陳 挺，黃文韜，2，馬皖川

(1.桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004;2.賀州學院 數(shù)學系，廣西 賀州 542800)

1989年，C.Chicone 與M.Jacobs［1］類比N.Bautin［2］研究了小振幅極限環(huán)的方法，首次提出了k 階細中心和局部臨界周期分支(簡稱臨界周期分支)的概念.在文獻［1］中，作者證明了奇點的臨界周期分支的一些定理，并研究了二次系統(tǒng)的臨界周期分支情況.林怡平與李繼彬［3］用復系統(tǒng)的方法研究了細中心和臨界周期分支，解決了不含二次項的三次復系統(tǒng)的臨界周期分支問題.文獻［4-5］也研究了不含二次項的三次系統(tǒng)原點的臨界周期分支問題.文獻［6］給出了一類三次Kukles系統(tǒng)的原點最多有三個臨界周期分支.張偉年等［7］討論了一類三次可逆多項式系統(tǒng)的情形.另外，文獻［8］也討論了一類特殊的三次系統(tǒng)的臨界周期問題.文獻［9-10］研究了Hamilton 系統(tǒng)的臨界周期問題.文獻［11-12］研究了Lénard 系統(tǒng)的臨界周期問題.對于臨界周期分支相關問題的研究還可見文獻［13-17］.

本文考慮如下一類三次系統(tǒng)原點的細中心和臨界周期分支問題

系數(shù)Ai，j，Bi，j(i=0，1，2，3;j=0，1，2)是實數(shù).

文獻［18］研究了系統(tǒng)(1)的中心條件，本文將利用文獻［19］定義的復自治系統(tǒng)的周期常數(shù)及遞推公式，得到該系統(tǒng)原點的細中心階數(shù)，并證明了該系統(tǒng)原點能分支出3 個臨界周期分支.

1 預備知識

考慮系統(tǒng)

式中:λ ∈Λ.在原點充分小的鄰域內，設P(h，λ)為系統(tǒng)(2)通過非零點(h，0)的閉軌的最小周期函數(shù).由文獻［1］得，P(h，λ)是局部可積的，其泰勒展開式為

對正整數(shù)k，如果存在λ*∈Λ，使得P2(λ*)=…=P2k(λ*)=0，P2k+2(λ*)≠0，則系統(tǒng)(2)的原點為k 階細中心(當k=0 時稱為粗中心);如果對任意的正整數(shù)m，都存在P2m=0，則原點為系統(tǒng)的等時中心.對于局部臨界周期分支有如下定義:

定義1 對于參數(shù)λ*∈Λ，系統(tǒng)(2)的原點為細中心，如果存在ε0＞0，使得任意0 ＜ε ＜ε0和每一個λ*的充分小鄰域W，存在一個λ1∈W，使得P'(h，λ1)在U=(0，ε)內有k 個解，則稱在λ*系統(tǒng)原點有k 個局部臨界周期分支.

定義2 考慮有限個函數(shù)的集合fi∶RN→R，i=1，2，…，l.記

稱f1，f2，…，fl相對于f 在λ*∈V(f1，f2，…，fl)是無關的.如果

(i)λ*的任意鄰域包含一個λ ∈V(f1，f2，…，fl)，使得fl(λ)f(λ)＜0;

(ii)對于變量V(f1，f2，…，fl)，2 ≤j ≤l -1，存在λ ∈V(f1，f2，…，fj)，fj+1(λ)≠0，且λ 的任一鄰域W 都包含一個σ ∈V(f1，f2，…，fj-1)，使得fj(σ)fj+1(λ)＜0;

(iii)若λ ∈V(f1)，f2(λ)≠0，則λ 的任一個鄰域W*都包含一個σ，使得f1(σ)f2(λ)＜0.

顯然，若f1，f2，…，fl相對于f 在λ*∈V(f1，f2，…，fl)是無關的，則任意λ ∈V(f1，f2，…，fk-1)使得fk(λ)≠0 時，對于每一個k=1，2，…，l，f1，f2，…，fk-1相對于fk是無關的;且若▽f1(λ*)，…，▽fl(λ*)，▽f(λ*)是線性無關，則f1，f2，…，fl在λ*下相對于f 是無關的.

引理1 設系統(tǒng)參數(shù)為λ*時，系統(tǒng)(2)的原點是一個k 階細中心，則至多有k 個臨界周期從原點分支出來;并且，若原點的周期常數(shù)P2，P4，…，P2k在λ*下相對于P2k+2是無關的，則對于滿足m≤k 的任意正整數(shù)m，恰好有m 個臨界周期分支.

從文獻［19］的定理5.4 可知，系統(tǒng)(2)原點的第一個非零周期常數(shù)P2k與其共軛復系統(tǒng)原點的第一個非零復周期常數(shù)τk滿足如下關系:

假設復周期常數(shù)τi由k 個線性無關的參數(shù)a1，a2，…，ak組成，即τi=τi(λ)=τi(a1，a2，…，ak).由文獻［10］的定理2 可以得到如下定理證明局部臨界周期存在的充分條件.

