李兆華

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387)

李善蘭(1811～1882)《九容圖表》不分卷，今傳劉鐸編?！豆沤袼銓W(xué)叢書》石印本(1898年)，近年影印收入郭書春主編《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯》數(shù)學(xué)卷第5冊。李善蘭任同文館算學(xué)教習(xí)期間(1868～1882)曾傳授《測圓海鏡》?！毒湃輬D表》當(dāng)系其間所作，具體年代不詳。其篇幅不長，僅有六葉半，類似講授提綱。主要內(nèi)容包括一個(gè)圖形兩個(gè)表格，即圖1、表1與表2之原有文字及格式。圖中的方邊、半徑、中垂線的作用不明。兩表均無文字說明，且有文字脫誤及省略不當(dāng)。故據(jù)一圖兩表不得其詳，而論者亦未之深究。幸有楊兆鋆(1854 ～?)《須曼精廬算學(xué)》［1］卷 14《九容演代》、卷20《邊徑線釋》，《九容圖表》始得解讀?！俄毬珡]算學(xué)》自序稱，“同治辛未秋，余年十八，始貢同文館。凡六年受于李壬叔先生者，厘定若干卷?！惫省毒湃菅荽贰ⅰ哆厪骄€釋》為解讀《九容圖表》之可靠依據(jù)。又，博啟《勾股形內(nèi)容三事和較》抄本①博啟《勾股形內(nèi)容三事和較》未刊。清代羅士琳認(rèn)為是書已經(jīng)失傳，因有《勾股容三事拾遺》(1826年)之作?！俄毬珡]算學(xué)》自序稱，“形內(nèi)三線，宛轉(zhuǎn)互求，監(jiān)(正)［副］稿亡，補(bǔ)佚持籌，撰《邊徑線釋》?！鼻∥迨四?1793年)，博啟為欽天監(jiān)監(jiān)副。據(jù)此推知，李善蘭、楊兆鋆亦皆以為博啟所著已佚。近年得知，《勾股形內(nèi)容三事和較》，乾隆四十八年(1783年)自序，今傳道光元年(1821年)姚元之抄本，藏國家圖書館。其部分內(nèi)容收入?yún)⒖嘉墨I(xiàn)［11］。亦為重要參考文獻(xiàn)。

李冶(1192～1279)《測圓海鏡》(1248年)卷1所載圓城圖式、“識別雜記”是勾股測圓術(shù)②勾股算術(shù)大致分為三個(gè)部分:勾股和較術(shù)、勾股測圓術(shù)與勾股測望術(shù)。勾股和較術(shù)討論的問題是，求解勾股形及構(gòu)造滿足給定條件的勾股形。勾股測圓術(shù)，由已知勾股形及其相似形求已知勾股形內(nèi)切圓徑。勾股測望術(shù)，運(yùn)用相似勾股形(或矩形等積原理)測算高深廣遠(yuǎn)。內(nèi)容的詳細(xì)記載。李善蘭將圓城圖式的各勾股形予以增刪，確定為十三率勾股形。十三率勾股形的確定使勾股測圓術(shù)的內(nèi)容形成系統(tǒng)。［2］這是勾股測圓術(shù)的重要發(fā)展。表1原表意在給出十三率勾股形169事的等量關(guān)系。《數(shù)理精蘊(yùn)》(1723年)下編卷12有“勾股形內(nèi)求中垂線及容方圓等形”一節(jié)，討論由勾、股、弦求內(nèi)容方邊、圓徑、中垂線等三事的算法。在此啟發(fā)下，博啟《勾股形內(nèi)容三事和較》系統(tǒng)討論由內(nèi)容三事和較求勾、股、弦的算法。［3］其算法的根據(jù)是內(nèi)容三事和較構(gòu)成的10個(gè)比例式。勾股和較術(shù)原只討論由13事、勾股積求解勾股形。博啟的工作是勾股和較術(shù)的一個(gè)發(fā)展。然而，《勾股形內(nèi)容三事和較》一書未刊，時(shí)人以為其書已佚、其法失傳，由內(nèi)容三事和較求解勾股形這一問題遂引起算家的關(guān)注。表2原表的意向是重建博啟的內(nèi)容三事和較比例式。

《測圓海鏡》列入《四庫全書》之后，又經(jīng)李銳(1769～1817)算?？搿吨蛔泯S叢書》(1799年)，流傳日廣。四庫館臣及李銳均甚重視是書之“識別雜記”，各加按語。在指出不足的同時(shí)，兩者的按語充分肯定其學(xué)術(shù)價(jià)值?！稊?shù)理精蘊(yùn)》下編卷12至卷13詳論勾股，不乏新意。且又號稱御制，學(xué)者視為圭臬。清代中葉以降，勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)之著述不少，當(dāng)與以上兩項(xiàng)工作的影響有關(guān)。十三率勾股形的確定，由內(nèi)容三事和較求解勾股形的算法是其中兩個(gè)重要成果。為深入了解這兩個(gè)成果的內(nèi)容與意義，以及中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的勾股算術(shù)在晚清的發(fā)展與變化，《九容圖表》的校正與解讀允為關(guān)鍵所在。以下先就圖1和圖2予以簡要說明，而后分別討論表1和表2。

