蘇文獻(xiàn)， 許 伍

（上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

壓力容器通常是由板、殼組合而成的焊接結(jié)構(gòu)，是化工、石油、冶金、輕工、紡織等領(lǐng)域中廣泛使用的承壓設(shè)備［1－2］.在實際應(yīng)用中，設(shè)計的壓力容器總是存在過渡區(qū)（即不連續(xù)區(qū)域），如封頭與殼體焊接區(qū)、隔板與殼體焊接區(qū)及接管補(bǔ)強(qiáng)區(qū)等.在載荷作用下，過渡區(qū)由于變形不協(xié)調(diào)產(chǎn)生了附加的邊緣力和邊緣力矩，以及抵抗這種變形的局部應(yīng)力，導(dǎo)致這些區(qū)域的總應(yīng)力增大，出現(xiàn)了應(yīng)力集中現(xiàn)象，使得這些區(qū)域容易發(fā)生強(qiáng)度和疲勞失效.但是確定過渡區(qū)域理論解是有很大難度的，而且由于實驗的條件限制或者結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使得實驗測量非常困難和昂貴.有限元理論的發(fā)展克服了這些問題，目前國內(nèi)外諸多學(xué)者利用有限元法對多種結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析和優(yōu)化設(shè)計［3－5］.在傳統(tǒng)的容器設(shè)計領(lǐng)域中，為了保證容器的安全性，設(shè)計者總是想通過增加容器的壁厚以增強(qiáng)容器的承壓能力.隨著優(yōu)化分析設(shè)計方法概念的提出，在傳統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)上，進(jìn)行壓力容器的優(yōu)化設(shè)計越來越成為化工容器設(shè)計的趨勢.優(yōu)化設(shè)計是一種在滿足限制條件下尋找結(jié)構(gòu)最優(yōu)化的設(shè)計方法.本文應(yīng)用有限元軟件ANSYS結(jié)合優(yōu)化設(shè)計方法，對容器的過渡區(qū)域進(jìn)行應(yīng)力計算和優(yōu)化設(shè)計.

1 ANSYS優(yōu)化設(shè)計理論

優(yōu)化設(shè)計模塊OPT 是ANSYS軟件包集成的可以用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計分析的模塊，和APDL 語言一起發(fā)揮ANSYS優(yōu)化設(shè)計的功能.

1.1 設(shè)計優(yōu)化的3種變量

在ANSYS優(yōu)化設(shè)計過程中存在3種類型的變量：設(shè)計變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù).

優(yōu)化分析中的獨立變量是設(shè)計變量，設(shè)計變量可以表示成矢量形式

同時，設(shè)計變量受到多個具有上下限的約束條件的限制，即

狀態(tài)變量通常叫做可行的設(shè)計空間，用于約束設(shè)計變量.在可行性的設(shè)計空間中使得目標(biāo)函數(shù)最小化

約束

式中，f 為目標(biāo)函數(shù)；gi，hi，wi為狀態(tài)變量，頂線和底線分別表示上下限邊界；m1＋m2＋m3為狀態(tài)變量的個數(shù).

狀態(tài)變量也可以看作成獨立變量，當(dāng)然也隨著設(shè)計變量x的變化而變化.式（3）旨在使目標(biāo)函數(shù)f在式（2）～（6）約束下取得最小.

1.2 可行和不可行設(shè)計方案

滿足所有約束的方案是一個可行方案；若設(shè)計方案不滿足一個或幾個約束是一個不可行的方案.在預(yù)定義的可行性的分析空間內(nèi)，一個允差被加到每一個狀態(tài)變量限上，即

只要滿足式（8）、式（9）和式（11），設(shè)計被認(rèn)為是可行的，即

式中，αi，βi，γi為允差.

1.3 最優(yōu)化的設(shè)計方案

滿足以下兩個條件中的任一條件就是最優(yōu)化的設(shè)計方案：

a.當(dāng)存在一種或者多種可行方案時，最優(yōu)化的設(shè)計方案是使目標(biāo)函數(shù)最小的方案，也就是說，滿足式（3）～（6）的最接近數(shù)學(xué)目標(biāo)的方案.

b.當(dāng)所有的方案都是不可行的，最優(yōu)化的設(shè)計方案是最接近可行的方案而不考慮目標(biāo)函數(shù)值.

1.4 優(yōu)化方法

ANSYS的優(yōu)化模塊提供了兩種優(yōu)化方法：一階分析法和子問題逼近法.這兩種方法對于大多數(shù)實際問題已經(jīng)足夠，ANSYS還允許用戶提供外部的優(yōu)化算法.

