方常春

摘 要： 本全文剖析中學數(shù)學課程中導數(shù)的價值，尤其是工具價值.舉例說明了怎樣運用導數(shù)這一工具，優(yōu)化、深化函數(shù)的研究.

關鍵詞： 導數(shù) 工具 價值 研究函數(shù)

從導數(shù)本身的重要性和高考的發(fā)展趨勢看，我們應該高度重視導數(shù)單元的學習.那么，我們應該采取怎樣的學習策略呢？本文試圖探討這一問題.

1.剖析中學數(shù)學課程中導數(shù)的價值

《普通高中數(shù)學課程標準教學要求》中的“課程目標”明確指出：通過導數(shù)及其應用的教學，（1）理解導數(shù)的含義，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵；（2）掌握導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用；（3）感受導數(shù)在解決數(shù)學問題和實際問題中的作用及變量數(shù)學的思想方法，提高學生運用導數(shù)的知識和函數(shù)的思想分析、解決數(shù)學問題與實際問題的能力.

由此可見，教學目標對導數(shù)及其應用的教學明顯地呈三個遞進的層面，其中（1）介紹了導數(shù)的文化價值，（2）（3）則突出強調(diào)了導數(shù)的工具價值.對中學生來說，后者無疑是重點.

2.導數(shù)的工具價值的主要體現(xiàn)

我們再從近幾年的全國高考新課程卷的命題重點來看，利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的數(shù)學試題有上升的趨勢.在這類試題中，導數(shù)只不過是一種工具，求導的過程并不難，它不是這類試題的最終落腳點，它的最終落腳點是考查函數(shù)的性質(zhì)及其應用，即以導數(shù)為工具，優(yōu)化、深化函數(shù)的研究.

中學數(shù)學新課程中導數(shù)的工具性和應用主要表現(xiàn)在三個方面：切線的斜率（導數(shù)的幾何意義）；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的極值和最值.

對這些內(nèi)容學生應從基本概念、基本技能到思想方法都要清楚明了、爛熟于心，形成完善的認知結構.認知心理學告訴我們，學生只有形成完善的認知結構才能轉(zhuǎn)化為能力，從而解決更高層次的問題.

3.優(yōu)化函數(shù)研究方法的應用示例

根據(jù)以上的剖析，我們應該把重點放在突出導數(shù)的工具價值，優(yōu)化、深化函數(shù)的研究等方面，試舉一例說明之.

例：已知函數(shù)f（x）=■x■-ax+（a-1）lnx，a>1，

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：若a<5，則對于任意x■，x■∈（0，+∞），x■≠x■，有■>-1.

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），.

f′（x）=x-a+■=■=■.

①若a-1=1，即a=2，則f′（x）=■，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增加.

②若a-1<1，而a>1，故1

當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）>0.

故f（x）在（a-1，1）上單調(diào)減少，在（0，a-1），（1，+∞）上單調(diào)增加.

③若a-1<1，即a>2，同理可得f（x）在（1，a-1）上單調(diào)減少，在（0，1），（a-1，+∞）上單調(diào)增加.

（2）考慮函數(shù)g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x，

則g′（x）=x-（a-1）+■≥2■-（a-1）=1-（■-1）■，

由于10，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)增加，從而當0

有g（x■）-g（x■）>0，即f（x■）-f（x■）+x■-x■>0，故■>-1；

當0-1.

[簡評]本題運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的特點非常明顯，命題者的意圖是將導數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的工具，求導的過程并不難，難點設計在第二問的構造思想，即構造一個函數(shù)：g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x.如果以“課程目標”為綱，類似的例子不勝枚舉.

由此可見，在導數(shù)單元的學習中，我們要防止僅僅將導數(shù)作為一種規(guī)則和步驟來學習，而忽視它的思想和價值.不應把重點放在求函數(shù)導數(shù)的純技巧、高難度的訓練上，避免過量的形式化的運算練習，而應該突出導數(shù)的工具價值，優(yōu)化研究數(shù)學問題（特別是函數(shù)）的方法，從而強化學生的應用意識.