萬 宸， 沈建琪， 郭露芳， 賈曉偉

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

透過率起伏頻譜法（TFS）采用窄光束作為入射光照射顆粒，由于顆粒對(duì)光的散射和吸收，透射光信號(hào)會(huì)產(chǎn)生劇烈的波動(dòng).通過對(duì)透射光信號(hào)進(jìn)行時(shí)間或空間平均處理，可獲得透過率期望值ETS［1－5］.改變平均參數(shù)，ETS 會(huì)形成一個(gè)頻譜，從該頻譜中可提取顆粒粒徑及濃度信息［4］.對(duì)于透過率起伏頻譜相關(guān)法則采用透過率起伏信號(hào)的自相關(guān)或互相關(guān)處理來代替信號(hào)平均處理［6－9］.在自相關(guān)技術(shù)中，只需用一束窄光束作為入射光，透過率信號(hào) T（t）隨時(shí)間變化，通過信號(hào)的自相關(guān)計(jì)算可以得到不同時(shí)間對(duì)應(yīng)的透過率的乘積T（t）T（t＋τ）.因此改變相關(guān)時(shí)間可得到ETP 自相關(guān)頻譜.這種方法被稱為透過率起伏頻譜時(shí)間相關(guān)法或自相關(guān)法（TFS－TC or TFS－AC）［7］.在互相關(guān)技術(shù)中，需要用到兩束窄光束作為入射光，相應(yīng)的ETP 為該兩束光透過率的乘積.改變兩束光的間距同樣可獲得ETP 互相關(guān)頻譜.這種技術(shù)被稱為透過率起伏頻譜空間相關(guān)法或互相關(guān)法（TFS－SC or TFS－CC）［9］.在時(shí)間相關(guān)法中，實(shí)驗(yàn)光路非常簡單，但是要通過該方法獲得顆粒粒徑及濃度信息，必須事先測量流體的流速，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果往往會(huì)受到測量區(qū)流速的影響，故透過率起伏頻譜時(shí)間相關(guān)法（TFS－TC）只適用于層流情況，這在很大程度上限制了該方法的應(yīng)用.對(duì)于透過率起伏頻譜空間相關(guān)法（TFS－SC）則不需要事先知道流體流速，但兩束光間距的機(jī)械調(diào)節(jié)需要在微米級(jí)范圍內(nèi)并且要求與信號(hào)采集同步，同時(shí)，兩束光的直徑和傳播方向應(yīng)完全一致，這在實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)［7］.

本文設(shè)計(jì)并實(shí)施了一種新的透過率起伏空間相關(guān)測量方法，該方法采用線光源照射待測樣品，用線陣CCD 傳感器接收透射光信號(hào)，經(jīng)過空間平均處理可得到空間相關(guān)譜，通過該頻譜可獲得顆粒粒徑、濃度、速度信息.

1 透過率起伏頻譜空間相關(guān)法的理論推導(dǎo)

根據(jù)層結(jié)構(gòu)模型［3］，三維顆粒系可看成是一系列單層顆粒的堆積，因此，三維顆粒系的透過率期望值ETS 和透過率乘積ETP 的計(jì)算可基于單層顆粒情況來描述

式中，ML 為顆粒層；NML為顆粒系統(tǒng)的層數(shù)，定義為［10］

式中，P 為結(jié)構(gòu)參數(shù)，且大于1.5；d 為顆粒直徑；Δz為顆粒系在入射光傳播方向上的厚度；Pd／1.5 為單層顆粒的厚度.

為方便研究，首先假設(shè)單層顆粒系含有粒度均一的完全吸收性球形顆粒，層厚度不小于顆粒粒徑.所有顆粒在層中隨機(jī)分布且不互相重疊，如圖1所示.

