曹炯

新課程實(shí)施以來，筆者觀摩了許多示范課、研討課，發(fā)現(xiàn)這么一個(gè)現(xiàn)象：上課教師往往在學(xué)生觀察一定量的直觀事物后，就直接總結(jié)歸納概念，然后運(yùn)用概念進(jìn)行應(yīng)用判斷。這就導(dǎo)致很多學(xué)生不能真正理解概念，不能靈活運(yùn)用概念。學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了明顯的思維斷層，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中從直觀感知階段一下子跳到概括階段，而后又從概括階段一下子跳到應(yīng)用（具體化）階段，忽略了中間的思維過渡——表象（也是一種知識(shí)表征），從而也就缺乏數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)抽象的能力。

事實(shí)上，生動(dòng)的直觀只能為兒童提供理解的起點(diǎn)，而表象的建立則能幫助他們更快地?cái)[脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過渡。人的思維就是在感性認(rèn)識(shí)，特別是表象的基礎(chǔ)上，借助于詞語，以知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為中介而實(shí)現(xiàn)的。事實(shí)上，圖形（即表象）和文字符號(hào)的適當(dāng)應(yīng)用即可看成是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵所在。

一、 正確、豐富的感知，是記憶性表象的基礎(chǔ)

兒童思維始終是以直觀形象為主，而且必須以學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)建立表象，作為思維的支撐點(diǎn)，這樣的思維才會(huì)順暢。但是很多情況下，往往因?yàn)橛嘘P(guān)的表象不能被及時(shí)喚醒和提取，從而造成學(xué)生解題的困難。這就不得不讓我們正視這樣一個(gè)問題：建立學(xué)生思維的表象首先要有正確、豐富的感知。心理學(xué)認(rèn)為，人對(duì)事物的第一次接觸是最敏感的，教學(xué)的成功與否，其中重要一條就是看首次接觸數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生能否通過各種途徑形成正確的表象。表象的清晰度越高，其在學(xué)習(xí)中起到的促進(jìn)作用就越大。教學(xué)中教師必須重視對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的第一印象，讓學(xué)生充分感知、建立表象，進(jìn)而通過歸納、抽象、概括，建構(gòu)出模型。有經(jīng)驗(yàn)的教師常常在教學(xué)中采取“過電影”的教學(xué)策略，即在學(xué)生感知了具體事物之后，隱去事物，讓學(xué)生閉眼回想剛才的事物或情境，幫助學(xué)生建立準(zhǔn)確鮮明的表象。例如教學(xué)《長方體和正方體的認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師緊緊抓住以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

“看”。讓學(xué)生看實(shí)物，如講例題帶實(shí)物，學(xué)生做習(xí)題看實(shí)物等。

“拆”。讓學(xué)生把一個(gè)長方體紙盒沿著棱剪開，再展開，看一看展開后的形狀，這樣，可以使學(xué)生把展開后每個(gè)面與展開前這個(gè)面的位置聯(lián)系起來。

“做”。讓學(xué)生做長方體。從形體上要求做三種長方體：長、寬、高不等的；底面是正方形的；長、寬、高相等的。

“畫”。教學(xué)時(shí)，把一個(gè)長方體放在桌上，讓學(xué)生看一看最多能看到它的幾個(gè)面，然后畫立體圖和展開圖，要求學(xué)生練習(xí)時(shí)也能畫。并在一開始的練習(xí)中要求學(xué)生每題必畫，形成正確清晰的表象。

值得注意的是，從上述的案例中我們可以看到：表象的建立首先應(yīng)是典型的；其次要求所提供的感知材料必須與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，否則兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里缺少同化新知識(shí)的要素，不利于兒童頭腦中概念表象的形成；第三，讓學(xué)生動(dòng)手操作，多種感官參與學(xué)習(xí)，促進(jìn)表象的形成。

