(杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

隨機(jī)共振在檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景環(huán)境下的信號(hào)方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，尤其是當(dāng)噪聲達(dá)到某一適當(dāng)強(qiáng)度時(shí)，非線性系統(tǒng)、信號(hào)與噪聲共同作用將一部分噪聲轉(zhuǎn)化成為信號(hào)。非線性系統(tǒng)的響應(yīng)機(jī)理在一定范圍內(nèi)可以用絕熱近似[1]及線性響應(yīng)理論來(lái)闡明，近年這個(gè)理論正在不斷地完善和發(fā)展并推廣到各個(gè)領(lǐng)域，如多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的研究[2]、基于隨機(jī)共振原理的二維圖像處理[3]、H-H神經(jīng)元模型的研究[4]、基于隨機(jī)共振原理的自適應(yīng)檢測(cè)方法的探索[5]，但是這些理論僅適應(yīng)于小參數(shù)信號(hào)(小噪聲、極低頻率、小幅度)[6]，而在實(shí)際情況中，信號(hào)的參數(shù)可能較大。本文在分析了基本雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的調(diào)參模型，此模型能夠?qū)崿F(xiàn)識(shí)別較高頻率的微弱信號(hào)。

1 基本雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振

隨機(jī)共振模型需要3個(gè)要素，分別是非線性系統(tǒng)、輸入驅(qū)動(dòng)信號(hào)以及噪聲。若以最基礎(chǔ)雙穩(wěn)非線性系統(tǒng)，單頻正弦信號(hào)和高斯白噪聲為研究對(duì)象，該共振模型可用郎之萬(wàn)方程描述為:

式中，μ ＞0，A為信號(hào)幅值，f為信號(hào)頻率，n(t)為高斯白噪聲。n(t)滿足:

式中，D為噪聲強(qiáng)度，為時(shí)間延遲。在絕熱近似環(huán)境下，模型的S(f)由兩部分內(nèi)容構(gòu)成:

1)由驅(qū)動(dòng)正弦信號(hào)引起的S1(f);

2)由噪聲引起的具有洛倫茲形式[7]的S2(f)。

且噪聲功率譜S2(f)與信噪比SNR的計(jì)算公式分別為:

若對(duì)N點(diǎn)的信號(hào)y()進(jìn)行離散傅里葉變換可得Y(f)，則有:

式中，P總為總信號(hào)頻譜，SN為噪聲能量，SNR為信噪比。

2 新雙穩(wěn)系統(tǒng)模型

在仿真工作中，遇到的信號(hào)頻率往往超出上述頻率范圍，所以本文提出了新的隨機(jī)共振系統(tǒng)模型。其動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

整理后，可得:

可以看出，當(dāng)h=1時(shí)，式(10)即為上面提到的郎之萬(wàn)方程(其中μ =1)。對(duì)比式(8)和式(10)可看到，雙穩(wěn)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)變換后，輸入信號(hào)的頻率變?yōu)樵瓉?lái)的1/g，信號(hào)與噪聲幅值變?yōu)樵瓉?lái)的h倍。兩方程是等價(jià)的，因此在檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景中的中低頻信號(hào)時(shí)，可通過(guò)選擇合適的參數(shù)g和h，將信號(hào)變換為低頻信號(hào)后，再進(jìn)行處理。由式(10)可以看出，調(diào)節(jié)參數(shù)g 只影響信號(hào)的頻率，調(diào)節(jié)參數(shù)h 只影響信號(hào)與噪聲的幅值。

通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)上述雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型能否識(shí)別中低頻小信號(hào)，以及驗(yàn)證各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。對(duì)應(yīng)于式(8)，若g =100，h =1，f0=1 Hz，則fs=200 Hz，A =0.37，D =0.2;則對(duì)應(yīng)于式(1)各參數(shù)取值為:μ=1，A=0.37，f0=0.01 Hz，D=0.2，fs=2 Hz，將這些參數(shù)分別代入對(duì)應(yīng)方程中，再分別對(duì)方程采用四階Runge-Kutt(a)方法計(jì)算，按式(5)計(jì)算輸出頻率幅值，具體結(jié)果如圖1所示。

其中圖1(a)為輸入時(shí)頻域波形圖，圖1(b)圖與1(c)分別為式(8)與式(1)的輸出時(shí)頻域波形圖。從圖1(a)的時(shí)域波形圖中無(wú)法看出有周期信號(hào)存在，而圖1(b)、圖1(c)顯示，系統(tǒng)的時(shí)域輸出為周期震蕩信號(hào)，且輸出頻域圖在某一頻率處有一明顯的尖峰。說(shuō)明兩系統(tǒng)均發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象。而且二者的時(shí)頻域圖形極為類似，證明了此參數(shù)變換的可行性，同時(shí)也說(shuō)明了增大g，可提高發(fā)生隨機(jī)共振的共振頻率;反之亦然。另外，由于式(10)中，輸入信號(hào)的實(shí)際頻率為f0/g =0.01 Hz，所以采樣頻率可取fs=2 Hz，且圖1(b)與1(c)中輸出仿真信號(hào)的頻譜在0.01 Hz 處有一尖峰，說(shuō)明發(fā)生共振的輸入信號(hào)頻率為0.01 Hz。

