王 泳

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230061）

1 引言及主要結(jié)果

本文討論Kirchhoff系統(tǒng)

其中T＞0，α＞0，β≥0，同時(shí)F：［0 ，T ］×RN→R滿足條件：

（A）對(duì)于任意的x∈RN，F(xiàn)（t，x）關(guān)于t可測(cè)，對(duì)于幾乎所有t∈ ［0 ，T ］，F(xiàn)（t，x）關(guān)于x連續(xù)可微，并且存在a（t）∈C（R＋，R＋），b（t）∈C（R＋，R＋）使得

對(duì)于任意的x∈RN和幾乎所有t∈ ［0，T］成立。

Kirchhoff系統(tǒng)在物理中有許多應(yīng)用［2－4］。Kirchhoff系統(tǒng)是二階Hamilton系統(tǒng)的推廣；并且當(dāng)Kirchhoff系統(tǒng)（1）中β＝0時(shí)，Kirchhoff系統(tǒng)就是二階Hamilton系統(tǒng)。關(guān)于二階Hamilton系統(tǒng)有下列結(jié)論：

定理1.2［5］如果F（t，x）滿足以下條件

（H1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（H3）存在g∈L1（0，T），滿足對(duì)于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈ ［0 ，T ］，F(xiàn)（t，x）≥g（t）成立；

（H4）存在 ［0 ，T ］的一個(gè)可測(cè)子集E，E的測(cè)度大于meas（E）＞0，滿足對(duì)于幾乎所有的t∈［0 ，T］，當(dāng)＋ ∞ 時(shí)，F(xiàn)（t，x）→＋ ∞ ；則二階Hamilton系統(tǒng)

有一個(gè)周期解。

本文的主要結(jié)論是：

定理1.3 如果F（t，x）滿足以下條件

（V1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（V2）存在0＜μ＜2，M＞0，滿足對(duì)于任意的

成立；

（V3）存在g∈L1（0，T），滿足對(duì)于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，

成立；

（V4）存在 ［0 ，T ］的一個(gè)可測(cè)子集E，E的測(cè)度meas（E）＞0，滿足對(duì)于幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，當(dāng)→＋∞時(shí)，

則Kirchhoff系統(tǒng)（1）有一個(gè)弱解。

2 一些引理

為了證明上面幾個(gè)定理，我們需要引用以下幾個(gè)引理。

引理2.1［1］存在一個(gè)常數(shù)C＞0，對(duì)于任意的u∈，Sobolev不等式成立，并且 Wirtinger不等式成立。

引理2.2［6］如果F（t，x）滿足以下條件

（B1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（B2）E是 0，［ ］

T 的一個(gè)可測(cè)子集，滿足對(duì)于幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，當(dāng)時(shí)，

F（t，x）→＋∞ ；

則對(duì)于任意的δ＞0，存在E的一個(gè)可測(cè)子集Eδ，meas（E＼Eδ）＜δ，滿足當(dāng)＋ ∞ 時(shí)，F(xiàn)（t，x）→＋∞，在Eδ上一致成立。

引理2.3［6］如果F（t，x）滿足以下條件

（D1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（I1）對(duì)于任意的x∈RN，y∈RN，

（I3）對(duì)于任意的x∈RN，

（I4）對(duì)于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈E，

成立。

引理2.4［1］存在一個(gè)常數(shù)C′＞0，對(duì)于任意的u∈，‖u‖∞≤C′‖u‖。

引理2.5［1］在中，如果序列u｛｝n弱收斂到u，那么當(dāng)n→＋∞時(shí)，‖un－u‖∞→0。

定義2.6［7］如果泛函φ（u）滿足下列條件：若序列 ｛un｝?滿足界，同時(shí)當(dāng)n→＋∞ 時(shí)，‖φ′（un）‖（1＋ ‖un‖）→0，則序列 ｛un｝在中有一個(gè)收斂的子列；那么稱φ（u）滿足（C）條件。

引理2.7 如果F（t，x）滿足定理1的條件，那么泛函

滿足（C）條件。

證明 假設(shè)序列 ｛un｝?滿足｝有界，同時(shí)當(dāng)n→＋∞ 時(shí)，‖φ′（un）‖（1＋‖un‖）→0。則存在一個(gè)常數(shù)C1，滿足對(duì)于所有的n∈N有

由條件（A）和公式（2），對(duì)于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，

由上式得到存在一個(gè)常數(shù)C2，對(duì)于任意的n∈N，

引理2.8 假設(shè)E是一個(gè)Banach空間，φ∈C1（E ，R）滿足 （C）條件，并且滿足：

（J1）E＝V⊕X，其中V≠ ｛0｝ ，V是一個(gè)有窮維空間；

（J2）存在常數(shù)α1，在空間V中存在0的一個(gè)鄰域D，滿足φ｜?D≤α1；

（J3）存在常數(shù)β1＞α1，滿足φ｜X≥β1；那么φ有一個(gè)臨界點(diǎn)。

證明 文獻(xiàn)［8］證明了當(dāng)φ∈C1（E，R）滿足（PS）條件時(shí)結(jié)論成立。類似地，當(dāng)φ ∈C1（E ，R）滿足（C）條件時(shí)結(jié)論成立。

3 定理的證明

從（12）得到y(tǒng)（s）＝F（t，sx）是微分方程y′（s）＝的一個(gè)解。因此當(dāng)s≥由條件 （A）和（13），對(duì)于任意的和幾乎所有的t∈［0，T ］， a0b（t）≥≥其中常數(shù) a0＝因此對(duì)于任意的和幾乎所有的t∈ ［0，T］，F(xiàn)（t，x）＝由Sobolev不等式 和Wirtinger不等式得到對(duì)于所有的

并且在空間RN中，當(dāng)‖u‖→∞時(shí)，φ（u）→－∞。所以存在常數(shù)C6，α1＝supu∈RN，‖u‖＝C6φ（u）＜β1。因此引理2.8中條件（J2）和條件（J3）成立。因此φ有一個(gè)臨界點(diǎn)，即Kirchhoff系統(tǒng) （1）有一個(gè)弱解。

［1］J.Mawhin，M.Willem，Critical point theory and Hamiltonian systems［M］，Berlin：Springer－Verlag，1989.

［2］B.T.Cheng，X.Wu，Existence results of positive solutions of Kirchhoff type problems［J］，Nonlinear Anal.，2009，71：4883－4892.

［3］X.M.He，W.M.Zou，Infinitely many positive solutions for Kirchhoff type problems［J］，Nonlinear Anal.，2009，70：1407－1414.

［4］A.M.Mao，Z.T.Zhang，Sign－changing and multiple solutions of Kirchhoff type problems without the P.S.condition［J］，Nonlinear Anal.，2009，70：1275－1287.

［5］C.L.Tang，X.P.Wu，Notes on periodic solutions of subquadratic second order systems［J］，J.Math.Anal.Appl.，2003，285：8－16.

［6］C.L.Tang，X.P.Wu，Periodic solutions of second order systems with out uniformly coercive potential［J］，J.Math.Anal.Appl.，2001，259：386－397.

［7］M.Struwe，Variational methods：applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems［M］，Berlin：Springer－Verlag，2008.

［8］P.H.Rabinowitz，Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations［M］，Rhode Island：American Mathematical Society，1986.