經(jīng)過充分感知之后的直觀事物以心理表象的形式貯存于記憶中，只能達(dá)到表象的記憶水平。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識(shí)地幫助學(xué)生積累大量的記憶水平的表象，因?yàn)榇罅糠e累的記憶水平的表象為學(xué)生的思維提供了廣闊的基礎(chǔ)。

二、 再造性表象，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難往往發(fā)生在由具體直觀向抽象思維過渡的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，這個(gè)時(shí)候教師就需要給他們“搭橋”，即給予“依靠”，幫助他們度過難關(guān)。教師提供的這種“依靠”，必須帶有逐步抽象化的機(jī)制，這就是表象不斷積累和不斷概括的過程。

在關(guān)于數(shù)學(xué)中表象使用的探討中，引人注目的是波利亞的研究：他基于自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出了成功解題的一系列啟發(fā)性建議，其中的一條就是“畫一個(gè)圖”，以此來幫助學(xué)生很好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地幫助、訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)語言，通過轉(zhuǎn)換自覺主動(dòng)地重現(xiàn)、再造表象，即教師要努力幫助學(xué)生從記憶性表象水平向再造性表象水平發(fā)展。因?yàn)楹芏鄷r(shí)候，教師教學(xué)時(shí)，不需要生活經(jīng)驗(yàn)，只需要激發(fā)學(xué)生的再造表象就可以了，從而借助表象，逐步發(fā)展學(xué)生的抽象能力。這里再造表象——視覺空間表征往往被認(rèn)為是一種有效的學(xué)習(xí)策略。

例如數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的一些數(shù)學(xué)術(shù)語導(dǎo)致學(xué)生不能正確轉(zhuǎn)換成心理表象，從而影響學(xué)生的思考，長此以往，就會(huì)造成學(xué)生解題的困難。如：愛心商店銷售了42袋奶粉，還剩17袋，問商店今天原來有多少袋奶粉？有的學(xué)生一看到刺激“還?！保蜁?huì)引起用減法的錯(cuò)誤反應(yīng)。

由于缺乏應(yīng)有的“生活數(shù)學(xué)”表象，這時(shí)教師采取的策略就是運(yùn)用再造表象模擬情境的發(fā)生，從而幫助學(xué)生順利地解決問題。

由上可見，運(yùn)用再造表象解決問題是極富教育價(jià)值的。W·多弗勒曾提出：充分而有效的表象圖式可以為學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念提供支架，因?yàn)槟軌虼龠M(jìn)個(gè)體獲得最佳數(shù)學(xué)理解的途徑是領(lǐng)悟命題表達(dá)以及與之相對(duì)應(yīng)的表象圖式間的相互作用，即數(shù)學(xué)理解應(yīng)該建立在形式與內(nèi)容間的相互聯(lián)系上，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容的主觀意義完全可以依托表象圖式結(jié)構(gòu)而建構(gòu)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。一旦具有的認(rèn)知圖式的部分信息被激活，整個(gè)圖式就被激活。學(xué)生在解決問題的過程中，如果缺乏基本圖式，或者原有的圖式已模糊，就不能由問題情境的刺激檢索或構(gòu)造出與其相匹配的圖式，此時(shí)解決問題就會(huì)受阻。建立這樣一種心理表象能有效地幫助學(xué)生解題。同時(shí)，值得注意的是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型過程中，表象的建立一定要注意變式，也只有這樣，才能在學(xué)習(xí)中把握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)概念，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

三、 創(chuàng)造性表象，是表象性思維的升華

豐富和利用學(xué)生的各種表象，特別輔之以聯(lián)想、想象，會(huì)使知識(shí)在生動(dòng)、具體的模擬情境中，得以在內(nèi)心進(jìn)行演練與重組，從而加深對(duì)知識(shí)的理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多問題更是離不開數(shù)學(xué)中的想象表象。例如無限性的理解等，如不依靠想象，就無法得到正確而清晰的極限概念。這是由于人的認(rèn)識(shí)的有限性，對(duì)無限問題不可能用經(jīng)驗(yàn)的方法直接地加以檢驗(yàn)，而只能依靠想象，依靠理性思維去把握。例如射線的教學(xué)：endprint