圖1 單層顆粒系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of the monolayer

據(jù)幾何光學(xué)原理，透過率可通過函數(shù)描述為

式中，N 為顆粒個(gè)數(shù)；rk為某個(gè)顆粒中心的坐標(biāo)，Heaviside函數(shù)定義為

對(duì)于矩形光束來說，透過率就是透射光強(qiáng)在光束橫截面上取空間平均，即

式中，Wx，Wy為矩形光束橫截面在x 和y 方向上的長度.這里矩形函數(shù)定義為

因此，對(duì)于間距為D 的兩束光，透過率相關(guān)乘積可表示為

式 中，A 為 層 面 積.根 據(jù)Rayleigh 原 理，ETP 在 傅里葉空間里表示為

假設(shè)兩束光間距D 沿y 方向，經(jīng)過一系列繁復(fù)的演算，可以得到通過單層顆粒的透過率相關(guān)乘積

式中，β 為層密度，表示球形顆粒在層面上的投影面積與層面積的比率［10］

式中，CV為顆粒系的體積分?jǐn)?shù).式（12）中，χ，ε 是特征函數(shù)，描述的是透過率起伏頻譜特征，其表達(dá)式為

式中，Δ＝d／x 為無因次光束間距（相關(guān)參數(shù)）；Λx＝Wx／d，Λy＝Wy／d 分別為在x 和y 方向上光束的無因次邊長；J1是Bessel函數(shù)是層結(jié)構(gòu)因子［11］.當(dāng)顆粒濃度足夠低時(shí)，式（12）可簡化為

因此，對(duì)于三維顆粒系統(tǒng)，同理可得

上述模型基于系統(tǒng)中所有顆粒具有相同的粒度（即單分散顆粒系）.對(duì)于多分散系顆粒系統(tǒng)，可將不同粒徑的顆粒劃分到相應(yīng)的粒徑區(qū)間，每個(gè)粒徑區(qū)間可看成單分散顆粒系.因此，多分散顆粒系的透過率可看作一系列不同的單分散系顆粒系的透過率的累積.式（19）可改為

2 特征函數(shù)的數(shù)值計(jì)算及討論

根據(jù)透過率起伏頻譜法原理，可以從透過率起伏頻譜中獲得顆粒粒徑信息.在低濃度情況下，透過率起伏頻譜主要由特征函數(shù)χ 來描述.圖2即給出了特征函數(shù)χ 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.當(dāng)光束直徑遠(yuǎn)小于顆粒粒徑（Λx＝Wx／d＝0，Λy＝Wy／d＝0）時(shí)，單個(gè)顆粒就能夠完全遮蓋住入射光，因此透過率信號(hào)為0或1，分別對(duì)應(yīng)在光束傳播路徑上此時(shí)有顆?；驘o顆粒情況.當(dāng)相關(guān)參數(shù)為零時(shí)（Δ＝0），透過率相關(guān)乘積ETP 就是透過率期望值ETS 本身，因此，由式（18）可得到

圖2 特征函數(shù)χ 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果Fig.2 Numerical results on the transition function

從圖2可以看到，在無限細(xì)光束（Wx＜＜d，Wy＜＜d）情況下，其中，Λx＝Λy＝0，當(dāng)Δ＝0時(shí)，χ＝1.這里相關(guān)參數(shù)為零意味著兩束光完全重合，此時(shí)兩束光信號(hào)完全相關(guān).隨著相關(guān)參數(shù)的增大，兩束光信號(hào)的相關(guān)性逐漸減小，因而特征函數(shù)χ 的值也逐漸減小.當(dāng)相關(guān)參數(shù)大于1時(shí)（D≥d），兩束光的透過信號(hào)相關(guān)性完全消失.此時(shí)，透過率相關(guān)乘積等于透過率平均值的平方.相應(yīng)的特征函數(shù)χ＝0.

當(dāng)特征函數(shù)降為零時(shí)，此時(shí)的相關(guān)參數(shù)的大小反映出顆粒的粒徑.同時(shí)，顆粒的濃度信息可從式（21）和式（22）中得到.因此，可從透過率起伏空間相關(guān)譜中獲得顆粒的粒徑及濃度信息.

圖3（見下頁）是特征函數(shù)χ 在不同的光束直徑情況下的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.圖3（a）中，Λx＝1.0，Λy從1變到10，圖3（b）中，Λy＝1.0，Λx從1變到10.從圖中可以看到，當(dāng)光束橫截面變大時(shí)，由于透過信號(hào)在光束橫截面上的空間平均，特征函數(shù)在Δ＝0 時(shí)的值逐漸減小，降低了透過率起伏頻譜的分辨率.綜上所0 述，在運(yùn)用透過率起伏頻譜空間相關(guān)法（TFS－SC）時(shí)，為提高分辨率，最好采用較小直徑的光束（光束直徑不遠(yuǎn)大于顆粒粒徑）.從圖3（a）中還可以看到，隨著光束在y方向上的長度Wy增加，譜線的折點(diǎn)會(huì)向相關(guān)參數(shù)值增大的方向漂移.而光束在x 方向上的長度Wx的改變則不會(huì)影響譜線的折點(diǎn).總的來說，當(dāng)D≥Wy＋d（或Δ≥Λy＋1）［12］時(shí)，透過率信號(hào)間的相關(guān)性完全消失.因此，在TFS－SC測量技術(shù)中，選擇合適的光束直徑對(duì)于顆粒粒徑的測量非常重要.

