馬雷，張建軍，翟玉章，杜國(guó)平

（1.東南大學(xué) 人文學(xué)院，江蘇 南京 211189；2.南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210093；3.中國(guó)社會(huì)科學(xué)院 邏輯研究所，北京 100732；4.南京師范大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210046）

一、馬雷與張建軍的問答

馬雷（以下簡(jiǎn)稱“馬”）：

我們能不能說“A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B永真或者A∨C永真”？A、B、C代表單一命題和代表復(fù)合命題對(duì)于這個(gè)論斷有區(qū)別嗎？

張建軍（以下簡(jiǎn)稱“張”）：

不知這個(gè)問題是針對(duì)何具體問題提出的。

“A ∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A ∨B 永真或者A ∨C 永真”，一般地說是不對(duì)的。如“p∨q∨非q”永真，但p∨q和p∨非q都不永真，只能得“（p∨q）∨（p∨非q）”這個(gè)析取式永真。這對(duì)單一命題和復(fù)合命題都是一樣的②。

馬：我們可以說“如果A∨B 永真或者A∨C 永真，那么A∨B∨C永真”，可以通過論證“A∨B永真或者A∨C永真”來論證“A∨B∨C永真”，是吧？但是，不能倒過來論證，因?yàn)閮烧邲]有等值關(guān)系。就是說，克勞斯著《形式邏輯導(dǎo)論》③272頁中這樣的論證思路還是對(duì)的。為了論證

可以論證或者

或者

他還是錯(cuò)在隨便脫去豎號(hào)。奇怪的是，在這個(gè)例子中，他不同意原式三大項(xiàng)同時(shí)脫去豎號(hào)，再運(yùn)算，而是主張分解開來再脫去豎號(hào)運(yùn)算。張老師舉的這個(gè)例子特別簡(jiǎn)潔明白，能說明問題。但是，如果做個(gè)限定，A∨B∨C 里面排除出現(xiàn)q∨非q 的情況，那么原等值式是否就對(duì)？

張：我手頭沒有克勞斯的書。這里可能要區(qū)分真和永真。A∨B∨C與（A∨B）∨（A∨C）是等價(jià)的，一個(gè)真另一個(gè)必真，一個(gè)永真另一個(gè)必永真。從（A∨B）∨（A∨C）為真可得其析取支至少一真，但從（A ∨B）∨（A ∨C）永真得不出其析取支至少一個(gè)永真④。

當(dāng)然你說的倒過來的論證是對(duì)的。

馬：?jiǎn)栴}還沒搞明白，請(qǐng)看：

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的

對(duì)于任何真的析取式而言，它的析取支一定有一個(gè)是真的

永真是一種真

所以，對(duì)于任何永真的析取式而言，它的析取支一定有一個(gè)是永真的

如果前面一個(gè)推理正確，那后一個(gè)也正確。為什么后一個(gè)真前提卻推出錯(cuò)的結(jié)論？除非您認(rèn)為前一個(gè)推理不對(duì)。

張：前一個(gè)推理是有效的，但后一個(gè)推理與之不同。永真并不是一個(gè)真值，只能說永真語句在任何可能世界中都取“真”值。（故不能說永真是一種真，而只能說永真語句是一種真語句）⑤

永真析取式是說它的析取支無論在任何情形（任何可能世界）都至少一真，但不是至少一“永真”。請(qǐng)考慮：

A∨非A 肯定永真，只能得出析取支必至少一“真”，而得不出至少一“永真”。

馬：我也懷疑“永真是一種真”有問題，但不知在什么地方出了問題，您這樣說，我就清楚了。你說“永真語句是一種真語句”，那么下面的推理對(duì)嗎？

對(duì)于任何析取式而言，如果它是真語句，則它的析取支一定有一個(gè)是真語句

永真語句是一種真語句

所以，對(duì)于任何析取式而言，如果它是永真語句，則它的析取支一定有一個(gè)是永真語句

該推理與下面您認(rèn)為正確的推理有什么不同嗎？

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的。

張：馬和動(dòng)物這個(gè)推理有效，是因結(jié)論本身就是邏輯真理（馬的頭上的毛是馬的毛），與馬和動(dòng)物的種屬關(guān)系無關(guān)。