（出示線段AB）問：如果以A為端點(diǎn)，向B點(diǎn)方向無限延伸，（教師邊說邊演示）會(huì)是什么樣的圖形呢？閉上眼睛，想象一下。

師：能把你們想象的圖形在紙上畫出來嗎？

學(xué)生作圖如下（絕大部分學(xué)生都將自己想象的圖形畫到了紙的邊緣）：

師：（展示部分學(xué)生作的圖形）為什么你們把圖形畫到了紙的邊緣？

生 ：因?yàn)槭菬o限的，它就要延伸到很長很長，所以要畫到紙的邊緣。

師：那么，畫到紙的邊緣，是否就畫完了你所想象的圖形呢？

生 ：我認(rèn)為就是給再大的紙也是畫不完的。

生 ：我認(rèn)為有，假如有一張像宇宙那么大的紙，不就能畫了？

師：看來，確實(shí)無法找到一張紙，能完全畫出想象中的圖形。

師：你們知道像這樣的圖形，在數(shù)學(xué)中叫它什么嗎？

生：射線。（此時(shí)學(xué)生對(duì)于射線的形象在頭腦中已有初步的表象。）

師：對(duì)??！射線有些麻煩。它的無限延伸，使得我們無法完整地畫出來，可是，為了數(shù)學(xué)交流的需要，我們總得想個(gè)辦法來表示射線。你們能想出好辦法嗎？

生：畫一部分，然后在下面寫上“無限延伸”四個(gè)字。

生 ：在最后畫上省略符號(hào)。

師：想不想知道數(shù)學(xué)上究竟是怎樣規(guī)定的？

（教師邊說邊演示作圖，在與學(xué)生的協(xié)商交流中，讓學(xué)生明確射線的畫法。）

從以上的教學(xué)片斷中我們看到，正是在想象性表象的基礎(chǔ)上，一方面學(xué)生體驗(yàn)到了射線的“無限性”，另一方面揭示了“想象”與“圖例表達(dá)”之間的矛盾。從而創(chuàng)造出射線的表示方法，并理解和接受一種數(shù)學(xué)規(guī)定——用一種有限性的射線畫法來表達(dá)具有無限性的射線，在純抽象概念與表示抽象概念的表象間建立聯(lián)系，并適時(shí)降低了圖例的有限性對(duì)射線本質(zhì)——無限性的負(fù)面影響。

因此，表象的最高水平表現(xiàn)為創(chuàng)造性水平。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪?shù)难芯勘砻?，多?shù)老一輩數(shù)學(xué)家是借助于表象思維進(jìn)行思考的。這種具體、直觀的或模糊、片斷的形象，并非嚴(yán)格推導(dǎo)，也不同于數(shù)學(xué)中抽象思維所使的概念、理論等，但當(dāng)它閃現(xiàn)在腦海中時(shí)，往往正是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性或者尋求解決問題的關(guān)鍵所在。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)亦然，教師精心組織的直觀演示與操作活動(dòng)，以及學(xué)生自己動(dòng)手操作中清晰的過程和程序，可以在學(xué)生的頭腦中留下深刻的動(dòng)態(tài)表象，這不僅對(duì)于學(xué)習(xí)抽象的概念、性質(zhì)和方法極其有利，而且能使學(xué)生在知其所以然的基礎(chǔ)上獲得深刻的理解和牢固的記憶。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，雖然在新課程理念的影響下，已經(jīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，但利用表象來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)身邊的事物及了解和探究它們的一些內(nèi)在規(guī)律，卻還是被動(dòng)的、機(jī)械呆板的，不夠靈活和實(shí)在，表現(xiàn)為學(xué)生的知識(shí)生成和組合及創(chuàng)造發(fā)展方面的欠缺，這尤其需要我們作更多的探索和思考。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭隆.形象·靈感·審美與數(shù)學(xué)創(chuàng)造.武漢：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亞著.怎樣解題.北京：科學(xué)出版社，1982.