1 《九容圖表》圖式與《邊徑線釋》圖式

《九容圖表》圖式與《邊徑線釋》圖式是解讀《九容圖表》的基礎(chǔ)。茲先就兩圖之要點(diǎn)予以說明，個(gè)別錯(cuò)誤一并改正。

圖1線段交點(diǎn)原用漢字表示，今改用字母。各直角頂點(diǎn)字母右側(cè)的數(shù)字表示十三率勾股形在本文的序號。在圓城圖式上，圖1新增四條線段:PR，過圓心且與大弦平行;內(nèi)容方邊λZ(方邊按一條計(jì))，容圓半徑Oζ，中垂線Cτ。其中，后三條線段與十三率勾股形無關(guān)，其作用見圖2。圓城圖式原有16個(gè)勾股形。在圖1中，下高勾股形Rt△MUH，上平勾股形 Rt△GXN，太虛勾股形 Rt△GTH 各有全等形 Rt△ASM、Rt△NWB、Rt△GEH。①李善蘭在原圖后所記“月山巽、心丑寅俱等虛”一條有誤。此謂圖1中Rt△GEH，Rt△πρΟ，Rt△GTH全等。事實(shí)上，Rt△πρO與Rt△GEH并不全等。若此兩形全等，由圖1顯有叀股HI與邊徑較Jρ相等。依李善蘭所設(shè)之?dāng)?shù)，大勾股形三邊分別為36，48，60，算得大三事和144，叀三事和12，叀股4。圓徑24，方邊20，邊徑較3。叀股與邊徑較不等。矛盾?！熬愕忍摗睏l誤。圖1的虛線原為實(shí)線。又，黃廣勾股形Rt△AVH，黃長勾股形Rt△GYB各有邊長減半形 Rt△ASM，Rt△NWB。將Rt△MUH及Rt△AVH等五形刪去，過點(diǎn)O點(diǎn)作PR∥AB，將上高勾股形Rt△ASM，下平勾股形Rt△NWB平移至Rt△PKO，Rt△OLR，共得11個(gè)勾股形。增加斷勾股形Rt△PDQ，合勾股形Rt△PCR，共得13個(gè)勾股形。此即十三率勾股形。十三率勾股形有如下性質(zhì):十三率勾股形均相似。十三率勾股形的三事和與大勾股形的13事一一對應(yīng)相等。由十三率勾股形的任一形求圓徑皆倍其勾股相乘積除以13事之一，該事依其三事和唯一確定［4］(該事亦稱本形定率)。每個(gè)勾股形有13事，十三率勾股形共有169事。十三率勾股形的名稱及169事的等量關(guān)系，見表1。

圖1 《九容圖表》圖式

圖2 改繪《邊徑線釋》圖式

圖2據(jù)楊兆鋆《邊徑線釋》圖式改繪，①楊圖有二誤。參照圖2說明如下。其一，誤認(rèn)Rt△πρO與Rt△GEH全等(“甲寅天即虛勾股”)。此誤同《九容圖表》，說詳前注。此誤導(dǎo)致楊圖之邊徑和、邊徑較、線徑和及線徑較等四個(gè)勾股形圖示有誤。刪去之。其二，誤認(rèn)中垂線Cτ過點(diǎn)γ(“人(戊)［戌］物等甲丁戊”)。若Cτ過點(diǎn)γ，則必有∠BCτ與∠A不等。矛盾。改正之。以上二誤與邊線和、中垂線、方邊及邊線較等四個(gè)勾股形無關(guān)，故與勾股邊徑比例式的建立無關(guān)。圖2中的虛線，除Zμ外，均為本文添加的輔助線。藉以了解表2的意義。在圖2中，Rt△CYZ名邊線和勾股形(本文簡稱和勾股形)，方邊為弦，中垂線為勾股和。②邊線和勾股形謂此形之三事和為中垂線與方邊之和。中垂線、方邊、邊線較勾股形類此。以上四個(gè)命題，原文均未證明。茲各加注腳說明證明要點(diǎn)。Rt△CYZ≌Rt△λμZ，ZY=Zμ=Yτ。故ZY+CY=Yτ+CY=中垂線。CZ=方邊。Rt△OXζ名中垂線勾股形(簡稱線勾股形)，半徑為弦，中垂線為三事和。③Rt△OXζ≌Rt△CηL，又，Lη =ξη。故，ζX+XO+Oζ=Lη + ηC+ξτ=ξη +ηC+ξτ=中垂線。Rt△Oβα名方邊勾股形(簡稱邊勾股形，與圖1邊勾股形Rt△AKN無關(guān))，半徑為勾股和，方邊為三事和。④αβ 是 Rt△OLR 的內(nèi)容方邊。rδ是 Rt△OζN 的內(nèi)容方邊。故 αβ =rδ。又，Rt△Oβα≌Rt△Oδγ，Oα =Oγ。故αβ+βΟ+Oα=LO+Oγ=方邊。Rt△EVU名邊線較勾股形(簡稱較勾股形)，邊徑較為弦，邊線較為三事和。⑤VU=VW，EV+VU=EW。又，Rt△EθQ≌Rt△CξR，Eθ=Cξ。EW=Eθ-Wθ=Cξ-Wθ=Cτ-ξτ-Wθ=中垂線-圓徑。故EV+VU+UE=EW+UE=(中垂線-圓徑)+(圓徑-方邊)=邊線較。以上4個(gè)勾股形與大勾股形

均相似。在勾股形中，勾股和加減弦分別為三事和與容圓徑。任知2事可得另2事。以上4形的弦、勾股和、三事和、圓徑與內(nèi)容三事和較的對應(yīng)關(guān)系，見表3。

?

