吳含章

拋物運(yùn)動(dòng)指物體以一定的初速度拋出后，在地面附近不大的范圍內(nèi)僅在重力作用下的運(yùn)動(dòng).依據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)學(xué)中常將較為復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為某兩個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng).

分解思路一拋物運(yùn)動(dòng)僅受重力，拋物運(yùn)動(dòng)最常見(jiàn)的分解方法分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向a=g的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

例1在水平地面上將小球以與地面成θ角的初速度v斜向上拋出，求該小球上升的最大高度和水平射程分別是多少？

解析該小球的運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向以vx=vcosθ的勻速直線運(yùn)動(dòng)

豎直方向以vy0=vsinθ為初速度的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

運(yùn)行時(shí)間t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具體問(wèn)題中根據(jù)題意的需要也可將拋物運(yùn)動(dòng)分解成豎直平面內(nèi)相互垂直的任意兩個(gè)方向，加速度g、速度v等矢量均沿著兩個(gè)方向正交分解.

例2如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處，以水平速度v0拋出一小球，落在斜面上B處，求①小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離斜面的最大距離.②A、B兩點(diǎn)間的距離為多大？

解析題中所待求的最大距離是垂直于斜面方向的最大高度，應(yīng)當(dāng)分解為垂直于斜面和沿斜面兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知應(yīng)當(dāng)講初速度v0和加速度g分別沿這兩個(gè)方向分解，如圖2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos為初速度，以ax=gsinθ為加速度的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ為初速度，以ay=-gcosθ為加速度的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)運(yùn)行時(shí)間t=vy0ax=vsinθgcosθ時(shí)小球垂直于斜面方向的速度減小為零，有離斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升過(guò)程和下落過(guò)程的對(duì)稱性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作拋物運(yùn)動(dòng)的物體的共同特點(diǎn)是加速度相同，其加速度恒為豎直向下的重力加速度.因此，當(dāng)研究多個(gè)拋體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，以自由下落的物體為參照物，則各物體的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，這種選擇參照物的方法，能大大簡(jiǎn)化各物體運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的聯(lián)系，使許多看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀.

例3如圖4所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個(gè)方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度拋出A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，問(wèn)1s后A、B相距多遠(yuǎn)？

解析這道題可以取一個(gè)初速度為零，加速度為g的參考系.在這個(gè)參考系中，A、B二個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而且方向互相垂直，它們之間的距離

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空間某一點(diǎn)O，向三維空間的各個(gè)方向以相同的速度v0射出很多個(gè)小球，球t秒之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個(gè)小球之間的距離是多少（假設(shè)t秒之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，要考慮向各個(gè)方向射出的小球的情況.但如果我們?nèi)∫粋€(gè)在小球射出的同時(shí)開(kāi)始自O(shè)點(diǎn)自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上，球的半徑是v0t，那么離得最遠(yuǎn)的兩個(gè)小球之間的距離自然就是球的直徑2v0t.

例4如圖5，彈性小球自高出斜面A點(diǎn)h處自由下落，與斜面發(fā)生彈性碰撞后又彈起，已知斜面的傾角為θ，問(wèn)第二次下落點(diǎn)到第一次下落點(diǎn)的距離AB為多大？

解析小球從高出A點(diǎn)h處自由下落，到A點(diǎn)的速度為vA=2gh，由彈性碰撞規(guī)律可知，小球?qū)⒁栽俾史磸?，方向如圖6所示.

小球從A點(diǎn)反彈后的拋體運(yùn)動(dòng)可以看成沿反彈速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合成，由圖6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN為等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

結(jié)語(yǔ)解析拋物運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)對(duì)研究問(wèn)題進(jìn)行分析，選擇最合適的分解方法求解，實(shí)踐證明，掌握了上述幾種方法，會(huì)對(duì)解拋物運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有很大的幫助.endprint

拋物運(yùn)動(dòng)指物體以一定的初速度拋出后，在地面附近不大的范圍內(nèi)僅在重力作用下的運(yùn)動(dòng).依據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)學(xué)中常將較為復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為某兩個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng).

分解思路一拋物運(yùn)動(dòng)僅受重力，拋物運(yùn)動(dòng)最常見(jiàn)的分解方法分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向a=g的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

例1在水平地面上將小球以與地面成θ角的初速度v斜向上拋出，求該小球上升的最大高度和水平射程分別是多少？

解析該小球的運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向以vx=vcosθ的勻速直線運(yùn)動(dòng)

豎直方向以vy0=vsinθ為初速度的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

運(yùn)行時(shí)間t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具體問(wèn)題中根據(jù)題意的需要也可將拋物運(yùn)動(dòng)分解成豎直平面內(nèi)相互垂直的任意兩個(gè)方向，加速度g、速度v等矢量均沿著兩個(gè)方向正交分解.

例2如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處，以水平速度v0拋出一小球，落在斜面上B處，求①小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離斜面的最大距離.②A、B兩點(diǎn)間的距離為多大？

解析題中所待求的最大距離是垂直于斜面方向的最大高度，應(yīng)當(dāng)分解為垂直于斜面和沿斜面兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知應(yīng)當(dāng)講初速度v0和加速度g分別沿這兩個(gè)方向分解，如圖2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos為初速度，以ax=gsinθ為加速度的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ為初速度，以ay=-gcosθ為加速度的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)運(yùn)行時(shí)間t=vy0ax=vsinθgcosθ時(shí)小球垂直于斜面方向的速度減小為零，有離斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升過(guò)程和下落過(guò)程的對(duì)稱性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作拋物運(yùn)動(dòng)的物體的共同特點(diǎn)是加速度相同，其加速度恒為豎直向下的重力加速度.因此，當(dāng)研究多個(gè)拋體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，以自由下落的物體為參照物，則各物體的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，這種選擇參照物的方法，能大大簡(jiǎn)化各物體運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的聯(lián)系，使許多看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀.