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint

（出示線段AB）問：如果以A為端點(diǎn)，向B點(diǎn)方向無限延伸，（教師邊說邊演示）會(huì)是什么樣的圖形呢？閉上眼睛，想象一下。

師：能把你們想象的圖形在紙上畫出來嗎？

學(xué)生作圖如下（絕大部分學(xué)生都將自己想象的圖形畫到了紙的邊緣）：

師：（展示部分學(xué)生作的圖形）為什么你們把圖形畫到了紙的邊緣？

生 ：因?yàn)槭菬o限的，它就要延伸到很長很長，所以要畫到紙的邊緣。

師：那么，畫到紙的邊緣，是否就畫完了你所想象的圖形呢？

生 ：我認(rèn)為就是給再大的紙也是畫不完的。

生 ：我認(rèn)為有，假如有一張像宇宙那么大的紙，不就能畫了？

師：看來，確實(shí)無法找到一張紙，能完全畫出想象中的圖形。

師：你們知道像這樣的圖形，在數(shù)學(xué)中叫它什么嗎？

生：射線。（此時(shí)學(xué)生對(duì)于射線的形象在頭腦中已有初步的表象。）

師：對(duì)?。∩渚€有些麻煩。它的無限延伸，使得我們無法完整地畫出來，可是，為了數(shù)學(xué)交流的需要，我們總得想個(gè)辦法來表示射線。你們能想出好辦法嗎？

生：畫一部分，然后在下面寫上“無限延伸”四個(gè)字。

生 ：在最后畫上省略符號(hào)。

師：想不想知道數(shù)學(xué)上究竟是怎樣規(guī)定的？

（教師邊說邊演示作圖，在與學(xué)生的協(xié)商交流中，讓學(xué)生明確射線的畫法。）

從以上的教學(xué)片斷中我們看到，正是在想象性表象的基礎(chǔ)上，一方面學(xué)生體驗(yàn)到了射線的“無限性”，另一方面揭示了“想象”與“圖例表達(dá)”之間的矛盾。從而創(chuàng)造出射線的表示方法，并理解和接受一種數(shù)學(xué)規(guī)定——用一種有限性的射線畫法來表達(dá)具有無限性的射線，在純抽象概念與表示抽象概念的表象間建立聯(lián)系，并適時(shí)降低了圖例的有限性對(duì)射線本質(zhì)——無限性的負(fù)面影響。

因此，表象的最高水平表現(xiàn)為創(chuàng)造性水平。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪?shù)难芯勘砻鳎鄶?shù)老一輩數(shù)學(xué)家是借助于表象思維進(jìn)行思考的。這種具體、直觀的或模糊、片斷的形象，并非嚴(yán)格推導(dǎo)，也不同于數(shù)學(xué)中抽象思維所使的概念、理論等，但當(dāng)它閃現(xiàn)在腦海中時(shí)，往往正是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性或者尋求解決問題的關(guān)鍵所在。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)亦然，教師精心組織的直觀演示與操作活動(dòng)，以及學(xué)生自己動(dòng)手操作中清晰的過程和程序，可以在學(xué)生的頭腦中留下深刻的動(dòng)態(tài)表象，這不僅對(duì)于學(xué)習(xí)抽象的概念、性質(zhì)和方法極其有利，而且能使學(xué)生在知其所以然的基礎(chǔ)上獲得深刻的理解和牢固的記憶。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，雖然在新課程理念的影響下，已經(jīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，但利用表象來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)身邊的事物及了解和探究它們的一些內(nèi)在規(guī)律，卻還是被動(dòng)的、機(jī)械呆板的，不夠靈活和實(shí)在，表現(xiàn)為學(xué)生的知識(shí)生成和組合及創(chuàng)造發(fā)展方面的欠缺，這尤其需要我們作更多的探索和思考。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭隆.形象·靈感·審美與數(shù)學(xué)創(chuàng)造.武漢：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亞著.怎樣解題.北京：科學(xué)出版社，1982.