2 十三率勾股形等量表

本節(jié)先將十三率勾股形等量表予以校補(bǔ)，次就其內(nèi)容進(jìn)行分析并舉例說明該表之應(yīng)用，后指出該表與測圓問題公式解法的聯(lián)系。

2.1 十三率勾股形等量表校補(bǔ)

十三率勾股形等量表校補(bǔ)、整理如表1。表題為本文暫擬。原表無題。原文設(shè)大勾股形為 320，600，680;150，360，390;36，48，60。求得其十三率勾股形每形 13 事數(shù)值列于相應(yīng)各格內(nèi)。茲從略。字母系本文所加以便閱讀。十三率勾股形、勾股形的13事向無固定的排列順序?？紤]到十三率勾股形的一個(gè)基本性質(zhì)是，十三率勾股形的三事和(和和)與大勾股形的13事一一對應(yīng)相等，表1以此為據(jù)決定兩者的順序。

校記:

［1］二高大和，古今算學(xué)叢書本(以下簡稱叢書本)無之。此系省略不當(dāng)。大大較等格不如是。據(jù)《須曼精廬算學(xué)》卷十四《九容演代》(以下簡稱須曼本)補(bǔ)。

［2］小差較和，大差較較，叢書本作二高勾，二平股。依本表通例，和和一列與大勾股一行對應(yīng)各格之第二項(xiàng)與第三項(xiàng)相同。據(jù)須曼本改。

［3］二平小和，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［4］二高大和，二邊股，叢書本、須曼本皆無。依本表通例補(bǔ)。

［5］二平大較，二明勾，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［6］明較和，叢書本無之。顯系誤奪。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［7］二平大較，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［8］二高小較，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［9］二平小和，二底勾，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［10］二高小較，二叀股，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［11］二底小較，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。

［12］半大和和，叢書本、須曼本皆無。表內(nèi)平勾與叀大和、邊小較等。查邊小較格、叀大和格皆有平勾。又，高股與明小和、底大較等。查底大較格、明小和格亦皆有高股。今據(jù)平勾、高股之例，大和和既與二邊小和、二底大和等，則底大和格、邊小和格亦當(dāng)有半大和和。同理，大差較和、虛和較、小差較較亦當(dāng)置于相應(yīng)之格。今逐一校補(bǔ)，不另出注。除底大和格、邊小和格之外，其他六格的校補(bǔ)可參見陳維祺《中西算學(xué)大成》卷四十一。

［13］平較較，小差勾，叢書本無之。據(jù)須曼本補(bǔ)。參見校記［2］。

［14］半小差和和，半大較較，叢書本、須曼本皆無。據(jù)平勾、高股之例，小差和和既與二平小和、二底勾等，則平小和格當(dāng)有半小差和和，半大較較。底勾格亦當(dāng)補(bǔ)，不另出注。參見《中西算學(xué)大成》卷四十一。

［15］半虛較和，半大差和較，叢書本、須曼本皆無。據(jù)平勾、高股之例，虛較和既與二平大較、二明勾等，則平大較格當(dāng)有半虛較和，半大差和較。明勾格亦當(dāng)補(bǔ)，不另出注。參見《中西算學(xué)大成》卷四十一。

［16］半大差和和，半大較和，叢書本、須曼本皆無。據(jù)平勾、高股之例，大差和和既與二高大和、二邊股等，則高大和格當(dāng)有半大差和和，半大較和。邊股格亦當(dāng)補(bǔ)，不另出注。參見《中西算學(xué)大成》卷四十一。

［17］半小差和較，半虛較較，叢書本、須曼本皆無。據(jù)平勾、高股之例，小差和較既與二高小較、二叀股等，則高小較格當(dāng)有半小差和較、半虛較較。叀股格亦當(dāng)補(bǔ)，不另出注。參見《中西算學(xué)大成》卷四十一。

［18］半虛和和，半小差較和，叢書本無之。須曼本作半徑。《九容圖表》補(bǔ)識:“大和較，大差較較，虛和和，小差較和均等圓徑。平股，高勾均等半徑。”是圓徑、半徑不當(dāng)在表內(nèi)。在等于圓徑的四事中，后二事均在表內(nèi)左上至右下對角線之下，為敘述之便用以校補(bǔ)。

［19］太股，叢書本誤作大股。須曼本不誤。從之。

2.2 主要等量關(guān)系及其證明

由表1可見，169事的各事或無等量(格內(nèi)畫橫線者)，或有一項(xiàng)、二項(xiàng)、三項(xiàng)不等。除左上至右下對角線上的各格外，凡序號相同的行與列其相應(yīng)各格內(nèi)第一項(xiàng)(若格內(nèi)僅有一項(xiàng)即為第一項(xiàng))彼此相等，第二項(xiàng)、第三項(xiàng)彼此相同。首先考慮格內(nèi)有第二項(xiàng)、第三項(xiàng)的情形。只需考慮對角線上與對角線下方格內(nèi)有第二項(xiàng)、第三項(xiàng)的情形。茲先舉例說明第二項(xiàng)、第三項(xiàng)的意義。例如，大差較和格:

又如，小差較和格:

再如，明小和格:

為說明主要等量關(guān)系，此處借助“泛積”的概念。設(shè)pi是大勾股形的第i事，p1是大勾股形的三事和，pji是第j率勾股形的第i事，pj是第j率勾股形的三事和。因十三率勾股形均相似，故

