高燮瑋

一、引言

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》同時(shí)指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的.

二、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等，都是數(shù)學(xué)模型.中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指“針對(duì)特定的現(xiàn)實(shí)問題或具體實(shí)物對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型”.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)，“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.”這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)；第二環(huán)節(jié)，“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)；最后一個(gè)環(huán)節(jié)，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義.

具體來講，數(shù)學(xué)模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數(shù)學(xué)模型舉例

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發(fā)現(xiàn)這類問題的一般規(guī)律，進(jìn)一步理解這類問題的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱”中有這樣一個(gè)問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉(zhuǎn)化為“如何在一條直線上找到一點(diǎn)，使其到直線同一側(cè)的兩點(diǎn)距離之和最短”的問題，即將這個(gè)實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并建立起兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其他的問題中呢？

模型應(yīng)用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個(gè)問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時(shí)，都是根據(jù)圖形軸對(duì)稱的特質(zhì)，利用軸對(duì)稱的原理，得到問題中的數(shù)學(xué)模型.讓學(xué)生體會(huì)如何從變化的背景中提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，并將已知的做法應(yīng)用到這些問題中，從而解決問題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學(xué)生，在元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對(duì)這個(gè)問題，我們可以做這樣的假設(shè)：第1個(gè)學(xué)生分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；第2個(gè)學(xué)生也分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學(xué)與其他39位同學(xué)握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時(shí)每?jī)扇酥g都握了兩次手進(jìn)行計(jì)算的.因此，按照題意，40個(gè)人每?jī)扇酥g握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學(xué)生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個(gè)點(diǎn)看做是上個(gè)問題中的5名學(xué)生；每構(gòu)成一條線段，即學(xué)生兩兩握手一次.而5個(gè)學(xué)生兩兩握手時(shí)，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個(gè)點(diǎn)共構(gòu)成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運(yùn)火車，中途?？咳齻€(gè)車站，問有多少種不同的票價(jià)？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級(jí)6個(gè)班進(jìn)行班級(jí)拔河比賽，第一輪采用單循環(huán)賽，問共需進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？

問題4：平面上有n個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不在一條直線上，那么過兩點(diǎn)畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個(gè)已知角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)出發(fā)，引n-2條射線，共組成多少個(gè)角？

在上述的問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些問題都是個(gè)體之間兩兩互相產(chǎn)生一次聯(lián)系，即我們可以把這些個(gè)體，如問題1中的每個(gè)火車站、問題2中的每個(gè)同學(xué)、問題3中的每個(gè)班級(jí)等，視作“握手問題”中的每個(gè)學(xué)生.問題互相之間產(chǎn)生的一次聯(lián)系，比如問題4中兩點(diǎn)之間畫出一條連線，問題5中每?jī)蓚€(gè)射線組成一個(gè)角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生建立“握手問題”的模型，為了加深對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學(xué)們互相贈(zèng)送卡片，我們班40名同學(xué)共需多少卡片？

問題2：一個(gè)n邊形的對(duì)角線共多少條？

問題1中，由于是互贈(zèng)卡片，所以總數(shù)量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個(gè)頂點(diǎn)只與（n-3）個(gè)頂點(diǎn)能連成對(duì)角線，所以結(jié)果顯然為n（n-3）2.在這兩個(gè)問題中，發(fā)生的背景還是題目中個(gè)個(gè)體與其他個(gè)體發(fā)生一次聯(lián)系，但是學(xué)生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質(zhì)，才能解決問題.

對(duì)于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數(shù)學(xué)建模的方法來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，并將學(xué)習(xí)的模型內(nèi)化為自己的能力，從而解決相關(guān)或者類似的問題.因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)將自己定位為學(xué)生解決問題的引導(dǎo)者，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）endprint

一、引言

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》同時(shí)指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的.

二、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等，都是數(shù)學(xué)模型.中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指“針對(duì)特定的現(xiàn)實(shí)問題或具體實(shí)物對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型”.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)，“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.”這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)；第二環(huán)節(jié)，“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)；最后一個(gè)環(huán)節(jié)，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義.

具體來講，數(shù)學(xué)模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數(shù)學(xué)模型舉例

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發(fā)現(xiàn)這類問題的一般規(guī)律，進(jìn)一步理解這類問題的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱”中有這樣一個(gè)問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉(zhuǎn)化為“如何在一條直線上找到一點(diǎn)，使其到直線同一側(cè)的兩點(diǎn)距離之和最短”的問題，即將這個(gè)實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并建立起兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其他的問題中呢？

模型應(yīng)用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個(gè)問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時(shí)，都是根據(jù)圖形軸對(duì)稱的特質(zhì)，利用軸對(duì)稱的原理，得到問題中的數(shù)學(xué)模型.讓學(xué)生體會(huì)如何從變化的背景中提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，并將已知的做法應(yīng)用到這些問題中，從而解決問題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學(xué)生，在元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對(duì)這個(gè)問題，我們可以做這樣的假設(shè)：第1個(gè)學(xué)生分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；第2個(gè)學(xué)生也分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學(xué)與其他39位同學(xué)握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時(shí)每?jī)扇酥g都握了兩次手進(jìn)行計(jì)算的.因此，按照題意，40個(gè)人每?jī)扇酥g握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學(xué)生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個(gè)點(diǎn)看做是上個(gè)問題中的5名學(xué)生；每構(gòu)成一條線段，即學(xué)生兩兩握手一次.而5個(gè)學(xué)生兩兩握手時(shí)，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個(gè)點(diǎn)共構(gòu)成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運(yùn)火車，中途停靠三個(gè)車站，問有多少種不同的票價(jià)？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級(jí)6個(gè)班進(jìn)行班級(jí)拔河比賽，第一輪采用單循環(huán)賽，問共需進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？