從種屬關(guān)系立論，從任一永真析取句都是真析取句、任一真析取句的析取支至少一真，只能得一永真析取句的析取支至少一真（不能得永真）。

王路以前主張把truth譯為真而不譯為真理，我一直反對(duì)。因?yàn)椤罢妗笔且粋€(gè)真值，truth（真理）是真命題或真語句，二者不可混為一談。你的討論為此提供了新的佐證⑥。

馬：很贊同您關(guān)于真值和真理的區(qū)分。又有一個(gè)問題，是不是我以前沒有注意到？

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的。

您是說這是一個(gè)有效推理（因?yàn)榻Y(jié)論是邏輯真的），但結(jié)論不能從前提中推出來。就是說前提與結(jié)論沒有必然聯(lián)系，對(duì)吧？如果是這樣，那對(duì)“有效推理”的定義是什么呢？凡結(jié)論為邏輯真的推理都是有效推理？就是說前提與結(jié)論（或者說前件與后件）之間構(gòu)成了一個(gè)真的邏輯關(guān)系，但前提不一定能必然推出結(jié)論？就是說不符合推理規(guī)則的推理也可能是有效推理？有效推理與正確推理應(yīng)當(dāng)區(qū)別開來嗎？

張：從有效推理定義說，若前提矛盾或結(jié)論永真就可判定是有效推理，當(dāng)然這種推理乃是“空虛”有效。經(jīng)典邏輯的有效式可寫成永真的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵式⑦。前提矛盾或后件永真都是永真的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵式。

正確推理看怎么定義，若我們要求前提一定真，則前提矛盾的必不正確，后一種要看具體情況。

馬：謝謝您幫我澄清概念！我理解的正確推理就是符合推理規(guī)則的推理，這可能是一種傳統(tǒng)邏輯觀念，而不是現(xiàn)代邏輯觀念。

剛剛發(fā)現(xiàn)，就推理規(guī)則而言，關(guān)于馬和動(dòng)物的推理，從前提確實(shí)推不出結(jié)論。

正確的推理：

動(dòng)物的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，馬的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

錯(cuò)誤的推理：

馬的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，馬的毛有一個(gè)是馬的

通過聯(lián)鎖三段論可以論證。

張：這很對(duì)，類似于從馬是動(dòng)物，可推出所有馬的頭都是動(dòng)物的頭。

二、馬雷與翟玉章的問答

馬：我們能不能說“A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B 永真或者A∨C 永真”？A、B、C 代表單一命題和代表復(fù)合命題對(duì)于這個(gè)論斷有區(qū)別嗎？

翟玉章（以下簡(jiǎn)稱“翟”）：

很好的問題。答案是肯定的。

這里的A、B、C 可以理解為語句模式，比如“p”,“p 或q”, “如果p,那么q”,“既非p,也非q”等（其中的“p”,“q”是所謂語句模式字母，意思是它們的位置可以為具體的語句所代替）?，F(xiàn)在來表明你的結(jié)論。（1）如果【A或者B】是有效模式（又稱永真式），那么對(duì)該模式中模式字母無論用什么語句來代替，所形成的語句都是真的。因此在任何解釋下，不論C是否為真，【A或B或C】也是真的（因?yàn)椤続或B或C】的真值在【A 或B】為真的情況下即為真），而這正是【A或B或C】為有效模式的含義。（2）同樣可以說明：如果【A或C】是有效模式，那么，【A或B或C】也是有效模式。綜合（1）和（2）可知，【A或B或C】為有效模式的充分條件是【A或B】或【A或C】是有效模式。

現(xiàn)在進(jìn)一步說明這也是必要條件。如果【A或B或C】為有效模式，那么，在任何解釋下，A,B,C 三者至少之一為真。（1）如果A為真，顯然，【A或B】和【A或C】都為真，既然都為真，則至少之一為真可確保，即【A 或B】為真或【A 或C】為真。（2）如果B 為真，那么【A 或B】為真；既然【A 或B】為真，那么【A 或B】為真或【A 或C】為真。（3）如果C 為真，說明同（2）。綜合（1）、（2）、（3），【A 或B 或C】為有效模式的必要條件是【A或B】或【A或C】是有效模式。