即

晚清陳維祺稱 pjpi為 pji的泛積［5］，i，j=1，2，…，13。顯然，若二事的泛積相等，則此二事必等。反之亦然。記大勾股形的三邊分別是a，b，c，參照表1，將以上5式表為泛積式即

顯然，式(2-2)可由式(2-1)依乘法交換律給出。同理，式(2-4)可由式(2-3)給出。本文稱式(2-1)，式(2-3)，式(2-5)為主要等量關(guān)系，而式(2-2)，式(2-4)不是。據(jù)此，對角線下方格內(nèi)第一項(xiàng)的等式均非主要等量關(guān)系。該式可由本格的泛積自身相等并依乘法交換律給出。

按以上規(guī)定即可考察表1的主要等量關(guān)系的總數(shù)。其對角線上與對角線下方有第二項(xiàng)、第三項(xiàng)者共39格。其中，高勾格有2個(gè)主要等量關(guān)系

計(jì)39格共有40個(gè)主要等量關(guān)系。將其一一列出可知，在40個(gè)之中，重復(fù)19個(gè)，刪去之。又虛和和格內(nèi)

可由高勾格的二式導(dǎo)出，亦刪去之。此40個(gè)刪后尚余20個(gè)主要等量關(guān)系，即

(1)大差和和=二高大和 (2)小差和和=二平小和

(3)明和和=高較和 (4)叀和和=平較較

(5)平和和=邊較較 (6)高和和=底較和

(7)虛較和=二平大較 (8)叀較和=平和較

(9)平較和=邊和較 (10)小差和較=二高小較

(11)底和較=高較較 (12)高和較=明較較

(13)高勾=半虛和和 (14)高勾=半小差較和

(15)大和和=二邊小和 (16)大差較和=二明大和

(17)虛和較=二叀大較 (18)小差較較=二叀小和

(19)平勾=叀大和 (20)高股=明小和

其中，后6個(gè)分布在對角線上，前14個(gè)分布在對角線下方。在勾股測圓術(shù)常見命題的證明中，以上20個(gè)主要等量關(guān)系具有重要作用。

上述20個(gè)主要等量關(guān)系寫成泛積式即具有比例四率與連比例三率形式的全部20個(gè)勾股恒等式

以上20個(gè)勾股恒等式是求解勾股形、造整數(shù)勾股形的基本公式。十三率勾股形的主要等量關(guān)系揭示了勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。

上述20個(gè)主要等量關(guān)系，其原始表述散見于“識別雜記”各節(jié)。茲從略。至于證明方法亦可由圓城圖式、“識別雜記”得到啟發(fā)。參見圖1，在圓城圖式中，16個(gè)勾股形的弦在同一條直線上，且可由皇極(《九容圖表》改名太)、高(上高、下高)、平(上平、下平)弦的和差表示其他各弦?！白R別雜記”載:

(極弦)又為平弦、明弦共。(識別雜記，諸弦)

(極弦)又為高弦、叀弦共。(同上)

(極弦)又為大差弦內(nèi)減高平二弦較。(同上)

(極弦)又為小差弦內(nèi)加高平二弦較。(同上)

高弦、平弦相并即大弦內(nèi)少個(gè)皇極弦。(同上)

(又半之并數(shù))即為極弦、虛弦共也，又為高弦、平弦共。(識別雜記，大小差)

(邊弦)內(nèi)減皇極弦余高弦。(識別雜記，拾遺)

(底弦)內(nèi)減極弦為平弦。(同上)

將極、皇極改為太，依上列各條可得

明弦=太弦-(上)平弦

叀弦=太弦-(上)高弦

大差弦=太弦+(上)高弦-(上)平弦

小差弦=太弦-(下)高弦+(下)平弦

大弦=太弦+(上)高弦+(下)平弦

虛弦=(下)高弦+(上)平弦-太弦

邊弦=太弦+(上)高弦

底弦=太弦+(下)平弦

此外，李善蘭的合斷二形亦有

合弦=高弦+平弦

斷弦=高弦-平弦

因十三率勾股形均形似，故以勾或股代換上列10式中的弦，所得仍然成立。［6］由“識別雜記”又可知，太、高、平等三形的勾、股、弦之關(guān)系

太弦=高股+平勾，高弦=太股，平弦=太勾，高勾=平股①關(guān)于“識別雜記”定義、公理及定理系統(tǒng)的分析，見參考文獻(xiàn)［6］。運(yùn)用以上的結(jié)論即可證明20個(gè)主要等量關(guān)系。茲以第(3)式為例證明如下。

明和和=高較和

明和和=明股+明勾+明弦

=(太股-平股)+(太勾-平勾)+(太弦-平弦)

=(高弦-高勾)+(平弦-平勾)+(高股+平勾-平弦)

=高股-高勾+高弦=高較和

表1的其他等量關(guān)系證明仿此。

由以上的討論可知，太、高、平等三形的勾、股、弦9事中，刪去太弦、高弦、平弦尚余6事。6事之中，高勾、平股均與半徑相等。故只需太勾、太股、半徑、高股、平勾共5事即可表示十三率勾股形169事的任一事。此5事均與太勾股形有關(guān)。參見圖1中Rt△MON。

2.3 十三率勾股形等量表應(yīng)用舉例

證明諸事加減乘除構(gòu)成的等式常需作等量代換。表1是等量代換的依據(jù)。茲舉三例說明表1應(yīng)用之大意，并藉以探討勾股測圓術(shù)常見命題的證明方法。

