高孝成，姚 艷

(黑河學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江黑河164300)

李超代數(shù)是在李代數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一個(gè)代數(shù)學(xué)分支，而李代數(shù)這一概念是由挪威數(shù)學(xué)家M．S．Lie在19世紀(jì)后期研究連續(xù)變換群時(shí)引進(jìn)的．拓?fù)鋵W(xué)中的李超代數(shù)通常是特征p域上的李超代數(shù)(即模李超代數(shù))，尤其是有限域上李超代數(shù)［1］．目前，模李代數(shù)與非模李超代數(shù)都已經(jīng)有相對(duì)完整的結(jié)構(gòu)理論．在1977年，李超代數(shù)理論的奠基人之一，著名的數(shù)學(xué)家V．G．Kac在有限維、特征零情形，給出了單李超代數(shù)的完全分類，1998年，Kac又完成了特征零代數(shù)閉域上無限維單的線性緊致李超代數(shù)的分類［2］，無限維線性緊致李超代數(shù)也有完全分類［3］;典型模李代數(shù)和代數(shù)群的表示［4］，特征零典型李超代數(shù)、另外李超代數(shù)的表示也都取得了長(zhǎng)足的發(fā)展．這樣自然要考慮到素特征域上的有限維單李超代數(shù)(模李超代數(shù))的情況，即模李超代數(shù)的分類問題．

限制李代數(shù)的概念在模李代數(shù)理論中起著非常重要的作用，有限維模李代數(shù)的分類和表示首先是基于限制李代數(shù)上的［5-6］．因此，將模李代數(shù)限制理論平行推廣到模李超代數(shù)中是十分必要的，見文獻(xiàn)［7-10］．首先，每個(gè)模李超代數(shù)都可以嵌入到它的一個(gè)包絡(luò)中，從而利用映射研究結(jié)構(gòu)問題．其次，容易證明模李超代數(shù)的任何有限維不可約表示均具有唯一性特征．這樣，我們可以象模李代數(shù)情形一樣對(duì)表示問題進(jìn)行深入細(xì)致的研究．對(duì)于模李代數(shù)而言，環(huán)面、環(huán)面秩是限制理論中非常重要的概念，將它們推廣到限制李超代數(shù)中進(jìn)行研究，對(duì)于限制李超代數(shù)理論的作用也是基礎(chǔ)性的．本文中，Z表示整數(shù)集，沒有特殊說明時(shí)，F(xiàn)表示特征為素?cái)?shù)p＞2的域．

1 預(yù)備知識(shí)

在一般的域F上:

定義1．1 設(shè)A是域F上的線性空間，A稱作F上的代數(shù)，如果除了數(shù)乘和A的加法運(yùn)算外，A還有一個(gè)乘法運(yùn)算(用xy表示x與y的乘積，?x，y∈A)，并且滿足以下條件:

(i)x(y+z)=xy+xz，(y+z)x=yx+zx，

(ii)λ(xy)=(λx)y=x(λy)，?x，y，z∈A，?λ∈F．

如果代數(shù)A是F上的有限維線性空間，則稱A為F上的有限維代數(shù)．

如果代數(shù)A的乘法滿足結(jié)合律，則稱A為結(jié)合代數(shù);如果代數(shù)A的乘法滿足交換律，則稱A為交換代數(shù)．

如果代數(shù)A的乘法滿足以下條件:

(i)x2=0，?x∈ A，

(ii)x(yz)+y(zx)+z(xy)=0，?x，y，z∈A，(Jacobi等式)，

則稱A為李代數(shù)．

定義 1．2［11］設(shè) L=L0－⊕ L1－是域 F 上的一個(gè)Z2－階化代數(shù)，L中的乘法用方括號(hào)［，］表示，對(duì)于L中任意齊次元素a，b，c，若以下條件被滿足:

(1)［a，b］ = － (－ 1)|a||b|［a，b］ (超反對(duì)稱)

(2)(－ 1)|a||c|［a，［b，c］］+(－ 1)|a||b|［b，［c，a］］ +(－ 1)|b||c|［c，［a，b］］ =0 (超Jacobi-恒等式)

則稱L是一個(gè)李超代數(shù)．

在素特征的域F上:

其中Si(a，b)是由如下公式唯一確定的:

p－1

定義1．4 設(shè)(L，［p］)與(L'，［p］')是兩個(gè)限制李超代數(shù)，φ:L→ L'是李超代數(shù)同態(tài)．若φ|L－

0:→是一個(gè)李代數(shù)限制同態(tài)，則稱φ是限制李超代數(shù)(L，［p］)到(L'，［p］')的限制同態(tài)(p－同態(tài))．

(1)一個(gè)包含限制李超代數(shù)(G，［p］)和一個(gè)李超代數(shù)的單同態(tài)l:L→G的(G，［P］，l)叫做L的一個(gè)限制包絡(luò)，

(2)L的一個(gè)限制包絡(luò)(G，［p］)叫做泛限制包絡(luò)，如果下面的泛性質(zhì)成立:對(duì)于每一個(gè)限制李超代數(shù)(H，［p］')和每一個(gè)李超代數(shù)同態(tài)f:L→H，剛好存在一個(gè)限制同態(tài) g:(G，［p］)→ (H，［p］')，使得g?l=f限制包絡(luò)也稱為p－包絡(luò)．

