胡志煒

（柯達(dá)電子（上海）有限公司，上海 201206）

0 引言

采用CTP（compute to plate）直接制版［1］技術(shù)可以減少“印前拼版、曬版、拷貝等比較復(fù)雜工序”，不但提高了印刷的效率和速度，而且實(shí)現(xiàn)了數(shù)字頁面向印版的直接轉(zhuǎn)換，整個(gè)印前過程實(shí)現(xiàn)數(shù)字化，并逐漸滲透至各種印刷行業(yè)［2］。據(jù)“報(bào)協(xié)印刷工作委員會于2011 年度對中國報(bào)業(yè)印刷總印量統(tǒng)計(jì)中，共有139 家報(bào)業(yè)提供了有效數(shù)據(jù)，在這139 家報(bào)業(yè)印刷廠中，配有CTP 設(shè)備的已達(dá)116 家，CTP總制版量約為918 萬張［3］”。從這些數(shù)據(jù)中已看出CTP 設(shè)備在國內(nèi)已遍地開花。報(bào)業(yè)印刷最大特點(diǎn)就是出版速度快，講究時(shí)效性。因此提高CTP 設(shè)備的出版速度已是箭在弦上，哪家公司開發(fā)的CTP 設(shè)備速度快、質(zhì)量高，已成為了當(dāng)前CTP 設(shè)備銷售的競爭條件。

CTP 制版質(zhì)量的控制一直是各廠家關(guān)注的問題，其中成像輥筒就是控制CTP 制版質(zhì)量的核心機(jī)構(gòu)之一。輥筒在旋轉(zhuǎn)過程中任一質(zhì)點(diǎn)均會產(chǎn)生離心力，繼而形成慣性力系；又因?yàn)樾枰趯?shí)際制版需求，輥筒的質(zhì)量分布不均勻而致使輥筒各質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的慣性力無法相互抵消；從而導(dǎo)致輥筒表面的應(yīng)力分布不均勻，表面將產(chǎn)生一定的變形，表面的微小變形都會影響成像質(zhì)量。再加上軸承的高速旋轉(zhuǎn)也會帶來微小振動，而這些輕微振動將造成成像質(zhì)量的下滑。因?yàn)檩佂脖砻婕鞍娌陌l(fā)生變形，成像光點(diǎn)位置超過焦深范圍，不能準(zhǔn)確聚焦到版材表面的感光層上，產(chǎn)生模糊光點(diǎn)。除了成像質(zhì)量問題以外，對輥筒進(jìn)行動力學(xué)［4］分析可以找出輥筒的固有頻率，計(jì)算出輥筒的N階臨界轉(zhuǎn)速，從設(shè)計(jì)角度保證成像質(zhì)量，杜絕失穩(wěn)現(xiàn)象，避免共振產(chǎn)生，同時(shí)降低高轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的噪聲。因此對輥筒的振動分析尤其重要。提高出版速度，就不得不加大激光頭功率和輥筒的轉(zhuǎn)速。從公司利益的角度來看，針對輥筒高轉(zhuǎn)速動力學(xué)分析是非常有必要的。

1 有限元法動力學(xué)理論和臨界轉(zhuǎn)速的確定

利用有限元法進(jìn)行輥筒動力學(xué)分析，需先分析單元特性，其目的是分析單元節(jié)點(diǎn)力、位移、速度和加速度之間的聯(lián)系。然后通過局部坐標(biāo)系變換為整體坐標(biāo)系，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)點(diǎn)平衡方程組。

