(杭州電子科技大學電子信息學院，浙江 杭州310018)

0 引 言

在非線性科學中，混沌以及混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)是近代重要成就之一。混沌所具有的隨機特性可用以產(chǎn)生偽隨機序列從而應用于保密通信和信息加密之中。Tent映射(帳篷映射)是一個算法簡單但序列復雜的離散映射，用其產(chǎn)生偽隨機序列具有運算速度快、序列分布均勻的優(yōu)勢[1]。因此，Tent映射在混沌保密通信和混沌密碼設計中得到了廣泛的應用[2-3]。但帳篷映射存在參數(shù)少、映射范圍小等缺陷，將直接導致產(chǎn)生的偽隨機序列密鑰空間小，安全性變差[4-5]。為此，本文對原始的Tent映射做了改進。改進后的Tent映射增加了兩個參數(shù)，除保留其分布均勻的優(yōu)勢外，參數(shù)空間和映射范圍都得了明顯的擴展。

1 Tent映射

Tent映射，如下所示:

式中，x(n)∈(0，1)，u∈(0，2)，當u ＞1時，系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)，其分叉圖如圖1所示。其滿映射區(qū)間以及參數(shù)u的范圍都比較小，導致由此映射產(chǎn)生的序列密鑰空間也會比較小[6]。

圖1 Tent映射分叉圖

2 改進的Tent映射

為了增加參數(shù)和擴展?jié)M映射范圍，對Tent映射改進如下:

式中，x(n)∈(0，a)，u1∈(0，2)，u2∈(0，2)，a ∈R。雖然只增加了幾個參數(shù)，但改進的Tent映射卻增加了復雜的動力學特性。式(2)中的a 被稱之為幅度參數(shù)，因為滿映射的幅度即最大的映射范圍與a 有關。尤其當u1=u2=2時，滿映射幅度a的分叉圖如圖2(a)所示，不但滿映射幅度隨參數(shù)a 比例增加而增加，且隨a的變化過程中，映射始終是混沌的。如果以a 作為密鑰參數(shù)，理論上該參數(shù)對應的密鑰空間趨于無窮，即a∈(0，∞)。保持參數(shù)a、u2為固定值，觀察映射隨參數(shù)u1變化的分叉情況。仿真發(fā)現(xiàn)，當u1＞1時映射是混沌的，當u1=2時為滿映射，滿映射幅度為a，出現(xiàn)混沌的u1參數(shù)區(qū)間為u1∈(1，2)。圖2(b)為u2=2、a=3時的分叉圖。保持參數(shù)a、u1為固定值，觀察映射隨參數(shù)u2變化的分叉情況。仿真發(fā)現(xiàn)，當u2＞1時映射是混沌的，混沌映射的大小隨u2的增加而減小，但其混沌映射區(qū)間則維持不變，映射區(qū)間長度為a，出現(xiàn)混沌的u2參數(shù)區(qū)間為u2∈(1，2)。圖2(c)為u1=2、a =4時的分叉圖。保持參數(shù)a為固定值，當u1=u2=u，a =4時，觀察映射隨參數(shù)u 變化的分叉情況。此時除滿映射幅度等于a 外，其分叉情況與原始的Tent映射相同，只是滿映射的幅度不同，如圖2(d)所示。

圖2 改進型Tent映射分叉圖

Tent映射最大優(yōu)點是具有良好的隨機特性，其迭代值近似均勻分布，圖3是Tent映射在滿映射區(qū)間[0，1]的分布柱狀圖，u=2.0，x(0)=0.01，把0 1 均勻分為50 等份，均勻特性如圖3(a)所示。表1為映射在這些區(qū)間分布次數(shù)的具體值，計算得到的數(shù)據(jù)標準差為S =93.48。圖3(b)為改進的Tent映射當u1=u2=2.0，a=16時，在滿映射區(qū)間[0，16]的分布柱狀圖，表2為映射在這些區(qū)間分布次數(shù)的具體值，計算得到的數(shù)據(jù)標準差為S=115.31。

圖3 映射分布柱狀圖

表1 帳篷映射迭代50萬次后，迭代值分布具體數(shù)據(jù)與方差

表2 幅度改進型帳篷映射(a=16) 迭代50萬次后，迭代值分布具體數(shù)據(jù)與方差

比較得知，改進后的映射分布保持了原來的均勻特性，能夠使迭代值更加均勻的分布在一個更大的范圍內(nèi)。如果使用此改進映射產(chǎn)生的混沌序列進行加密，能夠使得整個系統(tǒng)的密鑰空間更大，具有更好的安全性。

美國國家技術與標準局推出的測試程序包(Statistical Test Suite)是目前對為隨機序列性能測試工具中最具有權威的一種。本文采用sts2.1.1 測試軟件包對改進Tent映射的數(shù)字序列進行了測試，該軟件包含16 項測試[7]，其中有15 項是對偽隨機序列性能進行測試的指標，測試結果如表3所示。測試是在4×107bit數(shù)據(jù)下進行的，分2 000組，每組20 000 bit數(shù)據(jù)。

表3 STS 測試結果報告

從通過率來看，只有通用統(tǒng)計測試沒有通過，其它測試項都通過了測試，從均勻性來看，也只有通用統(tǒng)計測試沒有通過，其余項的均勻性都較為良好。總體來說，改進前后映射產(chǎn)生的序列性能都比較良好，能夠使用這些映射產(chǎn)生為隨機序列運用到實際加密當中。

3 結束語

本文構造了一種新的改進型Tent映射，通過分析、仿真以及各個參數(shù)的分叉圖等對它的一些基本性質進行了研究。數(shù)值仿真實驗結果表明，改進后的Tent映射即保持了原始Tent映射產(chǎn)生偽隨機序列速度快、序列在映射區(qū)間內(nèi)分布均勻的優(yōu)點，又改善了原始Tent映射參數(shù)區(qū)間和滿映射區(qū)間小的缺點，增強了序列的隨機特性、擴展了序列的密鑰空間。由于改進型Tent映射具有更加復雜的動力學行為特性，因此改進型Tent映射將能更好地應用在混沌保密通信和混沌密碼設計中。

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[2]Shan L，Qiang H，LI J，et al.Chaotic Optimization Algorithm based on Tent map[J].Control and Decision，2005，20(2):179-82.

[3]Xu Z G，Tian Q，Tian L.A class of topologically conjugated chaotic maps of tent map to generate independently and uniformly distributed chaotic key stream[J].Acta Physica Sinica，2013，62(12):12 050.

[4]Chen S L，Chang S M.Digital Secure-Communication using Robust Hyper-Chaotic Systems[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2008，18(11):3 325-3 339.

[5]Luca A，Ilyas A，Vlad A.Generating random binary sequences using tent map[C].Iasi:Signals，Circuits and Systems(ISSCS)，2011:1-4.

[6]Zhang X F，F(xiàn)an J L.Extended Logistic Chaotic Sequence and Its Performance Analysis[J].TsingHua Science and technology，2007，12:156-161.

[7]Andrew R，Juan S，James N，et al.Statistical Test Suit for Random and Pseudorandom Number Generator for Cryptographic Applications[J].NIST Special Publication，2001，1(1):800-822.