張麗穎

(健雄職業(yè)技術(shù)學院軟件與服務(wù)外包學院，江蘇太倉215411)

詹姆斯·斯特林(James Stirling)于1730年給出了:n!～C·n(n+12)·e－n，并求出了近些年，Stirling公式還多次被推廣．其研究不斷地深入．

1999年，徐利治［1］給出了n!的二重級數(shù)表達式并推出其雙邊不等式為

2004年，匡繼昌［2］對Stirling公式做了進一步推演:

并指出，經(jīng)常使用的n!近似估計式有:

文獻［3］、［5］、［6］也對 Stirling公式進行了論證:

在文獻［3］中還有如下結(jié)果為

在文獻［4］中有如下結(jié)果:

kk函數(shù)的最大值．

將Stirling公式再進一步拓展，以期得到等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達式．

1 等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近

首先把Stirling公式中的自然數(shù)乘積n!=1·2…n拓展為等差數(shù)列乘積:

1．1 等差數(shù)列乘積的表達式

定理1 設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

其中:

證明:根據(jù)Euler-Marclaurin公式，又由f(x)=ln x的n階導數(shù):

在［a，+∞)是絕對連續(xù)的，再取t=0，h=d，b=a+nd，又根據(jù)Bernoulli函數(shù)性質(zhì)中的Bk(0)=)，Bernoulli數(shù)中的 B2k+1=0，則取 r為某一奇數(shù)，有Br(0)=0．可得:

分別對(2)中的3個表達式變形得:

即證:

由于μ1(n)含有積分式，需要簡化，有下面結(jié)果．可以作為當?shù)炔顢?shù)列乘積的近似表達式的一個誤差估計．

證明:

將(10)，(11)代入(9)得:

同理，依次可以推得i個不等式，最后一個為:

將(12)(13)等i個不等式相加得:

由(7)，對(14)中k相加，得:

1．2 相關(guān)推論

為了將定理1的公式變成另一簡潔形式．有下面推論1．

推論1 設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

推論2 設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

證明:在定理1，2．2 中，對于:

由定理2推導過程的(15)，r=5，下式:

推論3設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

有關(guān)a，d可取整數(shù)之外的其它任意正數(shù)，比如是小數(shù)或無理數(shù)，會得到大量代數(shù)式，其例子不再列舉．

因此，定理1推廣了n!估計式，拓展了Stirling公式的應(yīng)用范圍．

2 數(shù)值逼近表達式的實例檢驗

對于推論3的數(shù)值逼近的精度，采用數(shù)學軟件:MATHEMATICA8．0，編寫程序檢驗精確度．取:數(shù)值原值表達式:

相對誤差:H1=(A-B1)/A，H2=(A-B2)/A．

表1 數(shù)值逼近表達式B1中變量n對精度的影響

表1說明數(shù)值逼近表達式B1中，隨變量n的增大，相對誤差在增大，基本達到1/10000．

表2 數(shù)值逼近表達式B2中變量n對精度的影響

表2說明數(shù)值逼近表達式B2中，隨變量n的增大，相對誤差在增大，基本達到1/1014．

3 結(jié) 論

定理1中給出的等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達式，拓展了Stirling公式．在適用范圍方面是最寬泛的一個結(jié)果．

定理2中給出的等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達式的誤差估計表達式，是經(jīng)過較細致嚴密的縮放，因此數(shù)值精度在理論上有一個較優(yōu)的估計．

通過計算機編程驗證，舉出實例說明文中結(jié)論可靠實用．對于如何精簡近似表達式、提高數(shù)值逼近精度、推導其它類型數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達式將是繼續(xù)探索的方向．

Stirling公式在數(shù)學分析、數(shù)論、概率論及相關(guān)領(lǐng)域有著諸多的重要應(yīng)用，二項分布和超幾何分布的計算問題都可歸結(jié)為階乘的計算問題，在產(chǎn)品抽樣驗收與(n，c)方案中有具體應(yīng)用．在數(shù)學物理方程、計算數(shù)學、工程數(shù)學應(yīng)用中的方程問題，通過運用本結(jié)論給出的近似表達更為簡潔．另外，在代數(shù)式推導過程中也有一定的重要應(yīng)用．按照文中思路，對冪指數(shù)列的數(shù)值逼近等具有推廣借鑒意義．

［1］ L．C．Hsu，LUOXiaonan．OnaTwo-sideInequalityInvolvingStirlingformula［J］．JournalofMathematicalresearchandexposition．1999，19(3)．

［2］ 匡繼昌．常用不等式［M］．3版，濟南:山東科技出版社．2004．

［3］ 楊必成．關(guān)于階乘的一些新不等式［J］．廣東教育學院學報，2002(2):1-4．

［4］ 謝子填．Stirling公式的一個推廣［J］．數(shù)學實踐與認識，2006(6):331-333．

［5］ Stirling＇sFormula［DB/OL］．http://www．sosmath．com/calculus/sequence/stirling/stirling．html

［6］ Problem2-Stirling＇sFormula．1999，19(3)［EB/OL］．http://web．yl．is．s．u-tokyo．a(chǎn)c．jp/～ affeldt/examination/examination/node97．html．