設(shè)單元的位移函數(shù)為de=Nδe，其中de表示單位位移函數(shù)向量，N 表示形函數(shù)矩陣，δe表示單元節(jié)點(diǎn)位移向量，其中de和δe都是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。將式de=Nδe對時(shí)間一階求導(dǎo)，可以得出單位內(nèi)任意點(diǎn)的速度（de）′＝N（δe）′。將式de=Nδe對時(shí)間二階求導(dǎo)，可以得出單位內(nèi)任意點(diǎn)的加速度為（de）″＝N（δe）″。根據(jù)達(dá)朗貝原理，“對于任意物理系統(tǒng)，所有慣性力或施加的外力，經(jīng)過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合等于零”［5］。因此可以得出在輥筒旋轉(zhuǎn)時(shí)，將其慣性力Fem 施加在單元上，則單元處于動平衡狀態(tài)，因此可以將其轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題。單元內(nèi)任一點(diǎn)作用的單位體積的慣性力可以表示成

式中，ρ 表示單元質(zhì)量密度，負(fù)號表示該點(diǎn)慣性力的方向與加速度方向相反。

其中，c 是阻尼系數(shù)，單位速度下單位體積上的阻尼力，負(fù)號表示該點(diǎn)的阻尼力與速度方向相反。

由于單元在受力情況下發(fā)生了虛位移Δde=NΔδe，其中Δde表示單元虛位移，Δδe表示結(jié)點(diǎn)虛位移。根據(jù)虛功原理可以得出

將式（1）、式（2）代入式（3）得外力虛功：

內(nèi)力虛功為∫VσeεedV，因?yàn)橥饬μ摴Φ扔趦?nèi)力虛功，可求得：

公式兩端左乘（NΔδe）-1和右乘（NΔδe）-1，同時(shí)因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)處的形函數(shù)矩陣為單位陣，且NΔδe是正交矩陣（正交坐標(biāo)系），因此可以得出：

等式兩邊同時(shí)去掉Δ（δe）T，且由于δe、（δe）′、（δe）″和坐標(biāo)無關(guān)。因此式（6）可寫為

根據(jù)式（7）可知節(jié)點(diǎn)上的作用力共分為兩類，一是作用于節(jié)點(diǎn)上的外載荷，另一個(gè)是相關(guān)單元對該節(jié)點(diǎn)的作用力，節(jié)點(diǎn)在這些力的作用下處于動平衡狀態(tài)?？梢詫⑹綄懗赏ㄓ脛恿W(xué)方程式F＝Kδ＋Cδ′＋Mδ″，式中：F為結(jié)構(gòu)的整體載荷向量，是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；C為結(jié)構(gòu)的整體阻尼矩陣；M為結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣；δ為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量矩陣；δ′為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)速度向量矩陣；δ″為節(jié)點(diǎn)加速度向量矩陣；

單元質(zhì)量陣、剛度陣、阻尼陣建立后，并根據(jù)坐標(biāo)變換后組成總質(zhì)量陣、總剛度陣和總阻尼陣。然后對邊界條件進(jìn)行支承條件處理。劃分單元時(shí)，最好使支承點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)重合，以得到較為精確解。支承若為剛性支承，則該節(jié)點(diǎn)的線位移和角位移均為0，若為彈性支承，并已知彈性支承的剛度系數(shù)為Kc，則應(yīng)在總剛度矩陣［K］中，相對應(yīng)于此支承處的對角元素上加上Kc即可。有時(shí)還需要考慮到軸承剛度Kb、軸承支座Ks以及基礎(chǔ)剛度（除了以上剛度外的所有剛度，比如機(jī)架底座等）Kg，則此組合系統(tǒng)剛度Kc為

輥筒的臨界轉(zhuǎn)速即為輥筒的橫向振動固有頻率，根據(jù)轉(zhuǎn)子的通用動力方程式F＝Kδ＋Cδ′＋Mδ″及標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)解［6-7］的形式x=Xeiωt，其中當(dāng)F、C 均為0 時(shí)，對應(yīng)固有頻率ω 和相應(yīng)的模態(tài)向量X，可得出

固有頻率即為M-1K 的特征值的平方根。若考慮阻尼，則C 不為0，但F 需為0，就可以得出考慮剛度和阻尼情況下，輥筒真實(shí)的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速。

