cè)

利用表2數(shù)據(jù)對(duì)人口死亡率作模糊權(quán)馬爾可夫鏈的相關(guān)分析[7]。出生率預(yù)測(cè)方法類似得到。

表2 1981～2010年人口出生率和死亡率Table 2 1981～2010 birth rate and mortality rate %

2．2．1人口死亡率預(yù)測(cè)

人口死亡率的基本求解步驟為:

( 1)馬爾可夫鏈的權(quán)重

由表2和式( 4)求得人口死亡率序列的1～4階自相關(guān)系數(shù):

γ1=0．883 4，γ2=0．655 8，γ3=0．404 0，γ4=0．028 9。再由規(guī)范化式( 5)得到各階馬爾可夫鏈權(quán)重:

ω1=0．447 9，ω2=0．332 5，ω3=0．204 9，ω4=0．014 7。

( 2)模糊聚類

設(shè)U = { u1，u2，u3，…，u28，u29，u30}表示1981～2010年死亡率。由絕對(duì)值減數(shù)法( 6)，取l = 1，c = 1．3，有rij=1-1．3× xi-xj，得到30階模糊相似矩陣R = ( rij)30×30，再計(jì)算R的傳遞閉包珚R，得

選擇閥值λ，求矩陣Rλ，并按Rλ將U分成若干個(gè)等價(jià)類。當(dāng)λ= 0．80，將U分為一類;當(dāng)λ= 0．92，將U分為兩類，即{ u1，u2，u3，…，u25，u26，u27} 和{ u28，u29，u30} ;當(dāng)λ= 0．94，U分為三類，即{ u1，u2，u7，u8，u9，u10，u11，u12，u13，u14，u15，u16，u17，u18，u19，u20，u21，u22，u23，u24，u25}、{ u3，u4，u5，u6，u26， u27}、{ u28，u29，u30} ;當(dāng)λ= 0．96時(shí)，可將U分為七類。經(jīng)計(jì)算分析后可以得到，當(dāng)λ=0．94，將U分為三類時(shí)比較合理。

( 3)狀態(tài)劃分

U分為三類時(shí)對(duì)應(yīng)的馬爾可夫鏈取1、2、3三個(gè)狀態(tài)，由表2的數(shù)據(jù)，可以劃分各狀態(tài)對(duì)應(yīng)的死亡率區(qū)間分別為ui<0．675%、0．675%≤ui≤0．700%和ui>0．700%。

( 4)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)各年份對(duì)應(yīng)狀態(tài)，求得死亡率的1步到4步轉(zhuǎn)移概率矩陣

( 5)預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)

首先預(yù)測(cè)2011年的人口死亡率。由以上各步轉(zhuǎn)移概率及式( 7)，預(yù)測(cè)情況如表3。

表3 2011年死亡率的加權(quán)預(yù)測(cè)值Table 3 2011 weighted prediction of mortality rate

表3的最后一行是加權(quán)求和的結(jié)果，其中狀態(tài)3的概率最大為0. 991 3，說(shuō)明2011年人口死亡率狀態(tài)等級(jí)為3，死亡率≥0．700%與2011年實(shí)際人口死亡率0．714%相符合。由這個(gè)預(yù)測(cè)值進(jìn)一步預(yù)測(cè)2011年之后的死亡率情況表4，可以得到未來(lái)三年死亡率都在0．700%以上。

表4 2011年之后三年內(nèi)死亡率預(yù)測(cè)值Table 4 Predictive value of mortality rate within three years after 2011

2．2．2人口出生率預(yù)測(cè)

類似死亡率預(yù)測(cè)方法，計(jì)算得到: ( 1)出生率的各階馬爾可夫鏈權(quán)重

ω1=0.266 7，ω2=0.254 6，ω3=0.245 1，ω4=0.233 6。

( 2)模糊聚類

記V = { v1，v2，v3，…，v28，v29，v30}表示1981～2010年人口出生率。利用rij= 1-0. 08× xixj，求得珚R = R16。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)λ= 0. 94時(shí)，V分為五類，即{ v7}、{ v1，v2，v3，v4，v5，v6，v8，v9，v10，v11}、{ v12，v13，v14，v15，v16，v17}、{ v18}和{ v19，v20，…，v29，v30}。

( 3)狀態(tài)的分類及轉(zhuǎn)移概率矩陣

對(duì)應(yīng)的馬爾可夫鏈的五個(gè)狀態(tài)記為1、2、3、4、5，根據(jù)表2得到各狀態(tài)出生率對(duì)應(yīng)區(qū)間分別為vi>2．250%、1．950%

( 4)預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)

利用出生率的各步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及式( 7)，預(yù)測(cè)2011、2012、2013、2014年的人口出生率均為≤1．500%，處于狀態(tài)5，與2011、2012年人口出生率實(shí)際值相符。