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（出示線段AB）問：如果以A為端點(diǎn)，向B點(diǎn)方向無限延伸，（教師邊說邊演示）會(huì)是什么樣的圖形呢？閉上眼睛，想象一下。

師：能把你們想象的圖形在紙上畫出來嗎？

學(xué)生作圖如下（絕大部分學(xué)生都將自己想象的圖形畫到了紙的邊緣）：

師：（展示部分學(xué)生作的圖形）為什么你們把圖形畫到了紙的邊緣？

生 ：因?yàn)槭菬o限的，它就要延伸到很長很長，所以要畫到紙的邊緣。

師：那么，畫到紙的邊緣，是否就畫完了你所想象的圖形呢？

生 ：我認(rèn)為就是給再大的紙也是畫不完的。

生 ：我認(rèn)為有，假如有一張像宇宙那么大的紙，不就能畫了？

師：看來，確實(shí)無法找到一張紙，能完全畫出想象中的圖形。

師：你們知道像這樣的圖形，在數(shù)學(xué)中叫它什么嗎？

生：射線。（此時(shí)學(xué)生對(duì)于射線的形象在頭腦中已有初步的表象。）

師：對(duì)啊！射線有些麻煩。它的無限延伸，使得我們無法完整地畫出來，可是，為了數(shù)學(xué)交流的需要，我們總得想個(gè)辦法來表示射線。你們能想出好辦法嗎？

生：畫一部分，然后在下面寫上“無限延伸”四個(gè)字。

生 ：在最后畫上省略符號(hào)。

師：想不想知道數(shù)學(xué)上究竟是怎樣規(guī)定的？

（教師邊說邊演示作圖，在與學(xué)生的協(xié)商交流中，讓學(xué)生明確射線的畫法。）

從以上的教學(xué)片斷中我們看到，正是在想象性表象的基礎(chǔ)上，一方面學(xué)生體驗(yàn)到了射線的“無限性”，另一方面揭示了“想象”與“圖例表達(dá)”之間的矛盾。從而創(chuàng)造出射線的表示方法，并理解和接受一種數(shù)學(xué)規(guī)定——用一種有限性的射線畫法來表達(dá)具有無限性的射線，在純抽象概念與表示抽象概念的表象間建立聯(lián)系，并適時(shí)降低了圖例的有限性對(duì)射線本質(zhì)——無限性的負(fù)面影響。

因此，表象的最高水平表現(xiàn)為創(chuàng)造性水平。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪?shù)难芯勘砻?，多?shù)老一輩數(shù)學(xué)家是借助于表象思維進(jìn)行思考的。這種具體、直觀的或模糊、片斷的形象，并非嚴(yán)格推導(dǎo)，也不同于數(shù)學(xué)中抽象思維所使的概念、理論等，但當(dāng)它閃現(xiàn)在腦海中時(shí)，往往正是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性或者尋求解決問題的關(guān)鍵所在。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)亦然，教師精心組織的直觀演示與操作活動(dòng)，以及學(xué)生自己動(dòng)手操作中清晰的過程和程序，可以在學(xué)生的頭腦中留下深刻的動(dòng)態(tài)表象，這不僅對(duì)于學(xué)習(xí)抽象的概念、性質(zhì)和方法極其有利，而且能使學(xué)生在知其所以然的基礎(chǔ)上獲得深刻的理解和牢固的記憶。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，雖然在新課程理念的影響下，已經(jīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，但利用表象來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)身邊的事物及了解和探究它們的一些內(nèi)在規(guī)律，卻還是被動(dòng)的、機(jī)械呆板的，不夠靈活和實(shí)在，表現(xiàn)為學(xué)生的知識(shí)生成和組合及創(chuàng)造發(fā)展方面的欠缺，這尤其需要我們作更多的探索和思考。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭隆.形象·靈感·審美與數(shù)學(xué)創(chuàng)造.武漢：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亞著.怎樣解題.北京：科學(xué)出版社，1982.

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