為了計(jì)算的方便，給出以下引理:

引理1．1 設(shè)限制李超代數(shù)(L，［p］)的子代數(shù)為K，K［p］為包含K的(L，［p］)的最小的p－ 子代數(shù)，則有

其中，αi∈ F，ki∈ ? ，xi∈ K0－，y ∈ K1－，y ∈是由生成的的限制李子代數(shù)．

在李超代數(shù)中，也有類似李代數(shù)限制包絡(luò)的結(jié)論．

引理1．2 每一個(gè)有限維李超代數(shù)都有一個(gè)有限維的限制包絡(luò)．

2 環(huán)面秩

下面，設(shè)L是有限維李超代數(shù)．

定義2．1 設(shè)T是限制李超代數(shù)(L，［p］)的一個(gè)子代數(shù)，若滿足:

(1)T是L的Abel p-子代數(shù)，

(3)對(duì)于任意x∈T，x為L(zhǎng)的p－半單元，即存在 αi∈F，使得

則稱T為L(zhǎng)的一個(gè)環(huán)面．

定義2．2 設(shè)K是李超代數(shù)L的子代數(shù)，(G，［p］，l)為 L 的 p － 包絡(luò)，K［p］=(l(K))［p］，T 是K［p］/K［p］∩ C(G)的環(huán)面，稱

為K在L中的環(huán)面秩，tr(L):=tr(L，L)為L(zhǎng)的絕對(duì)環(huán)面秩．

注記2．1設(shè)H與K是有限維李超代數(shù)L的子代數(shù)，且H?K，則

(1)L的p－包絡(luò)選取不影響子代數(shù)K或H在L中的環(huán)面秩，

(2)tr(H)≤tr(K)

(3)tr(H，K)≤tr(H，L)≤tr(K，L)

(4)不考慮中心的影響，環(huán)面秩最大的環(huán)面即為維數(shù)最大的環(huán)面．

3 結(jié) 論

定理3．1 設(shè)H，K分別是有限維限制李超代數(shù)(L，［p］)的子代數(shù)，且 H ? K．

若 tr(H，L)=tr(L)，則 tr(H，K)=tr(K)．

證明:根據(jù)引理1．1，可設(shè)L［p］為L(zhǎng)的有限維p－ 包絡(luò)．由引理1．2，

取 H［p］/(H［p］∩ C(L［p］))的 p－理想:

易見，

方便起見，對(duì)于有限維李超代數(shù)L，記mt(L)為L(zhǎng)的環(huán)面的最大維數(shù)，即

mt(L):=max{dim T|T為L(zhǎng)的環(huán)面}

則

從而，

即

這樣，

由(6)，

應(yīng)用(5)可得，

最后，由(4)與(7)，知 tr(H，K)=tr(K)．結(jié)論得證．

本文將環(huán)面、環(huán)面秩概念推廣到限制李超代數(shù)中進(jìn)行研究，給出了限制李超代數(shù)環(huán)面秩的一個(gè)重要性質(zhì)，為限制李代數(shù)的研究奠定了理論基礎(chǔ)．

［1］ S．Berman，Y．Gao，Y．S．Krylyuk．Quantum Tori and the structure of elliptic quasi-simple Lie algebras［J］．J．Funct．Anal，1996，135:338-339．

［2］ Y．Su，R．Zhang．Cohomology of Lie superalgevras sl(m-n)and osp(2 －2n)［J］．Proc．London Math．Soc，2007，94:91-136．

［3］ W．D．Liu，Y．Z．Zhang．X．L．Wang．The derivation algebra of the Cartan type Lie superalgebra HO［J］．Comn．Algebra，2005，33:2131-2143．

［4］ J．C．Jantzen．Representations of Lie algebras in positive characteristic［J］．Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups，2002，1:1-8．

［5］ Walterde Gruyter，Berlinand H．Strade．Simple Lie Algebras over Fields of Positive Characteristic［M］．New York:Die Deutsche Bibliothek，2004．

［6］ H．Strade，R．Farnsteiner．Modular Lie Algebras and Their Representations［M］．New York:Monographys and Texbooks Pure Appl．Math，1988:116．

［7］ Yu．Kochetkov，D．Leites．Simple Lie algebras in characteristic 2 recovered from superlgebras and on the notion of a simple finite group［J］．Contemp．Math，1992，131(2):59-67．

［8］ LY Chen，DJ Meng，YZ Zhang．The Frattini subalgebra of restricted Lie superalgebras［J］．ActaMath Sin．，EnglishSer，2006，22(5):1343-1356．

［9］ WD． Liu． Induced modules of restricted Lie superalgebras［J］．Northeast Math．，2005，21(1):54-60．

［10］ V．M．Petrogradski．Identities in the enveloping algebrasJP for modular Lie superalgebras［J］．Algebra，1992，145:1-21．

［11］劉冬麗．Cartan型模李超代數(shù)的環(huán)面及導(dǎo)子代數(shù)［D］．哈爾濱:哈爾濱師范大學(xué)，2008，6．