2. 3生滅鏈的人口總數(shù)預(yù)測(cè)

運(yùn)用人口生滅模型( 3) : S^i +1= Si( 1 +λi +1-μi +1)，預(yù)測(cè)2010年和2011年人口總數(shù)為:

S^

2010=134 090萬(wàn)人，S^2011=134 730萬(wàn)人。而人口調(diào)查實(shí)際值為S2010= 134 091萬(wàn)人，S2011= 134 735萬(wàn)人，誤差率分別為1. 323×10-5( 2010 年)，1. 265×10-5( 2011年)，預(yù)測(cè)效果較好。根據(jù)前面預(yù)測(cè)的2012、2013年死亡率μi≥0．700%，出生率λi≤1．500%相關(guān)數(shù)據(jù)[8]，預(yù)測(cè)2012年、2013年人口總數(shù)值為:

S^

2012≤135 810萬(wàn)人，S^2013≤135 816萬(wàn)人。

按照此方法，可以繼續(xù)預(yù)測(cè)2014年之后的人口數(shù)范圍。利用預(yù)測(cè)的人口總數(shù)及結(jié)合2. 1中預(yù)測(cè)的人口結(jié)構(gòu)比例，可得到相應(yīng)各年齡段的人口數(shù)。

3基于理想人口結(jié)構(gòu)的人口控制

人口結(jié)構(gòu)的自我控制是指既要抑制人口增長(zhǎng)過(guò)快的趨勢(shì)，又要使人口的年齡結(jié)構(gòu)有一個(gè)合理的分布，使未來(lái)人口年齡結(jié)構(gòu)珔a*更合理且穩(wěn)定的增長(zhǎng)趨勢(shì)。從現(xiàn)在的人口結(jié)構(gòu)出發(fā)[9]，讓各狀態(tài)每年進(jìn)入下一狀態(tài)的人數(shù)在總進(jìn)入人數(shù)中的比例珋r依賴于時(shí)間t年，希望從現(xiàn)在的人口結(jié)構(gòu)出發(fā)，逐步調(diào)控珋r( t)盡快達(dá)到合理的人口結(jié)構(gòu)珔a*。人口年齡結(jié)構(gòu)的合理控制分析(不妨設(shè)人口狀態(tài)為五個(gè))，得到控制方程

其中r珋 = ( r1，r2，…，r5)，ri( i = 1，2，…，5)為每年進(jìn)入第i狀態(tài)的人數(shù)在總進(jìn)入人數(shù)中的比例，ri≥0且為合理的年齡結(jié)構(gòu); E為單位矩陣; Q = ( qij)為準(zhǔn)轉(zhuǎn)移陣( qij表示每年從i級(jí)轉(zhuǎn)到j(luò)級(jí)人數(shù)在i級(jí)總?cè)藬?shù)中的百分比) ; w珔 = ( w1，w2，…，w5)，wi為每年從第i級(jí)退出的比例，于是 。由于要求ri≥0，所以a珔( EQ)中的每一項(xiàng)即，因此對(duì)于珔a∈，j∈I}，由式( 9)找到r珋，可見(jiàn)合理的穩(wěn)定分布必須在集合A中。

取理想的人口結(jié)構(gòu)珔a = ( 0. 18，0. 24，0. 26，0. 24，0. 08)，由表1和表2數(shù)據(jù)及式( 9)計(jì)算得到: 珋r = ( 0. 236 8，0. 236 3，0. 228 2，0. 196 8，0. 083 3)。這表明目前我國(guó)應(yīng)適當(dāng)加大生育比例，使0～14歲的人口比例要逐步增加到23. 6%。為使人口結(jié)構(gòu)能夠維持一個(gè)合理的穩(wěn)定水平，先從控制珋r = ( r1，r2，…，r5)開(kāi)始。2013年國(guó)家出臺(tái)生育二胎的政策會(huì)使未來(lái)中國(guó)人口結(jié)構(gòu)更趨于合理。

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(編輯 晁曉筠)

Markov chain-based discrete population prediction model and its application

CAI Jihua1，TANG Guangping2，YAO Jun1

( 1．School of Sciences，Heilongjiang University of Science&Technology，Harbin 150022，China; 2．School of Information Science&Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China)

Aimed at accurately predicting future demographic trends in China，this paper draws on population data in recent 10 years in our country and presents a statistical analysis of the accelerating process of China’s aging population，and a prediction of the future structure of China’s population using the population prediction model based on the absolute distribution Markov chain．And coupled with these is the development of a population projection model based on Fuzzy weighted Markov chain，the birth and death rates，on which to predict the total population and test the reliability of these prediction models．The paper ends with the discussion of the demographic control problem based on stationary distribution．

population structure; Markov chain; Fuzzy weights;population forecast

10. 3969/j．issn．2095-7262. 2014. 01. 024

O211. 6

2095-7262( 2014) 01-0108-07

A