問題4：平面上有n個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不在一條直線上，那么過兩點(diǎn)畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個(gè)已知角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)出發(fā)，引n-2條射線，共組成多少個(gè)角？

在上述的問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些問題都是個(gè)體之間兩兩互相產(chǎn)生一次聯(lián)系，即我們可以把這些個(gè)體，如問題1中的每個(gè)火車站、問題2中的每個(gè)同學(xué)、問題3中的每個(gè)班級(jí)等，視作“握手問題”中的每個(gè)學(xué)生.問題互相之間產(chǎn)生的一次聯(lián)系，比如問題4中兩點(diǎn)之間畫出一條連線，問題5中每?jī)蓚€(gè)射線組成一個(gè)角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生建立“握手問題”的模型，為了加深對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學(xué)們互相贈(zèng)送卡片，我們班40名同學(xué)共需多少卡片？

問題2：一個(gè)n邊形的對(duì)角線共多少條？

問題1中，由于是互贈(zèng)卡片，所以總數(shù)量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個(gè)頂點(diǎn)只與（n-3）個(gè)頂點(diǎn)能連成對(duì)角線，所以結(jié)果顯然為n（n-3）2.在這兩個(gè)問題中，發(fā)生的背景還是題目中個(gè)個(gè)體與其他個(gè)體發(fā)生一次聯(lián)系，但是學(xué)生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質(zhì)，才能解決問題.

對(duì)于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數(shù)學(xué)建模的方法來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，并將學(xué)習(xí)的模型內(nèi)化為自己的能力，從而解決相關(guān)或者類似的問題.因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)將自己定位為學(xué)生解決問題的引導(dǎo)者，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）endprint

一、引言

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》同時(shí)指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的.

二、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等，都是數(shù)學(xué)模型.中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指“針對(duì)特定的現(xiàn)實(shí)問題或具體實(shí)物對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型”.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)，“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.”這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)；第二環(huán)節(jié)，“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”.在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)；最后一個(gè)環(huán)節(jié)，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義.

具體來講，數(shù)學(xué)模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數(shù)學(xué)模型舉例

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發(fā)現(xiàn)這類問題的一般規(guī)律，進(jìn)一步理解這類問題的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱”中有這樣一個(gè)問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉(zhuǎn)化為“如何在一條直線上找到一點(diǎn)，使其到直線同一側(cè)的兩點(diǎn)距離之和最短”的問題，即將這個(gè)實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并建立起兩者之間的聯(lián)系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其他的問題中呢？

模型應(yīng)用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個(gè)問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時(shí)，都是根據(jù)圖形軸對(duì)稱的特質(zhì)，利用軸對(duì)稱的原理，得到問題中的數(shù)學(xué)模型.讓學(xué)生體會(huì)如何從變化的背景中提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數(shù)學(xué)模型，并將已知的做法應(yīng)用到這些問題中，從而解決問題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學(xué)生，在元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對(duì)這個(gè)問題，我們可以做這樣的假設(shè)：第1個(gè)學(xué)生分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；第2個(gè)學(xué)生也分別與其他39位同學(xué)握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學(xué)與其他39位同學(xué)握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時(shí)每?jī)扇酥g都握了兩次手進(jìn)行計(jì)算的.因此，按照題意，40個(gè)人每?jī)扇酥g握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學(xué)生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個(gè)點(diǎn)看做是上個(gè)問題中的5名學(xué)生；每構(gòu)成一條線段，即學(xué)生兩兩握手一次.而5個(gè)學(xué)生兩兩握手時(shí)，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個(gè)點(diǎn)共構(gòu)成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運(yùn)火車，中途?？咳齻€(gè)車站，問有多少種不同的票價(jià)？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級(jí)6個(gè)班進(jìn)行班級(jí)拔河比賽，第一輪采用單循環(huán)賽，問共需進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？

問題4：平面上有n個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不在一條直線上，那么過兩點(diǎn)畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個(gè)已知角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)出發(fā)，引n-2條射線，共組成多少個(gè)角？

在上述的問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些問題都是個(gè)體之間兩兩互相產(chǎn)生一次聯(lián)系，即我們可以把這些個(gè)體，如問題1中的每個(gè)火車站、問題2中的每個(gè)同學(xué)、問題3中的每個(gè)班級(jí)等，視作“握手問題”中的每個(gè)學(xué)生.問題互相之間產(chǎn)生的一次聯(lián)系，比如問題4中兩點(diǎn)之間畫出一條連線，問題5中每?jī)蓚€(gè)射線組成一個(gè)角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學(xué)生建立“握手問題”的模型，為了加深對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學(xué)們互相贈(zèng)送卡片，我們班40名同學(xué)共需多少卡片？

問題2：一個(gè)n邊形的對(duì)角線共多少條？

問題1中，由于是互贈(zèng)卡片，所以總數(shù)量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個(gè)頂點(diǎn)只與（n-3）個(gè)頂點(diǎn)能連成對(duì)角線，所以結(jié)果顯然為n（n-3）2.在這兩個(gè)問題中，發(fā)生的背景還是題目中個(gè)個(gè)體與其他個(gè)體發(fā)生一次聯(lián)系，但是學(xué)生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質(zhì)，才能解決問題.

對(duì)于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的是要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數(shù)學(xué)建模的方法來培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，并將學(xué)習(xí)的模型內(nèi)化為自己的能力，從而解決相關(guān)或者類似的問題.因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)將自己定位為學(xué)生解決問題的引導(dǎo)者，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）endprint