李強
在解分式方程時通常都是先把分式方程去分母,轉(zhuǎn)化成整式方程,然后求整式方程的解,求解后還要進(jìn)行驗根。那么在教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常會有這樣的疑問:解分式方程為什么必須要驗根呢?增根是如何產(chǎn)生的?增根是分式方程所特有的嗎?
分式方程的根與增根
能夠使分式方程成立的未知數(shù)的值叫分式方程的根;增根是在分式方程化為整式方程的過程中,若整式方程的根使最簡公分母為0(根使整式方程成立,而在分式方程中分母為0),那么這個根叫做原分式方程的增根。
例題1:解方程 ①
解:兩邊同乘以(x+3)(x-3),得
(x+3)(x-3)-18=3(x-3) ②
解這個方程得:x1=-3,x2=6
檢驗:當(dāng)x=-3時,(x+3)(x-3)=0,所以x=-3不是原方程的解;
當(dāng)x=6時,(x+3)(x-3)≠0,左邊=,右邊=,左邊=右邊。
所以:x=6是原方程的解。
說明:顯然,方程①中未知數(shù)的取值范圍是x≠3且x≠-3,而在去分母化為方程②后,此時未知數(shù)x的取值范圍擴大為全體實數(shù),所以求得的x值恰好使最簡公分母為0,x的值就是增根。本題中方程②的解x=-3,恰好使公分母為0,所以x=-3是方程的增根,x=6是原方程的解。
增根是如何產(chǎn)生的
從例題1可以看出x=-3雖然是整式方程的根,但卻使得最簡公分母為0,所以不是分式方程的根,而是原分式方程的增根。也就是說,所得的整式方程與原方程已經(jīng)不是同解方程了。那么,增根就是在去分母的過程中產(chǎn)生的。其實,去分母的依據(jù)是等式基本性質(zhì),即在等式的兩邊同時乘以一個不為0的整式,等式仍然成立,而在例題中兩邊同乘的是一個含有未知數(shù)x的整式,也就不能保證它的值一定不為0,我們?nèi)シ帜傅臅r候就已經(jīng)默許了條件(x+3)(x-3)≠0,才得到整式方程。即所得的整式方程與原方程已經(jīng)不是同解方程,這樣便產(chǎn)生了增根。
例題2:使關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根的a的值是多少呢?
要正確解答此題就要理解增根是如何產(chǎn)生的,增根是去分母后的整式方程的根,是使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值。
解:去分母并整理,得:
(a2-2)x-4=0
因為原方程的增根為x=2,
把x=2代入(a2-2)x-4=0,
得a2=4
所以a=±2
說明:做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根,最好將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值。其實也不僅是分式方程可以產(chǎn)生增根,類似的,可想到若在整式方程(x+3)=0兩邊同時乘以(x-4),得到(x+3)(x-4)=0也同樣會產(chǎn)生增根。由此可知,增根并不是分式方程特有的。
解分式方程如何避免增根
以例題1為例,可將原方式方程通分整理如下:
對于上式中,當(dāng)(x+3)=0時,分式的分母等于0,此時,分式無意義,所以(x+3)≠0;那么可以繼續(xù)化簡為,即(x-6)=0,得x=6。也就是說,我們可以先把方程的一切非零項移到左邊,通過恒等變形將方程的左邊化成一個分式,右邊是零的形式。然后,再找出分子分母的公因式并約去,就可以得到一個新方程并且與原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根,避免了增根的產(chǎn)生。
不容忽視的增根
分式方程的增根問題與一元二次方程根的幾種情況相結(jié)合會使問題更加復(fù)雜化,也使得這一類問題的答案對學(xué)生們而言更加的撲朔迷離。下面通過幾個例題解析一下與增根有關(guān)的此類問題。
例題3:當(dāng)k為何值時,方程只有一個實數(shù)根,并求出此實數(shù)根。
解:原方程可化為:x2+2x-k=0
(1)要原方程只有一個實數(shù)根,只要方程x2+2x-k=0有兩個相等的實數(shù)根,且不為原方程的增根,所以由Δ=4+4k=0,得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0,解之得x1=x2=-1
(2)要原方程只有一個實數(shù)根,只要方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根且其中有一個是原方程的增根,
所以由Δ=4+4k>0,得k>-1。
又原方程的增根為x=0或x=1,把x=0或x=1分別代入x2+2x-k=0,得k=0,或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0,解之得x1=0(增根),x2=-2;把k=3代人x2+2x-k=0,解之得x1=1(增根),x2=-3。
綜上所述,原方程的根為:
(a)當(dāng)k=-1時,原方程只有一個實數(shù)根x=-1;(b)當(dāng)k=0時,原方程只有一個實數(shù)根x=-2;(c)當(dāng)k=3時,原方程只有一個實數(shù)根x=-3。
在分式方程教學(xué)中,教師要深入鉆研教材,全面完整地分析分式方程的增根是如何產(chǎn)生的,并引導(dǎo)學(xué)生正確理解、完整掌握、準(zhǔn)確解答分式方程的增根問題,從而真正提高學(xué)生的解題能力,提高教學(xué)效果。
(作者單位:江蘇省昆山市兵希中學(xué))endprint