定理1 當存在λ*=(a1c，a2c，…，akc)時，使得

則通過λ=λ*的小擾動，系統(tǒng)(2)恰有k 個局部臨界周期分支.

2 細中心與局部臨界周期分支

通過變換

把系統(tǒng)(1)變換成它的伴隨復系統(tǒng)

記λ=(a30，b30，a21，b21，a12，b12，a02，b02)∈C8，根據(jù)文獻［18］中的定理4，可以得到系統(tǒng)(1)原點為中心的充要條件如下:

引理2 系統(tǒng)(1)的原點為中心(伴隨復系統(tǒng)(5)的原點為復中心)，當且僅當λ ∈K1∪K2∪K3，其中:

結合文獻［19-20］給出求系統(tǒng)周期常數(shù)的遞推算法，下面分別討論系統(tǒng)(1)原點在三種中心條件下的細中心條件及臨界周期分支的情況.

情形1 中心條件K1成立.把a21=b21，b12=3a30，a12=3b30代入文獻［19］中的遞推公式進行計算，可得系統(tǒng)(5)的前3 個復周期常數(shù)為

其中:在上述τk的計算過程中，已置 τ1=…=τk-1=0 (k=2，3).由上可以得到前3 個周期常數(shù)都為零，當且僅當下列條件成立:

且當λ ∈S1時，系統(tǒng)(5)變?yōu)榱司€性型系統(tǒng)，所以其原點為復等時中心.相應地，系統(tǒng)(1)的原點為等時中心.當0 時，τ1=τ2=0，τ3≠0.因此，在λ ∈K1時，系統(tǒng)(1)的原點至多是2 階細中心，并得到以下結論:

定理2 當λ ∈S1時，系統(tǒng)(1)的原點為等時中心.

定理3 當λ ∈K1時，系統(tǒng)(1)的原點至多是2 階細中心，而且原點是k(k=0，1，2)階細中心，當且僅當λ ∈其中:

定理4 如果λ*∈，在λ*下系統(tǒng)(1)在原點沒有臨界周期分支;如果λ*∈(k=1，2)，在λ*下系統(tǒng)(1)的原點至多有k 個臨界周期分支，且對于任意正整數(shù)m(0 ≤m ≤k)，系統(tǒng)的原點恰好有m 個臨界周期分支.

證明 定理4 的前半部分可根據(jù)引理1 直接得到，對于定理4 的后半部分，這里只做k=2 情形的證明.對任一λ*∈，需要證明P2，P4相對于P6是無關的.

設任意λ*∈即

對λ*的任一滿足的領域W，在其內可找到一點

其中:ε ＞0 充分小，sign(x)表示符號函數(shù).則有原點的周期常數(shù)滿足

因此，定義2 的條件(i)成立.

下面設

對于λ 的任一滿足的領域W'，存在

因此，定義2 的條件(iii)成立.證畢.

情形2 中心條件K2成立.把中心條件代入文獻［19］中的遞推公式進行計算，可得系統(tǒng)(5)的復周期常數(shù)，并化簡得到

1)當a30=b30=0 時，

由上可以得到前3 個周期常數(shù)都為零，當且僅當條件λ ∈S1.當時，有τ1=τ2=0，τ3≠0，則系統(tǒng)(1)的原點至多是2 階細中心.

借助Mathematica 軟件計算理想〈F1，F(xiàn)2〉的Groebner 基，有

從而得到F1=0 與F2=0 沒有公共實根，所以當F1=0，a30b30≠0 時，有τ3=0，τ4≠0.因此，在λ ∈K2時，系統(tǒng)(1)的原點至多是3 階細中心，并得到以下結論:

定理5 當λ ∈K2時，系統(tǒng)(1)的原點至多是3 階細中心，而且原點是k(k=0，1，2，3)階細中心，當且僅當λ ∈其中:

定理6 當λ*∈)時，系統(tǒng)(1)在λ*下原點最多存在k 個局部臨界周期分支.而且在λ*下，對任意的正整數(shù)m(0 ≤m ≤k)，恰好有m 個臨界周期從原點分支出來.

證明方法與定理4 的相同，只需要證明P2，P4，P6相對于P8是無關的，在此不再做證明.下面應用定理1 直接證明在K32 條件下，系統(tǒng)(1)的原點鄰域恰有3 個臨界周期分支.通過計算Jacobian行列式，由a30b30≠0 和333 +853q +412q2=0 可知

情形3 中心條件K3成立.把a21=b21=0，a12+b30=b12+a30=0 代入文獻［19］中的遞推公式進行計算，可得系統(tǒng)(5)原點的周期常數(shù)為

由上述可得，當a02=b02=0 時，τ1=τ2=τ3=…=0，該條件滿足文獻［21］中定理5 的條件三，故系統(tǒng)(1)的原點為等時中心;若a02b02≠0，則有τ1≠0，故系統(tǒng)(1)的原點是一個粗中心，系統(tǒng)原點鄰域沒有臨界周期分支.

定理7 當λ ∈S2時，系統(tǒng)(1)的原點為等時中心，其中:

定理8 如果λ*∈系統(tǒng)(1)的原點為一個粗中心，且在λ*下系統(tǒng)(1)的原點沒有臨界周期分支，其中:

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