劉 琚 王 超 許宏吉 董 鄭 Julian Cheng

（1.山東大學信息科學與工程學院，濟南，250100；2.東南大學移動通信國家重點實驗室，南京，211189；3.麥克馬斯特大學電氣與計算機工程學院，漢密爾頓，加拿大，L8S4K1；4.英屬哥倫比亞大學工程學院，基隆拿，加拿大，V1V1V7）

引 言

由于能夠提高無線通信系統(tǒng)的頻譜效率和可靠性［1］，天線分集技術在近幾十年得到了廣泛的關注。這種優(yōu)勢通常被稱作多路復用和分集增益［2］。在所有可以實現(xiàn)空間分集增益的方案中，波束形成技術由于其收發(fā)端可以形成多個波束因而最受關注［3－4］。

在一個實際的蜂窩網(wǎng)絡中，在基站端裝配多天線是十分常見的，然而對于移動設備而言，由于受到體積和電池壽命的限制，裝配多天線并不可行。協(xié)作波束形成技術可以有效的解決上述問題，不同的移動用戶共享彼此的天線，通過分布式信號處理和協(xié)作通信技術，這些天線就形成了虛擬的天線陣列，研究證明可以有效地替代多天線系統(tǒng)［5－11］。如果在發(fā)送端、中繼節(jié)點和接收端之間的瞬時信道狀態(tài)信息不能直接獲取，最優(yōu)化的波束形成可以通過分散技術解決［8－9］。如果僅僅是二階信道狀態(tài)信息已知，對于每一個中繼節(jié)點都存在功率約束的情況，其最優(yōu)化的波束形成設計問題可以通過對優(yōu)化向量進行半正定松弛，進而轉化成半正定規(guī)劃問題求解［10］。上述優(yōu)化問題可以擴展到多源多宿的情形［11］。

不同于文獻［7－11］中那樣所有的節(jié)點都是裝配著單天線，本文將研究基站端配置有多天線的情形［12］。在這種情形中，用戶可以通過分布式的中繼節(jié)點獨立的向配置有多天線的基站端發(fā)送信號，這是出于目的節(jié)點作為上行鏈路中的基站端的考慮。這個網(wǎng)絡模型與文獻［5］具有根本的不同，為減少信號傳輸?shù)拈_銷，分布式的用戶之間以及中繼節(jié)點之間的通信不被允許。此外，本文模型也不同于文獻［11］，用戶之間遭受嚴重的信號干擾。在本文的研究中，不同用戶之間的干擾可以被多天線基站有效地估計。在文獻［12，13］中的優(yōu)化問題采用了迭代的方法解決，這種方法容易陷入局部最優(yōu)。在文獻［14］中采用了遺傳算法，但是由于遺傳算法屬于一種啟發(fā)式搜索的方法，計算復雜度高，難以滿足實時性的要求。

本文假設基站端的線性接收器沒有反饋從而減少系統(tǒng)的復雜度。為了取得更好的波束形成效果，提出了兩種相關但是又不相同的波束形成設計方法：總功率最小化方法（在每個用戶對應的信干噪比滿足一定約束的前提下使中繼節(jié)點總功率消耗最小化）、信干噪比最大化方法（在中繼節(jié)點滿足一定功率約束的前提下使最小的信干噪比最大化）。上述方法所面對的都是包含有中繼節(jié)點波束形成加權向量和基站端線性均衡向量的多變量聯(lián)合優(yōu)化問題，直接處理起來非常困難。為了得到最優(yōu)化的解，通過一定的數(shù)學轉換將線性均衡向量表示成中繼加權向量閉式解的形式，上述多變量問題轉化成僅包含中繼加權向量的問題。進而兩種方法都可以運用內(nèi)點法有效地求得最優(yōu)化的解，并且避免了迭代運用凸優(yōu)化的弊端。