2 輥筒動態(tài)特性分析

輥筒在旋轉(zhuǎn)過程中形成固定振源，不同的角速度將對應(yīng)不同的頻率和振型。當(dāng)振源頻率接近輥筒旋轉(zhuǎn)的固有頻率時(shí)，將產(chǎn)生共振現(xiàn)場。共振時(shí)激光頭無法在版材上進(jìn)行有效的聚焦，版材上將出現(xiàn)白線、抖動、畫面失真、鬼影等現(xiàn)象，對印版質(zhì)量產(chǎn)生嚴(yán)重影響。因此研究輥筒的固有特性和振型將有利于在設(shè)計(jì)中避免共振問題的發(fā)生。

由于軸承座、滾動軸承及滾動軸承中的油膜都是彈性體，剛度不可能無窮大，支承剛度的不同將導(dǎo)致輥筒的變形量、臨界轉(zhuǎn)速和振型都會發(fā)生變化。且支承剛度越小，臨界轉(zhuǎn)速就越低。同時(shí)輥筒在轉(zhuǎn)動過程中，軸承內(nèi)部的摩擦阻尼和油膜阻尼也會對輥筒產(chǎn)生一定的影響。因此輥筒的模態(tài)分析需要考慮軸承的剛度和阻尼，分析其結(jié)構(gòu)振動，求出結(jié)構(gòu)固有頻率和振型。分析輥筒結(jié)構(gòu)特征首先需要建立有限元分析模型，通過有限數(shù)目單元，建立數(shù)學(xué)方程分別計(jì)算各個(gè)單元的受力和變形狀況，最后匯總成整個(gè)有限元模型的應(yīng)力和位移分布云圖，并可通過模態(tài)提取方法—分塊蘭索斯法Block Lanczos 求出輥筒的N階極限轉(zhuǎn)速和相對應(yīng)的振型。

由于輥筒的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，在Ansys 中建模比在專業(yè)的三維制圖軟件如Pro/E、SolidWorks、UG 和Ideas 較為困難。因此采用專業(yè)的三維軟件可以彌補(bǔ)Ansys 在建模方面的不足。本文采用在SolidWorks 中建模，如圖1 所示。然后將模型保存成Parasolid 的X_T格式，完整地導(dǎo)入到Ansys 中，最后完成所需的有限元分析。組件在導(dǎo)入前需在SolidWorks中檢測是否有裝配干涉，否則在Ansys 中容易造成無法對裝配干涉件進(jìn)行網(wǎng)格劃分。Ansys Workbench 會自動掃描，建立接觸，然后只需設(shè)置接觸對就可以了。

模型在從SolidWorks 轉(zhuǎn)換到Ansys Workbench 中為了保證尺寸一致，需要設(shè)定單位。定義mm為長度單位，kg為質(zhì)量單位，N為力單位，s為時(shí)間單位。輥筒長度為1 708 mm、直徑為459.2 mm，軸承采用的是NSK 生產(chǎn)的深溝球軸承，型號為6208，其寬度為18 mm、內(nèi)徑為40 mm、外徑為80 mm。輥筒缸體和左右端蓋均采用鋁合金6061-T6 材料，其彈性模量為軟件默認(rèn)的7.1×104MPa，密度也是默認(rèn)的2.77×103kg/m3，泊松比為0.33。軸承材料為高碳鉻軸承鋼，彈性模量采用2.0×105MPa，密度采用7.85×103kg/m3，泊松比采用0.3。然后通過Ansys Workbench 對左右端蓋、輥筒缸體及軸承進(jìn)行材料分配。材料分配完畢后，需要對端蓋和缸體設(shè)置連接方式。由于端蓋和缸體之間沒有滑動，因此采用bond 的模式。為了簡化阻尼模型，因此將摩擦阻尼和油膜阻尼認(rèn)為是只具備摩擦系數(shù)的阻尼模型。外圈和滾珠之間、滾珠和內(nèi)圈之間及保持架和滾珠之間均采用摩擦連接模式，摩擦系數(shù)為0.002，如圖2所示。隨后需對輥筒進(jìn)行網(wǎng)格劃分。由于缸體特征較多且較復(fù)雜，采用混合網(wǎng)格進(jìn)行劃分可在幾何模型上，根據(jù)各部位的特點(diǎn)，分別采用自由、映射、掃略等多種網(wǎng)格劃分方式，形成綜合效果盡量好的有限元模型。網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)量達(dá)180 005 個(gè)，單元數(shù)量達(dá)98 596 個(gè)，如圖3 所示。最后設(shè)置邊界條件，由于輥筒旋轉(zhuǎn)是軸承外圈轉(zhuǎn)動，內(nèi)圈固定不動。因此將內(nèi)圈的位移設(shè)為零，保持架和外圈設(shè)為徑向（Y 方向和Z 方向）自由，軸向（X 方向）位移為零，旋轉(zhuǎn)自由度Y 方向和Z 方向均為零，X 方向自由，如圖4 所示。完成所有設(shè)置后，進(jìn)行模態(tài)分析。