以下兩例選自《九容圖表》，今予試證。

朱青長方等虛勾股積。

參見圖1。命題意即矩形OT與虛勾股形Rt△GTH等積，亦即叀股HI×明勾GJ=虛勾HT×虛股GT。

下例是《同文館算學(xué)課藝》卷三第29題。原文建立方程組共引用7個(gè)命題，均無證明，今予試證。符號表達(dá)式為原文今譯。

有合股弦和，有斷勾弦較。求圓徑。參見圖1。設(shè)容圓半徑為x，高股為y，合股弦和為α，斷勾弦較為β。為與表1的術(shù)語一致，股弦和記為大和，勾弦較記為大較，其他類此。

叀大較乘底大和等于半徑方。

參見圖1。命題意即(叀弦HN-叀勾NI)×(底弦MB+底股ML)=半徑2。

聯(lián)立式(3-1)，式(3-2)，消去 y，得①原文消元過程有誤，方程亦誤。本文予以校正。

解得x為容圓半徑。

2.4 十三率勾股形等量表與測圓問題的公式解法

《中西算學(xué)大成》(1889年)卷41載陳維祺關(guān)于《測圓海鏡》的研究心得。其中包括“勾股容圓(圓城圖式、總率名號、今問正數(shù)、識別雜記)”，“各率和較泛積表”，“各率和較加減校數(shù)表”。圓城圖式上有過圓心且與大弦平行的線段。泛積表與校數(shù)表均有合斷二形。以故陳氏所著當(dāng)為十三率勾股形研究的繼續(xù)。②陳維祺在上海求志書院習(xí)算。乃師劉彝程著《簡易庵算稿》不止一次推許李善蘭的合斷二形。參見是書乙酉(1885年)冬三題等。在泛積表中，陳氏引入泛積的概念已如前述。記大勾股的三邊分別是a，b，c，如法求得169事的泛積。以此取代表1中相應(yīng)各格的等量，是為泛積表，再將20個(gè)勾股恒等式列于表后以便等量代換之用。將泛積表各事的泛積由乘積整理為和差的形式，是為校數(shù)表。校數(shù)表之后稱:“右表，因各形上和較等事均以高股、平勾、極勾(太勾)、極股(太股)、半徑五事互相加減而成(原注:觀泛積表自明)，故……復(fù)演此表以便加減之用。”由校數(shù)表可知，169事的泛積可用“校數(shù)”甲、乙、地、天、人表為

其中，α，β，γ，δ，ε 的取值范圍是 0，±1，±2，i，j=1，2，…，13。ca，cb，ab，bb，aa 分別是太勾、太股、半徑、高股、平勾的泛積。式(4-1)與上文所述“識別雜記”的研究結(jié)論相同。泛積表以當(dāng)時(shí)通用的漢譯代數(shù)符號表示十三率勾股形的169事及其主要等量關(guān)系，使得勾股測圓術(shù)常見命題的證明簡便許多，顯示了代數(shù)符號的優(yōu)越性。而校數(shù)表遂成為測圓問題公式解法的直接來源。

王季同(1875～1948)［7］將陳維祺的校數(shù)予以刪減，給出測圓問題的公式解法，著《九容公式》不分卷。是書自序稱，“偶及近人所著九容表，以平勾、高股、極勾(太勾)、極股(太股)、半徑五事加減之，能盡十三勾股之十三事。因思五事即可盡九容之變，若以代數(shù)入之，當(dāng)能求得公式也。爰試演之，果得公式。”［8］王氏認(rèn)為，五事之中，只需平勾、高股即可表示十三率勾股形169事的任一事。參見圖1，設(shè)平勾為x，高股為y，則半徑=，太由式(4-1)得

① 二事的和差pji±pqg只是系數(shù)的改變，表達(dá)式的結(jié)構(gòu)不變。參見《九容公式》例題。

設(shè)已知二事 pji=A1，pqg=A2，屬于獨(dú)立的 70 事，且 j≠q，［9］②關(guān)于參考文獻(xiàn)［9］的補(bǔ)充意見，見參考文獻(xiàn)［2］。若j=q，則2事在同一率勾股形。問題轉(zhuǎn)化為已知2事求解勾股形，而后直接運(yùn)用該率勾股形的圓徑公式d=，pjj亦稱本形定率。則

A2×(4-3)-A1×(4-4)，所得，以 x約之，令 t=，整理，得

其中，G= α1A2- α2A1，H= β1A2- β2A1，I= γ1A2- γ2A1，J= δ1A2- δ2A1，K= ε1A2- ε2A1。將方程兩端平方，整理，得

令t=s2，得關(guān)于s的四次方程，解得s即得t。

又將式(4-3)變形為

即

將t值代入，即得圓半徑R。③t==是一個(gè)有理數(shù)。式(4-6)經(jīng)過兩次平方運(yùn)算脫去根號，即可導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于R的有理系數(shù)四次方程。故圓徑方程不會(huì)超過四次。由此可知，任給二事即式(4-3)、式(4-4)滿足題設(shè)條件，均可由方程(4-5)、式(4-6)求得半徑。

上述《同文館算學(xué)課藝》卷三第29題，由合股弦和=α，斷勾弦較=β，查校數(shù)表(或據(jù)表1計(jì)算)，建立方程組

即可得半徑。所用7個(gè)命題一并省略。

3 勾股邊徑比例表

本節(jié)先給出勾股邊徑比例表的校正，次就其內(nèi)容予以分析并舉例說明比例式的應(yīng)用，后與博啟《勾股形內(nèi)容三事和較》作一簡短的比較。