例3如圖4所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個(gè)方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度拋出A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，問(wèn)1s后A、B相距多遠(yuǎn)？

解析這道題可以取一個(gè)初速度為零，加速度為g的參考系.在這個(gè)參考系中，A、B二個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而且方向互相垂直，它們之間的距離

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空間某一點(diǎn)O，向三維空間的各個(gè)方向以相同的速度v0射出很多個(gè)小球，球t秒之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個(gè)小球之間的距離是多少（假設(shè)t秒之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，要考慮向各個(gè)方向射出的小球的情況.但如果我們?nèi)∫粋€(gè)在小球射出的同時(shí)開(kāi)始自O(shè)點(diǎn)自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上，球的半徑是v0t，那么離得最遠(yuǎn)的兩個(gè)小球之間的距離自然就是球的直徑2v0t.

例4如圖5，彈性小球自高出斜面A點(diǎn)h處自由下落，與斜面發(fā)生彈性碰撞后又彈起，已知斜面的傾角為θ，問(wèn)第二次下落點(diǎn)到第一次下落點(diǎn)的距離AB為多大？

解析小球從高出A點(diǎn)h處自由下落，到A點(diǎn)的速度為vA=2gh，由彈性碰撞規(guī)律可知，小球?qū)⒁栽俾史磸?，方向如圖6所示.

小球從A點(diǎn)反彈后的拋體運(yùn)動(dòng)可以看成沿反彈速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合成，由圖6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN為等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

結(jié)語(yǔ)解析拋物運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)對(duì)研究問(wèn)題進(jìn)行分析，選擇最合適的分解方法求解，實(shí)踐證明，掌握了上述幾種方法，會(huì)對(duì)解拋物運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有很大的幫助.endprint

拋物運(yùn)動(dòng)指物體以一定的初速度拋出后，在地面附近不大的范圍內(nèi)僅在重力作用下的運(yùn)動(dòng).依據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)學(xué)中常將較為復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為某兩個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng).

分解思路一拋物運(yùn)動(dòng)僅受重力，拋物運(yùn)動(dòng)最常見(jiàn)的分解方法分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向a=g的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

例1在水平地面上將小球以與地面成θ角的初速度v斜向上拋出，求該小球上升的最大高度和水平射程分別是多少？

解析該小球的運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向以vx=vcosθ的勻速直線運(yùn)動(dòng)

豎直方向以vy0=vsinθ為初速度的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

運(yùn)行時(shí)間t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具體問(wèn)題中根據(jù)題意的需要也可將拋物運(yùn)動(dòng)分解成豎直平面內(nèi)相互垂直的任意兩個(gè)方向，加速度g、速度v等矢量均沿著兩個(gè)方向正交分解.

例2如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處，以水平速度v0拋出一小球，落在斜面上B處，求①小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離斜面的最大距離.②A、B兩點(diǎn)間的距離為多大？

解析題中所待求的最大距離是垂直于斜面方向的最大高度，應(yīng)當(dāng)分解為垂直于斜面和沿斜面兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知應(yīng)當(dāng)講初速度v0和加速度g分別沿這兩個(gè)方向分解，如圖2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos為初速度，以ax=gsinθ為加速度的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ為初速度，以ay=-gcosθ為加速度的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)運(yùn)行時(shí)間t=vy0ax=vsinθgcosθ時(shí)小球垂直于斜面方向的速度減小為零，有離斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升過(guò)程和下落過(guò)程的對(duì)稱性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作拋物運(yùn)動(dòng)的物體的共同特點(diǎn)是加速度相同，其加速度恒為豎直向下的重力加速度.因此，當(dāng)研究多個(gè)拋體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，以自由下落的物體為參照物，則各物體的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，這種選擇參照物的方法，能大大簡(jiǎn)化各物體運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的聯(lián)系，使許多看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀.

例3如圖4所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個(gè)方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度拋出A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，問(wèn)1s后A、B相距多遠(yuǎn)？

解析這道題可以取一個(gè)初速度為零，加速度為g的參考系.在這個(gè)參考系中，A、B二個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而且方向互相垂直，它們之間的距離

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空間某一點(diǎn)O，向三維空間的各個(gè)方向以相同的速度v0射出很多個(gè)小球，球t秒之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個(gè)小球之間的距離是多少（假設(shè)t秒之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，要考慮向各個(gè)方向射出的小球的情況.但如果我們?nèi)∫粋€(gè)在小球射出的同時(shí)開(kāi)始自O(shè)點(diǎn)自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上，球的半徑是v0t，那么離得最遠(yuǎn)的兩個(gè)小球之間的距離自然就是球的直徑2v0t.

例4如圖5，彈性小球自高出斜面A點(diǎn)h處自由下落，與斜面發(fā)生彈性碰撞后又彈起，已知斜面的傾角為θ，問(wèn)第二次下落點(diǎn)到第一次下落點(diǎn)的距離AB為多大？

解析小球從高出A點(diǎn)h處自由下落，到A點(diǎn)的速度為vA=2gh，由彈性碰撞規(guī)律可知，小球?qū)⒁栽俾史磸棧较蛉鐖D6所示.

小球從A點(diǎn)反彈后的拋體運(yùn)動(dòng)可以看成沿反彈速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合成，由圖6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN為等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

結(jié)語(yǔ)解析拋物運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)對(duì)研究問(wèn)題進(jìn)行分析，選擇最合適的分解方法求解，實(shí)踐證明，掌握了上述幾種方法，會(huì)對(duì)解拋物運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有很大的幫助.endprint