1 系統(tǒng)模型

考慮如圖1所示的多源多中繼協(xié)作網(wǎng)絡，K個單天線用戶通過M個單天線中繼節(jié)點采用放大轉發(fā)策略實現(xiàn)與包含N根天線的基站之間的通信。其中第k個源節(jié)點的發(fā)送功率為pk，所有噪聲都為平穩(wěn)高斯白噪聲，在中繼節(jié)點處噪聲功率為，在基站處噪聲功率為。用戶與基站之間的通信可以分為兩個階段。在第1個階段所有的源節(jié)點同時向中繼節(jié)點廣播信號，在第m個中繼節(jié)點的接收信號為

式中：fm，k∈C表示從第k個源節(jié)點與第m個中繼節(jié)點之間的信道參數(shù)。每一個源節(jié)點都用最大允許功率Pk發(fā)送信號，并且sk表示第k個源節(jié)點發(fā)送的信號符號（k＝1，2，…，K）。nm表示第m個中繼節(jié)點處的復高斯噪聲。式（1）可以改寫成向量的形式

式中：r＝ ［r1，r2，…，rM］T，fk＝ ［f1，k，f2，k，…，fM，k］T，nr＝［n1，n2，…，nM］T。在第二個階段，通過乘上波束形成加權系數(shù)wm，第m個中繼節(jié)點將接收到的信號放大轉發(fā)。轉發(fā)信號可以表示成t＝WHr，其中進而中繼節(jié)點的總傳輸功率可以表示成

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

式中：D是對角陣，其第m個對角線元素為

從中繼節(jié)點到多天線基站之間的信道矩陣為H∈CN×M，則可將基站端的接收信號表示成

式中：nd表示目的節(jié)點處的噪聲。針對實際情況，在基站端的多天線采用線性均衡。設均衡矩陣為

則第k個源節(jié)點所對應的基站接收信號可以表示為

2 基站端最優(yōu)化線性均衡設計

假設基站可以收集信道狀態(tài)信息（Channel state information，CSI），獲得優(yōu)化波束形成向量。根據(jù)式（7）可得第k個源節(jié)點所對應的基站端接收信號功率為

所對應的干擾信號功率為

所對應的噪聲信號功率為

因此第k個源節(jié)點所對應基站端接收信號的信干噪比為

可以進一步改寫成

式中：λmax（B）表示矩陣B的最大特征值，并且Ry＝式（12）來自Cauchy－Swartz不等式。通過設定可以取得等號成立。

3 總功率最小化方法

考慮在目的節(jié)點SINRk不小于閾值γk＞0（1，2，…，K）的前提下，使中繼節(jié)點總傳輸功率最小化。可以用如下表達式表示

令Bk＝（HWHQkWHH＋Rd）－1當設置gk∝時，優(yōu)化問題式（13）可以改寫成

由于Bk是半正定矩陣，并且?k，每一個Bk都有唯一的非零特征值，當然也是最大特征值

因此，優(yōu)化問題式（14）等效于

根據(jù)Duncan－Guttman矩陣逆式［15］，優(yōu)化問題可以進一步改寫成

上式可以進一步改寫成Schur補的形式

一般而言，上述優(yōu)化問題不容易直接解決，但通過定義X?wwH，此 時進而原優(yōu)化問題可以轉化為

式中的rank（X）＝1約束是非凸的并且會帶來難以承受的計算復雜度。果斷地松弛該約束（從仿真中也很少遇到不滿足秩約束的情形），上式轉化成一個半正定規(guī)劃問題，進而可以運用凸優(yōu)化工具包比如凸優(yōu)化工具包（Convex optimization toolbox，CVX）［16］十分迅速地解決［17］。如果X的秩為1，那么對應的優(yōu)化向量w就是最優(yōu)化的波束成形權向量。反之如果在極少數(shù)的情況下秩不為1，則可以運用一種隨機化技術來確定秩為1的最優(yōu)解。在最優(yōu)的協(xié)作波束形成權值向量wopt確定之后，最優(yōu)化的基站端線性均衡向量可以用gk＝ρ?k確定，這里ρ｛B｝表示矩陣B的歸一化主特征向量。