圖1 系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻域波形圖

若g=100，h=2，f0=1 Hz，對(duì)應(yīng)于式(8)有fs=200 Hz，A =0.185，D =0.05;對(duì)應(yīng)于式(10)有fs=2 Hz，A=0.185，D=0.05，將這些參數(shù)分別代入對(duì)應(yīng)方程中，再分別對(duì)兩方程采用四階Runge-Kutt(a)方法計(jì)算，按式(3)計(jì)算輸出頻域幅值，具體結(jié)果如圖2所示。

圖2(a)與2(b)的輸出波形顯示兩系統(tǒng)均發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象，且2 者的圖形極為類似，但是圖2(a)中的輸出信號(hào)時(shí)頻域幅值都較圖2(b)中的值小，這是由于圖2(a)中的輸出為x，而圖2(b)中的輸出為y，由式(9)不難證明此結(jié)論。由兩系統(tǒng)的混合輸入信號(hào)說(shuō)明增大h，可檢測(cè)小幅值，低噪聲強(qiáng)度的信號(hào);反之亦然。

圖2 系統(tǒng)輸出時(shí)頻域波形圖

根據(jù)原有的輸出信號(hào)功率譜公式和信噪比公式，推導(dǎo)出新模型的輸出信號(hào)功率譜公式和信噪比公式。分別結(jié)合式(10)與式(3)，求得功率譜Sy2(f)，結(jié)合式(10)與式(4)，求得輸出信噪比SNR2。設(shè)Sx2(k)是式(8)中由噪聲引起的功率譜，結(jié)合功率譜的定義與式(9)可得:

計(jì)算得到:

分別計(jì)算式(1)、式(8)與式(10)的噪聲輸出功率譜，并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，如圖3所示。圖3中，圖3(a)、(b)、(c)中參數(shù)取值分別與圖1(b)、圖1(c)、圖2(a)中參數(shù)的值相同。S12為仿真輸出功率譜的平滑曲線，S22為理論輸出噪聲功率譜值?？梢姺抡嫘盘?hào)輸出與理論分析結(jié)果一致。對(duì)比圖3(b)與圖3(c)可發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)模型的圖形類似，但圖3(c)中的噪聲幅值是圖3(b)的倍，驗(yàn)證了h的變化對(duì)系統(tǒng)的影響;對(duì)比圖3(b)與圖3(a)可發(fā)現(xiàn)，圖3(a)中各幅值對(duì)應(yīng)的頻率值是圖3(b)中的g =100倍，驗(yàn)證了h的變化對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。

圖3 仿真信號(hào)的噪聲輸出能量譜與理論信號(hào)的噪聲輸出功率譜對(duì)比圖

圖4分別為由式(8)與式(10)中的輸出信噪比隨噪聲變化的仿真值與理論值的對(duì)比圖，圖4中，圖4(a)、(b)中參數(shù)取值分別與圖3(a)、(c)中參數(shù)的值相同。SNR1為5次輸出信噪比隨噪聲變化的仿真值的平均值，SNR2為輸出信噪比隨噪聲變化的理論值?？梢娦盘?hào)仿真輸出與理論分析結(jié)果一致。對(duì)比圖4(a)與圖4(b)可發(fā)現(xiàn)，二者最大信噪比值所對(duì)應(yīng)的噪聲強(qiáng)度不同，這與理論分析結(jié)果一致。

圖4 仿真信號(hào)與理論信號(hào)的輸出信噪比隨噪聲變化對(duì)比圖

所以，在一些參數(shù)已知的情況下，可以有針對(duì)性地調(diào)節(jié)參數(shù)，以提高檢測(cè)信號(hào)的速度。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了基本的雙穩(wěn)系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振的條件以及系統(tǒng)本身的缺陷。在原有模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的模型，此模型可實(shí)現(xiàn)強(qiáng)噪聲背景下的中低頻率信號(hào)檢測(cè)，并推導(dǎo)出了此模型的功率譜與信噪比隨噪聲的變化的公式，且舉出實(shí)例對(duì)公式進(jìn)行了驗(yàn)證，而且通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)檢測(cè)多組不同混合信號(hào)中的周期信號(hào)。本文的研究拓寬了隨機(jī)共振產(chǎn)生的條件，在大參數(shù)周期信號(hào)的檢測(cè)與增強(qiáng)中具有一定的物理意義和實(shí)用價(jià)值。

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