圖3 特征函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果Fig.3 Numerical results on the transition function

圖4給出了包含兩種不同粒徑顆粒分散系的透過率起伏頻譜的數(shù)值模擬結(jié)果.矩形光束邊長滿足Wx／Wy＝0.1.兩種顆粒粒徑分別為d1＝0.5Wy和d2＝5Wy，體積分?jǐn)?shù)分別為CV，1＝0.03 和CV，2＝0.1.從圖中可以看到，當(dāng)兩種顆粒粒徑比很大時(shí)（如d2／d1＝10），很容易在譜線上看到有兩個(gè)折點(diǎn)P1和P2.對(duì)于較小的顆粒（如粒徑信息），可以從譜線的左邊部分得到.同樣，對(duì)于較大的顆粒（如粒徑信息），可以從兩折點(diǎn)P1和P2之間那部分譜線中得到.當(dāng)然，圖4描述的是比較簡單的情況，對(duì)于多分散系顆粒系統(tǒng)，譜線中的折點(diǎn)不會(huì)這么明顯，需要用反演算法［13－14］來從譜線中提取粒徑分布和濃度信息.

圖4 雙分散系顆粒系統(tǒng)透過率起伏頻譜數(shù)值模擬結(jié)果Fig.4 Simulated transmission fluctuation spectrum for the Bi－modal particle dispersion

3 實(shí) 驗(yàn)

圖5給出測量光路圖，采用單模光纖激光器為光源，從激光器射出的光束經(jīng)擴(kuò)束器（由兩不同焦距的凸透鏡組成）擴(kuò)束后，透過狹縫光闌形成一束矩形光束，狹縫的邊長分別為Hx＝2mm 和Hy＝20mm.矩形光束經(jīng)過第一個(gè)柱面透鏡GL15－020－150后，在x方向上會(huì)聚而y方向上光束寬度不變.在柱面透鏡焦平面上形成一條與y軸平行的線光束，樣品池放置在該焦平面上，使得樣品池中的顆粒被線光束垂直照射，通過樣品池的透射光最后被另一個(gè)柱面透鏡GL15－020－100會(huì)聚在CCD傳感器上.實(shí)驗(yàn)中所測樣品為自制的海藻酸鈉球形顆粒［9］，為近似的單分散系顆粒，粒徑d＝2.75mm，測量時(shí)放入一個(gè)閉合的循環(huán)系統(tǒng)，循環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)力由真空氣泵（PCF5015N）提供且流速可調(diào).透射光的探測器采用線陣 CCD 傳感器（NEC 公司的型號(hào)μPD3575D，像素1024），其像元大小為14μm×14μm的正方形，兩相鄰像元中心的間距為14μm.

圖5 透過率起伏頻譜空間相關(guān)法實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 Experimental setup for the TFS technique with spatial correlation

實(shí)驗(yàn)分兩步進(jìn)行：第一步，未加入顆粒時(shí)測量透射光信號(hào)作為背景光信號(hào)；第二步，加入顆粒后的透射光信號(hào)測量.每一個(gè)像元的透過率Ti就是測量得到的透射光信號(hào)與背景光信號(hào)的比值，腳標(biāo)i 表示像元序號(hào)（i＝1，2，…，1024）.對(duì)于單次測量，對(duì)信號(hào)做互相關(guān)處理

相關(guān)光束間距取兩個(gè)像元的間距，即Dk＝14曲線就是所謂的透過率起伏空間相關(guān)譜.為了使測得的譜線更加穩(wěn)定，需要對(duì)透射光進(jìn)行多次測量然后求平均，實(shí)驗(yàn)中重復(fù)測量次數(shù)M ＝1000，即