4 信干噪比最大化方法

本文力求在中繼節(jié)點總功率滿足不大于的前提下使得最小的最大化，數(shù)學上可以表示成如下這種max－min－fair的形式

通過引入中間變量t，可以將式（23）轉化成

利用Schur補，式（21）轉化為

式（22）是一個雙線性矩陣不等式約束下的優(yōu)化問題，可以利用二分法有效地解決。首先假定問題可行，從一個已知的含有最優(yōu)值tmax的區(qū)間［l，u］開始，在區(qū)間中點處解凸可行性問題，來確定最優(yōu)值是大于t還是小于t。如果t可行，設l＝t，如果不可行則使u＝t，更新區(qū)間直到u－l＜ε，ε是最大允許偏差。將t代回式（22），通過半正定松弛，形成線性不等式的約束，式（22）進而可以用CVX解決。若秩不為1，則可用隨機化技術式［18］得到秩為1的解。最優(yōu)化的中繼節(jié)點加權向量確定后，最優(yōu)的線性均衡矩陣也可以有效地獲得。

5 仿真結果分析

采用與文獻［12］相同的信道模型。同樣假設信道參數(shù)和信道狀態(tài)信息在基站端可以獲取，并且信道參數(shù)之間相互獨立，源節(jié)點的發(fā)送信號功率設定為比噪聲功率高10dB，并且信道估計錯誤為10 dB，信道增益設置為0dB。

圖2是第3節(jié)總功率最小化方法的結果，其中仿真了不同的K，M，N值所對應的最小化的中繼傳輸總功率。不失一般性，SINRk設置成高于相同的門限值γk＝Γ，?k。從圖中可以看出，隨著中繼節(jié)點和接收天線數(shù)的增加而減少，這是由于在復散射環(huán)境中，隨著天線數(shù)目的增加，尋找更好天線路徑的機會增加了。從圖中還可以看出與文獻［12］中的方法相比，本文方法可以降低大約1dBW的功率消耗，在高信噪比區(qū)域功率降低的幅度更為明顯。這是因為方法能夠實現(xiàn)全局最優(yōu)，避免了式［12］中的迭代過程。

圖3是第4節(jié)信干噪比最大化方法的結果，仿真了中繼總功率約束下最大化可實現(xiàn)的最小的信干噪比最大化 S－SINRs（the smallest of SINRk，?k）。從圖中可以看出，最大化可實現(xiàn)的S－SINRs隨著中繼節(jié)點數(shù)目的增加而增加，并且隨著最大允許的中繼節(jié)點總功率的增加而增加，并趨于飽和。并且該方法遠好于固定功率方法，最大化可實現(xiàn)的S－SINRs有3～5dB的提高。

6 結束語

圖2 總功率最小化方法Fig.2 Total power minization method

圖3 信干噪比最大化方法Fig.3 SINR maximization method

針對多源多中繼的基站端配置有多天線的協(xié)作通信網(wǎng)絡，提出了兩種中繼加權向量和基站端線性均衡向量的聯(lián)合優(yōu)化方法。上述優(yōu)化問題包括兩個待優(yōu)化變量，直接解決起來非常困難，通過數(shù)學轉化，將基站端線性均衡向量用中繼加權向量閉式表示，進而將多變量的優(yōu)化問題轉化成只包含中繼加權向量的優(yōu)化問題。隨后通過運用Schur補和半正定松弛將上述問題轉換為凸問題用內(nèi)點法可以非常有效地求得最優(yōu)解。仿真結果表明，本文所提出的方法遠好于現(xiàn)有的方法，可以獲得更高的服務質量或者相同情形下降低中繼傳輸功率，并且避免了式［12］中的迭代過程，降低了計算復雜度。

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