3.1 勾股邊徑比例表校正

勾股邊徑比例表校正、整理如表2。該表系《九容圖表》的附錄。原文為14格，每格內(nèi)列比例四項(xiàng)。14格豎行連排，前四行每行3格，末行2格。依通常書寫格式，該表似表示14個(gè)比例式。若如是理解，則第6格與第10格兩式之重復(fù)(參見表2-(3)下層、表2-(5)下層)又無可解釋?！哆厪骄€釋》僅錄該表前12格，每2格作成一長方，共六方。如表2-(1)至表2-(6)所示。表2-(7)為本文校改。下文分別討論。

表2 勾股邊徑比例表校正

校記:

［1］倍徑線較，原作倍線徑較，是與邊徑較、邊線較之例不合。今改。下同。

［2］半徑方邊之較，原作邊，即方邊。今改。意即方邊減半徑。

［3］半徑，原作徑，今改。此項(xiàng)原為第三比例項(xiàng)，今易為第二比例項(xiàng)。

［4］邊徑較，原作邊線較。今改。此項(xiàng)原為第二比例項(xiàng)，今易為第三比例項(xiàng)。

［5］徑線較，原作二線徑較，其意義與倍線徑較不當(dāng)有別，即倍徑線較，今改。參見校記［1］，校記［3］。

［6］中垂線勾股和之較，原作勾股和垂線較，單行直書。以同格內(nèi)邊徑和勾股和之較例此，當(dāng)如所校。

3.2 表2-(1)至表2-(6)的比例式及其推導(dǎo)

《邊徑線釋》于該表之后稱:“右表凡六方。檢法，左右二縱，上下二橫，東西上下各一，交互斜比，每方比例六，共得比例三十有六?！卑幢?-(1)至表2-(6)各有4個(gè)小格，每次取2個(gè)小格構(gòu)成比例式共=6式。由此可得36式。以表2-(1)為例，其6個(gè)比例式如下。所據(jù)之相似形附于各式之后括號內(nèi)。

① 括號內(nèi)的倍字在表2-(1)中不可刪，在此式中當(dāng)刪。下同。

將表2-(1)至表2-(6)的36式全部列出，刪去重復(fù)的11式，尚余25式。表2-(1)的6式如上，其余各式為:

表2-(2)共5式

表2-(3)共4式

表2-(4)共3式

表2-(5)共2式

表2-(6)共5式

以上25式即表2-(1)至表2-(6)刪去重復(fù)之后的全部比例式。

在圖2中，和、線、邊、較、大等5個(gè)勾股形均相似。由相似勾股形對應(yīng)線段的比例關(guān)系即可導(dǎo)出表2-(1)至表2-(6)的各式。在前4形中，弦、勾股和、三事和、圓徑與內(nèi)容三事和較各有對應(yīng)相等者。茲將有關(guān)術(shù)語一并列為表3以資推導(dǎo)。

表3 《邊徑線釋》術(shù)語

① 此線只是大勾股形中垂線的對應(yīng)線段。在表3的另三個(gè)勾股形中，此線無對應(yīng)線段。加括號區(qū)別。由中垂線勾股形知，半徑為弦，中垂線為三事和。因邊線較勾股形的弦為方邊勾股形的圓徑，故其三事和與方邊勾股形的倍中垂線等。

在上述各式的推導(dǎo)中，需作等量代換的情形應(yīng)予注意。以表2-(1)第(5)式與表2-(2)第(7)式為例說明之。

如圖2，因大勾股形Rt△ACB∽較勾股形Rt△EVU，由并對照表3，有

此即表2-(1)第(5)式。又由表3知，較弦=邊圓徑，較三事和=邊倍中垂線，故

及

此二式分別與表2-(1)第(1)式，表2-(1)第(3)式相同。

如圖2，因大勾股形Rt△ACB∽和勾股形Rt△CYZ，由并對照表3，有

此即表2-(2)第(7)式。又由表3知，和弦=邊三事和，和圓徑=邊倍中垂線，故

及

此二式分別與表2-(1)第(1)式，表2-(3)第(15)式相同。類似的情況還有6例。

由等量代換導(dǎo)出的各式不可忽略。和、線、邊、較、大5個(gè)勾股形兩兩相似共10種情形。每種情形中，弦、勾股和、三事和、圓徑兩兩相比共6式。10種情形共60式。又，上述導(dǎo)出的16式。全部共76式。其中，重復(fù)26式，刪去之，余50式。表2-(1)至表2-(6)給出的25式俱在其中。只有包括導(dǎo)出的16式，50式之中才能包括表2-(3)第(15)式。

3.3 關(guān)于表2-(7)的校正

《邊徑線釋》未收表2-(7)。就《九容圖表》原文，該表上層與下層各表示一個(gè)比例式，即

前式已見于表2-(4)與表2-(5)，茲又再次重復(fù)。如圖2，因和勾股形 Rt△CYZ∽線勾股形Rt△OXζ，由 弦圓徑并對照表3，可得前式?；蜻吂垂尚蜶t△Oβα∽較勾股形Rt△EVU，由并對照表3，亦得前式。