圖1 輥筒和軸承動力學(xué)模型

圖2 接觸方式設(shè)置

圖3 輥筒和軸承組件的網(wǎng)格劃分

圖4 邊界條件的設(shè)定

3 模態(tài)分析及運(yùn)行結(jié)果

Ansys Workbench 根據(jù)有限元法動力學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型，經(jīng)計(jì)算得到輥筒組件的固有頻率及位移變化，通過縮放比例查看變形的位置。圖5 和表1 顯示的是輥筒前6階模態(tài)振型和固有頻率。由于沒有限制繞X 軸的轉(zhuǎn)動，因此第一階振型是剛體運(yùn)動的振型，其特點(diǎn)是輥筒表面的變形量一致，第二階的振型轉(zhuǎn)化為撓性體運(yùn)動的振型。

圖5 輥筒組件前六階模態(tài)振型

表1 前六階輥筒固有頻率和最大變形位移

4 輥筒靜態(tài)分析

從輥筒的固有頻率可以看出第二階模態(tài)固有頻率為245.84Hz，則其轉(zhuǎn)速為245.84×60＝14 750.4 r/min，已經(jīng)超出了軸承6208 的極限轉(zhuǎn)速8500r/min。同時(shí)考慮到激光在版材上連續(xù)曝光的速度，及輥筒在旋轉(zhuǎn)時(shí)的振動值不能超過20 μm，需對輥筒進(jìn)行靜態(tài)分析。分析結(jié)果中輥筒位移分布云圖如圖6 所示，應(yīng)力分布云圖如圖7 所示。從分析的結(jié)果可知輥筒振動在不超過20 μm 時(shí)的最大轉(zhuǎn)速為891.02 r/min。其對應(yīng)的最大應(yīng)力值為2.367 9 MPa 遠(yuǎn)小于輥筒材料鋁合金6061-T6 的屈服強(qiáng)度55.2 MPa。目前此輥筒已用在柯達(dá)CTP 設(shè)備中，考慮到零部件的加工制造誤差，將實(shí)際的工作轉(zhuǎn)速設(shè)定為500 r/min。

圖6 輥筒位移分布云圖

圖7 輥筒應(yīng)力分布云圖

5 結(jié)論

通過對成像輥筒模態(tài)分析，利用SolidWorks 建立有限元模型，并導(dǎo)入至Ansys Workbench 中進(jìn)行模態(tài)分析，得到輥筒前六階臨界轉(zhuǎn)速和振型。其中第一階振型為剛性模態(tài)，第二階振型轉(zhuǎn)化為撓性模態(tài)，雖然軸承所能承受的最大轉(zhuǎn)速低于二階臨界轉(zhuǎn)速，但遠(yuǎn)高于在滿足成像質(zhì)量前提下的891.02 r/min 轉(zhuǎn)速，輥筒不會產(chǎn)生共振現(xiàn)象。在對成像輥筒進(jìn)行靜態(tài)分析，可得到輥筒承受的最大應(yīng)力低于材料的屈服強(qiáng)度，滿足制版設(shè)備的功能要求。

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