由于線光束與y 軸平行，根據(jù)幾何光學(xué)原理，該線光束在y 方向上可看成由許多細(xì)光束疊加而成，每束細(xì)光束在y 方向上的長度Wy正好等于像元的邊長（Wy＝0.014 mm）.光束在x 方向上的長度Wx隨著光束的傳播，變化相對(duì)比較復(fù)雜.狹縫光闌的開口寬度Hx＝2 mm，第一個(gè)柱面透鏡的焦距f＝150 mm，根據(jù)夫瑯和費(fèi)衍射，矩形光束在x 方向上的寬度Wx在焦平面位置為0.07 mm，這里所用激光波長λ＝0.658μm，水的折射率n＝1.33，測量區(qū)的厚度Δz＝10 mm.實(shí)驗(yàn)中考慮到光束的寬度Wx在測量區(qū)中并非均勻，而是先會(huì)聚后發(fā)散，因此，通過計(jì)算得到Wx在測量區(qū)中的平均值遠(yuǎn)小于所測顆粒的粒徑（2.75 mm）.在測量區(qū)中矩形光束的橫截面積近似等于10－3mm2，同樣遠(yuǎn)小于所測顆粒的投影面積（σP＝πd2／4＝5.9 mm2），滿足原理中所要求的光束直徑遠(yuǎn)小于待測顆粒粒徑.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 不同顆粒濃度情況

圖6給出了不同顆粒體積分?jǐn)?shù)下的測量結(jié)果.在圖6（a）中，可以看到頻譜轉(zhuǎn)折點(diǎn)位于Dk＝3mm附近，接近所測樣品顆粒的粒徑（d＝2.75mm），該差別可能源于光束在y 方向上的不嚴(yán)格平行；轉(zhuǎn)折點(diǎn)右側(cè)譜線有輕微的振蕩.

圖6 透過率起伏頻譜空間相關(guān)法測量不同濃度顆粒的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results on the transmission fluctuation spectra under different particle concentrations

圖6（a）中譜線高度反映了顆粒的濃度信息.此時(shí)系統(tǒng)在x 方向的流速為7.5L／min.根據(jù)式（19）可知透過率起伏頻譜與顆粒體積分?jǐn)?shù)成正比，即透過率起伏頻譜與相應(yīng)的體積分?jǐn)?shù)之比曲線應(yīng)互相重合，如圖6（b）所示.實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論基本吻合，除了在低體積分?jǐn)?shù)（3.2%）時(shí)的結(jié)果.這可能是由于測量區(qū)的顆粒濃度在很大程度上受流場情況影響.在上述測量過程中，由于顆粒在x 方向流速較慢，使得顆粒在循環(huán)系統(tǒng)中分布不均勻，在測量區(qū)形成顆粒的堆積，因而導(dǎo)致圖6（b）中的偏差.

4.2 不同顆粒流速和流向情況

實(shí)驗(yàn)還測量了顆粒濃度恒定時(shí)顆粒系統(tǒng)在不同流速和不同流向時(shí)的透過率起伏頻譜.測量結(jié)果見下頁圖7（a），此時(shí)顆粒流向沿x 軸方向，體積分?jǐn)?shù)為6.3%.可以看到，不同流速情況下透過率起伏頻譜基本重合.

當(dāng)改變顆粒在測量區(qū)中的流動(dòng)方向，測得透過率起伏頻譜見下頁圖7（b）.此時(shí)，系統(tǒng)體積分?jǐn)?shù)為3.2%，顆粒流速為7.5L／min.可以看到，所得譜線基本不變.

圖7 不同流速和流向下的透過率起伏頻譜Fig.7 Transmission fluctuation spectra measured in different flow velocities and directions

在不同顆粒濃度、不同流速和流向情況下測量得到的透過率起伏頻譜表明：測量結(jié)果和理論相吻合，證明了空間相關(guān)法顆粒測量技術(shù)不受流場的影響.

5 結(jié) 論

設(shè)計(jì)并實(shí)施了一種新的透過率起伏頻譜空間相關(guān)法顆粒測量裝置.該裝置的核心就是用線光束作為入射光照射顆粒，從而省去了空間相關(guān)法中兩束光間隔的機(jī)械操作，在很大程度上提高了測量效率和精度，使得透過率起伏空間相關(guān)頻譜法顆粒測量技術(shù)在實(shí)際中得以實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論的可行性，透過率起伏頻譜不僅能夠反映出顆粒粒徑及濃度信息，而且證明了透過率起伏頻譜空間相關(guān)法（TFS－SC）顆粒測量技術(shù)不受流場流速和流向的影響.需要指出，測量過程中采用線光束作為入射光且顆粒粒徑比較大的情況.光束在y 軸方向的寬度維持不變，因此光束在y 軸方向上的尺寸和CCD 傳感器像元幾乎一致.對(duì)于測量較小顆粒，可以考慮在y軸方向上發(fā)散線光束作為入射光，這將在后續(xù)研究中討論.此外，本文實(shí)驗(yàn)中所測量的是單分散系顆粒，后續(xù)研究將考慮多分散系小顆粒情況.

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