圖3 勾股邊徑比例表補(bǔ)圖

容易證明后式成立。圖3與圖2的大勾股形全等。在圖3中，截取BG=方邊EC。過點(diǎn)G作GH⊥AC，GI⊥BC。顯有

在Rt△AHG中，

因 Rt△AHG∽Rt△ACB，故

即

此即后式。Rt△AHG擬名補(bǔ)勾股形。

在以上6式中，第(5)式與表2-(6)第(25)式重復(fù)，刪去之，其余5式無重復(fù)。表2-(1)至表2-(7)共30式。無重復(fù)。

在30式中，以下是基本的5式，即

表2-(2)第(10)式 (大，和) 表2-(6)第(23)式 (大，線)

表2-(6)第(25)式 (大，較) 表2-(7)第(3)式 (大，邊)

表2-(7)第(6)式 (大，補(bǔ))

以上5式均為大勾股形的弦與勾股和之比。因勾股和加減弦分別為三事和與圓徑，故其他各式均可由以上5式運(yùn)用比例性質(zhì)并注意到等量代換導(dǎo)出。此5式可視為勾股形的性質(zhì)定理。

3.4 勾股邊徑比例表應(yīng)用舉例

該表的比例式用于建立方程求解勾股形。茲選《邊徑線釋》相連兩例以現(xiàn)代符號說明其應(yīng)用之大意。

今有邊徑和一百三十，線與邊徑較較七十四。求方邊、圓徑、中垂線各若干。

答曰:方邊六十，圓徑七十，中垂線八十四。

設(shè)方邊=x，則圓徑=邊徑和-方邊=130-x，邊線和=邊徑和+(中垂線-邊徑較)-方邊=204-x，中垂線=邊線和-方邊=204-2x。

由表2-(1)第(2)式

得方程

即

開得方邊x=60。由此可得，圓徑=70，中垂線=84。

今有容方六十，中垂線八十四。求勾、股、弦。

答曰:勾一百零五，股一百四十，弦一百七十五。

設(shè)勾 =x，由表2-(3)第(15)式，有

由表2-(1)第(2)式，有

由勾股恒等式

① 即a2=(c-b)(c+b)，見本文第二節(jié)勾股恒等式(19)。原文又設(shè)股為x，由(c+a)(b+a-c)=b(c-b+a)得方程，此即勾股恒等式(11)。所得方程不變。

得方程

即

開得 x1=105，x2=140，分別為勾、股。

又設(shè)弦=x，由表2-(1)第(4)式，有

由表2-(3)第(15)式

得

即 x=175為弦。故勾、股、弦分別為105，140，175。

原文求股另立方程，所得與求勾方程同。由求勾方程推導(dǎo)過程知，以股代勾，方程不變。另立求股方程殊非必要。

3.5 《邊徑線釋》與《勾股形內(nèi)容三事和較》的幾點(diǎn)異同

以博啟《勾股形內(nèi)容三事和較》未刊，導(dǎo)致由內(nèi)容三事和較求解勾股形問題的再度研究。《邊徑線釋》是再度研究的一個(gè)重要成果。故其方法之異同值得注意。本文僅就兩書的幾點(diǎn)明顯異同略作說明以備比較。

圖形。博啟原著的圖形如圖4所示。圖4-(1)表示，方邊為弦，中垂線(中長)為勾股和。圖4-(2)表示，半徑為弦，中垂線為三事和(總和)。圖4-(3)表示，半徑為勾股和，方邊為三事和，亦即圓徑為勾股和，方邊為半三事和(半總)。依此三條之理繪為全圖如圖4-(4)所示。

在圖4-(4)中，Rt△ACB，Rt△AED，Rt△DJB 均相似。Rt△ACB 名會(huì)勾股形，AB 為方邊，AC+CB為中垂線。Rt△AED名通勾股形，AE+ED為圓徑，AB為半三事和。Rt△DJB名隅勾股形，且

圖4 《勾股形內(nèi)容三事和較》圖

DJ+JB=(AC-AE)+(CB-ED)=(AC+CB)-(AE+ED)=中垂線-圓徑=圓中較

DB=AB-AD=AE+ED-AB=圓徑-方邊=方圓較

DJ+JB+DB=AC+CB-AB=中垂線-方邊=方中較

2×FI=AE+ED-(AB-DB)=(AE+ED-AB)+DB=(AB-AD)+DB=2×DB

即FI=DB。由圖4-(2)，半徑為弦，中垂線為三事和。今隅弦DB等于通半徑FI，則隅三事和DJ+JB+DB等于通中垂線(圖4-(4)未畫出)。

術(shù)語。會(huì)、通、隅等三個(gè)勾股形的弦、勾股和、三事和、圓徑與內(nèi)容三事和較各有對應(yīng)相等者。茲將有關(guān)術(shù)語一并列為表4。其中，表3的術(shù)語加括號區(qū)別。比較可知，術(shù)語雖有不同，意義則無不同。若將表3的線勾股形一列刪去，再將表3與表4的倍半線段劃一，則兩表內(nèi)容全同。

表4 《勾股形內(nèi)容三事和較》術(shù)語

① 在會(huì)勾股形、隅勾股形中，此線無對應(yīng)線段。加括號區(qū)別。

勾股形個(gè)數(shù)?！哆厪骄€釋》的和、邊、較勾股形分別與《勾股形內(nèi)容三事和較》的會(huì)、通、隅勾股形相當(dāng)。前者尚有線勾股形，而后者無與之相當(dāng)之形。由表3可知，