1.4.1 子問題逼近法

子問題逼近法是一種先進(jìn)的零階方法，即只需要獨立變量而不需要獨立變量的導(dǎo)數(shù).本方法中，程序用曲線擬合來建立目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量之間的關(guān)系.每次優(yōu)化循環(huán)生成一個新的數(shù)據(jù)點，目標(biāo)函數(shù)完成一次更新.實際上是逼近被求解最小值而并非目標(biāo)函數(shù).狀態(tài)變量也是同樣處理的，每個狀態(tài)變量都生成一個逼近并在每次循環(huán)后更新.

1.4.2 一階分析法

一階方法同零階方法一樣，一階方法通過對目標(biāo)函數(shù)添加罰函數(shù)將問題轉(zhuǎn)換為非約束的.但是，與零階方法不同的是，一階方法將真實的有限元結(jié)果最小化，而不是對逼近數(shù)值進(jìn)行操作.一階方法使用因變量對設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù).在每次迭代中，梯度計算（用最大斜度法或共軛方向法）確定搜索方向，并用線搜索法對非約束問題進(jìn)行最小化.因此，每次迭代都有一系列的子迭代（其中包括搜索方向和梯度計算）組成.這就使得一次優(yōu)化迭代有多次分析循環(huán).

與零階方法相比，一階方法計算量大且結(jié)果精確，但是精確度高并不能保證最佳求解.一階方法可能在不合理的設(shè)計序列上收斂.這時可能是找到了一個局部最小值，或是不存在合理設(shè)計空間.如果出現(xiàn)這種情況，可以使用子問題逼近法，因其可以更好地研究整個設(shè)計空間.也可以先運(yùn)行隨機(jī)搜索確定合理設(shè)計空間（如果存在的話），然后以合理設(shè)計序列為起點重新運(yùn)行一階方法.

1.5 優(yōu)化工具

優(yōu)化工具是搜索和處理設(shè)計空間的技術(shù)，也可以當(dāng)作優(yōu)化方法使用.ANSYS提供了單步運(yùn)行法、隨機(jī)搜索法、乘子評估法、掃描法、梯度法等工具［6］.

1.6 優(yōu)化準(zhǔn)則

優(yōu)化準(zhǔn)則是控制優(yōu)化過程結(jié)束的條件.則在滿足下面各式中任一時，則認(rèn)為迭代收斂，于是迭代結(jié)束.

式中，τ，ρi 分別為目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量的允差；f（j），分別為目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量的當(dāng)前迭代結(jié)果和上 一步 迭代結(jié)果分別為當(dāng)前最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值和相應(yīng)的設(shè)計變量值.

如果式（12）～（15）都不滿足，若滿足以下條件時，則迭代終止.

式中，ns，Ns分別為當(dāng)前的迭代步和最大的設(shè)定迭代步.

2 ANSYS有限元分析及優(yōu)化設(shè)計

2.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)和計算參數(shù)

某高壓容器過渡結(jié)構(gòu)如圖1 所示，設(shè)計壓力p＝15 MPa，筒體長度H＝4 000 mm，筒體內(nèi)半經(jīng)R1＝1 500mm，壁厚t1＝200mm，球殼內(nèi)半經(jīng)R2＝1 550mm，壁 厚t2＝100 mm，彈 性 模 量E ＝200GPa，泊松比μ＝0.3.求當(dāng)L1和L2為何值時，該結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力強(qiáng)度I最小.

2.2 有限元模型

由于模型、載荷和約束都具有對稱性，可將模型簡化為軸對稱問題進(jìn)行分析.錐形段長度L1，L2初始值分別選定為筒體延長線與封頭相交和過渡段與封頭相切時的數(shù)值397，390mm，筒體建模長度H應(yīng)遠(yuǎn)大于邊緣應(yīng)力的衰減長度2.5，取1 400mm.采用自由網(wǎng)格形式，用四邊形單元183對結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分，得到有限元模型.該模型共有1 672個節(jié)點、479個單元.在球殼端面施加x 方向約束，筒體端面施加y方向約束，在容器內(nèi)壁施加內(nèi)壓，則帶邊界條件和載荷的有限元模型如圖2所示.