即

由此可得

以上4事分別為線勾股形同名各事的k倍。質(zhì)言之，線勾股形、較勾股形分別與另一形構(gòu)成比例式，若作等量代換，兩組比例式重復(fù)。因而，線較二形刪去其一不會(huì)導(dǎo)致比例式遺漏。圖4-(4)中無與線勾股形相當(dāng)之形并非失誤。

勾股形解法。由表4可知，會(huì)、通、隅等三個(gè)勾股形兩兩相似共3種情形。每種情形中，弦、勾股和、三事和、圓徑兩兩相比共6式。3種情形共18式。刪去重復(fù)的3式，余15式?！豆垂尚蝺?nèi)容三事和較》取其中的10式列于卷首。［10］①10個(gè)比例式參見文獻(xiàn)［10］第29章第3節(jié)。在10式之中，式29-3-17，式29-3-20，式29-3-24任取其二可以作為基本的2式。由此10式并依比例性質(zhì)可得解題所需之各式。原文給出方邊、圓徑、中垂線則止?！吧w有此三線即可以互相求而得勾、股、弦也。”［11］是與《邊徑線釋》有所不同。

至于羅士琳(1789～1853)《勾股容三事拾遺》［12］(1826年)亦以弦圖為據(jù)，與博啟的圖式較為接近，而與《邊徑線釋》圖式不同。

綜上所述，雖然《九容圖表》篇幅不長，但是內(nèi)容確很豐富。十三率勾股形的確定使勾股測圓術(shù)的內(nèi)容形成系統(tǒng)?！毒湃輬D表》圖式與十三率勾股形等量表是此一系統(tǒng)的基本內(nèi)容?！白R別雜記”載有圓城圖式諸勾股形十三事的等量關(guān)系多條，然散見于“五和五較”、“諸弦”等各節(jié)之中。且因缺少合斷二形，等量關(guān)系之缺載亦復(fù)不少。十三率勾股形等量表不僅將“識別雜記”所載各條整理入表，而且所缺各條力求補(bǔ)足。該表傳本雖有文字脫誤及省略不當(dāng)，而對照可知，確是“識別雜記”的整理、補(bǔ)充與重構(gòu)的結(jié)果。從而成為勾股測圓術(shù)常見命題證明的有力工具。20個(gè)主要等量關(guān)系則是勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)的共同的要點(diǎn)及內(nèi)在聯(lián)系的反映。

勾股邊徑比例表雖系“補(bǔ)佚持籌”之作，而其數(shù)學(xué)方法與結(jié)果具有新意。在圓城圖式上增加和、線、邊、較等勾股形，是勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)內(nèi)在聯(lián)系的直觀反映。所得勾股形的5個(gè)性質(zhì)是20勾股恒等式的補(bǔ)充。在《勾股形內(nèi)容三事和較》、《勾股容三事拾遺》中，這5個(gè)性質(zhì)未曾出現(xiàn)。在圓城圖式增加的線段中，過圓心且平行于大弦的線段與中垂線并非中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)固有的內(nèi)容。圓城圖式的充實(shí)與變化是吸收西方數(shù)學(xué)知識的反映。

以篇幅過簡，《九容圖表》并未涉及代數(shù)方法。而據(jù)有關(guān)資料可以斷言，李善蘭倡導(dǎo)以代數(shù)方法解決勾股問題?！毒湃菅荽贩Q，“昔承李壬叔師授以洞淵九容，命演代數(shù)，合中西于一貫?！薄豆垂扇荨贩Q“憶昔……衍勾股稿一帙，……，今失。嗣入京館受之壬叔師者，悉以方程式入之，推闡尤捷?！?［1］，卷17)由《同文館算學(xué)課藝》、《須曼精廬算學(xué)》的具體內(nèi)容亦可證實(shí)上述斷言。將十三率勾股形等量表以代數(shù)符號改寫即為泛積表。由此導(dǎo)致測圓問題的公式解法。此一公式解法的出現(xiàn)標(biāo)志勾股測圓術(shù)公式化進(jìn)程之完成，而十三率勾股形等量表實(shí)有開創(chuàng)之功。

1 楊兆鋆.須曼精廬算學(xué)［M］.吳興叢書嘉業(yè)堂刊本，1916.

2 李兆華.晚清算學(xué)課藝考察［J］.自然科學(xué)史研究，2006，25(4).

3 李兆華.《清史稿》博啟傳?？保跜］.李迪主編.第二屆中國少數(shù)民族科技史國際學(xué)術(shù)討論會(huì)論文集.北京:社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1996.

4 李善蘭.天算或問［M］.則古昔齋算學(xué)刊本，1867(同治六年).

5 陳維祺.中西算學(xué)大成［M］·卷41.重校石印本，1901(辛丑).

6 莫紹揆.對李冶《測圓海鏡》的新認(rèn)識［J］.自然科學(xué)史研究，1995，14(1).

7 郭金海.王季同與《四元函數(shù)的微分法》［J］.中國科技史料，2002，23(1).

8 王季同.九容公式［M］.自序.古今算學(xué)從書石印本，1898.

9 錢寶琮.有關(guān)《測圓海鏡》的幾個(gè)問題［M］.李儼、錢寶琮科學(xué)史全集·第9卷.沈陽:遼寧教育出版社，1998.

10 郭書春主編.中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷［M］.北京:科學(xué)出版社，2010.709～711.

11 李迪主編.中華傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)精選導(dǎo)讀［M］.武漢:湖北教育出版社，1999.508.

12 羅士琳.勾股容三事拾遺［M］.觀我生室匯稿刊本，1828.