圖1 過渡結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic diagram of transition structure

圖2 帶邊界條件和載荷的有限元模型Fig.2 Finite element model under loads and boundary conditions

2.3 有限元分析結(jié)果

利用ANSYS后處理顯示功能可得到應(yīng)力強(qiáng)度分布云圖，如圖3所示（見下頁）.從圖上可以看出，最大應(yīng)力強(qiáng)度I出現(xiàn)在球殼和過渡段的內(nèi)壁面連接處，最大應(yīng)力強(qiáng)度為192MPa.過應(yīng)力強(qiáng)度最大點沿壁厚方向定義路徑，如圖4所示（見下頁）.提取該路徑上的應(yīng)力強(qiáng)度分布曲線，如圖5所示（見下頁）.可以看出，應(yīng)力強(qiáng)度沿著壁厚方向并非均勻分布，在連接處內(nèi)表面應(yīng)力強(qiáng)度最高，沿著壁厚向外方向應(yīng)力強(qiáng)度逐漸下降，到外面下降到最小值，符合受壓容器的應(yīng)力分布規(guī)律.

2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

不連續(xù)區(qū)成錐形過渡結(jié)構(gòu)，容易產(chǎn)生應(yīng)力集中.當(dāng)錐形段長度L1和L2變化到某一值，必能使過渡區(qū)應(yīng)力強(qiáng)度水平最低.因此目標(biāo)函數(shù)為過渡區(qū)的最大應(yīng)力強(qiáng)度Imax（L），設(shè)計變量選擇為錐形過渡段

圖3 應(yīng)力強(qiáng)度云圖Fig.3 Stress intensity contour

圖4 路徑Fig.4 Path

圖5 應(yīng)力強(qiáng)度分布曲線Fig.5 Distribution curve of stress intensity

長度L1和L2，根據(jù)文獻(xiàn)［7］，有

其中，Y＝（R1＋t1）－（R2＋t2）.L1的上限值應(yīng)為過渡段與封頭相切時的值，則

L2的上限值應(yīng)為筒體內(nèi)壁延長線和與封頭相交時的值，則

狀態(tài)變量為夾角a，見圖1，則a1和a2的范圍為

綜上所述，可得優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

式中，Imax（L1，L2）為筒體和封頭通過線性變厚段連接結(jié)構(gòu)的最大當(dāng)量應(yīng)力強(qiáng)度.

3 優(yōu)化設(shè)計分析結(jié)果

由于一階分析法容易產(chǎn)生局部最小值，本文采用隨機(jī)搜索法對壓力容器過渡段進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，最大迭代次數(shù)為50次，SET43 為最優(yōu)解.此時L1＝301.98mm，L2＝278.64mm，結(jié)構(gòu)最大的應(yīng)力強(qiáng)度I僅為171.75 MPa，比優(yōu)化前下降了10.6%，優(yōu)化效果明顯；同時也可以看出相切時設(shè)計不一定是最優(yōu)化的設(shè)計.目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化規(guī)律如圖6所示，目標(biāo)函數(shù)隨設(shè)計變量L1和L2的變化規(guī)律如圖7所示，優(yōu)化后的應(yīng)力強(qiáng)度分布云圖如圖8所示.從圖6和圖7可以看出，還存在一個次最優(yōu)解，此時I＝172.05 MPa.

圖6 目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化規(guī)律Fig.6 Variation of objective function with iteration times

圖7 目標(biāo)函數(shù)隨設(shè)計變量的變化規(guī)律Fig.7 Variation of objective function with design variable

圖8 優(yōu)化后的應(yīng)力強(qiáng)度分布云圖Fig.8 Stress intensity contour after optimization

4 結(jié) 論

首先利用ANSYS軟件對受壓容器的封頭和筒體過渡區(qū)進(jìn)行了有限元分析，得到應(yīng)力強(qiáng)度分布狀態(tài)；結(jié)果表明，最大應(yīng)力出現(xiàn)在過渡區(qū)與封頭的內(nèi)壁連接處.然后利用優(yōu)化分析模塊OPT 對過渡結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，最大應(yīng)力強(qiáng)度下降了10.6%，優(yōu)化效果明顯，表明局部結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計對壓力容器的設(shè)計起到了十分重要的作用，同時也可以觀察到結(jié)構(gòu)也可能同時存在幾種相差不大的次最優(yōu)結(jié)構(gòu).這對研究壓力容器或其它結(jié)構(gòu)的優(yōu)化具有一定的參考價值.

［1］鄭津洋，董其伍，桑芝富.過程設(shè)備設(shè)計［M］.3 版.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2010.

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［3］張愛玲，蔣嵐，成波.基于ANSYS 的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法［J］.工程結(jié)構(gòu)，2009，29（3）：146－150.

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［6］高要東，劉 學(xué) 杰.ANSYS 機(jī) 械 工 程 應(yīng) 用 精 華50 例［M］.3版.北京：電子工業(yè)出版社，2011.

［7］中國國家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會.GB 150.1～150.4－2011，壓力容器［S］.北京；中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2012.