綜合上面兩段，可知結(jié)論成立：A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B永真或者A∨C永真。

以上說明很直觀。只運(yùn)用了“或者”一詞的含義：“p 或者q”為真當(dāng)且僅當(dāng)“p”為真或“q”為真，以及有效模式（永真式）的定義：一個(gè)模式是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)無論對(duì)該模式中的字母作何解釋，所得到的語句都是真的；比如模式“p或者非p”是一個(gè)有效模式，因?yàn)闊o論對(duì)“p”作何解釋（無數(shù)種解釋可以歸結(jié)為兩種，即用真語句代替“p”和用假語句代替“p”),得到的語句都是真的，而模式“p或者非q”不是有效模式，因?yàn)楫?dāng)我們分別用假語句（比如，“中國(guó)在美洲”）和真語句（比如，“加拿大在美洲”）來解釋“p”和“q”時(shí)，得到的是一個(gè)復(fù)合的假語句（比如“中國(guó)在美洲或者加拿大不在美洲”）。

另外，再重申一下A,B,C 和“p”,“q”,“r”的區(qū)別。前者可以是復(fù)雜模式，而后者只是模式字母，是最簡(jiǎn)單的模式。為什么前者無引號(hào)，后者有引號(hào)？原因：A,B，C是名詞，是模式的名稱；而p,q,r則是語句模式（當(dāng)然是最簡(jiǎn)單的模式），起著語句的作用，但代替這些小寫字母的可以是復(fù)雜的語句。因此，嚴(yán)格說來“A或者B”是不合句法的，因?yàn)椤盎蛘摺甭?lián)結(jié)的是兩個(gè)語句，而不是兩個(gè)名字。你可能注意到，我使用了“【A或者B】”這樣的表達(dá)式，意思是這個(gè)語句是由A和B所代表的語句所形成的復(fù)合句?！皃或者q”是合格的表達(dá)式，因?yàn)檫@里的小寫字母所起的就是語句的作用，而不像A，B 那樣，只是起語句名稱的作用。這里的區(qū)別實(shí)際上就是對(duì)象和對(duì)象的名稱之間的區(qū)別，這在很多情況下是一目了然的，如“北京”和北京的區(qū)別，但在數(shù)學(xué)和邏輯里，這個(gè)區(qū)別有時(shí)會(huì)迷失，一流的邏輯學(xué)家如羅素者都曾經(jīng)有過這樣的混淆。

馬：謝謝你的詳細(xì)分析！我的問題有些歧義，現(xiàn)在改成“A∨B∨C永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B和A∨C當(dāng)中至少有一個(gè)是永真的”。如果這樣表述的話，您還認(rèn)為正確嗎？

翟：仍然正確。

馬：假定A=┐（┐M∨P）；B=┐S∨┐M；C=┐S∨P，則

A∨B=（┐M∧┐P）∨（┐S∨┐M）=（┐S∨M∨┐M）∧（┐S∨┐M∨┐P）。該式不是永真的。

A∨C=┐（┐M∨P)∨(┐S∨P)=（M∧┐P）∨（┐S∨P）=（┐S∨M∨P）∧（S∨P∨┐P）。該式也不是永真的。

A∨B∨C=┐（┐M∨P）∨（┐S∨┐M）∨（┐S∨P）=（M∧┐P）∨（┐S∨┐M）∨（┐S∨P）?=（┐S∨M∨┐M∨P）∧（┐S∨M∨P∨┐P）。該式是永真的。

就是說原等值式不正確。怎么解釋？

翟：第一封回信中關(guān)于必要條件的證明是錯(cuò)誤的。

現(xiàn)在進(jìn)一步說明這也是必要條件。如果【A或B或C】為有效模式，那么，在任何解釋下，A, B, C三者至少之一為真。（1）如果A 為真，顯然，【A 或B】和【A 或C】都為真，既然都為真，則至少之一為真可確保，即【A 或B】為真或【A 或C】為真。（2）如果B 為真，那么【A或B】為真；既然【A或B】為真，那么【A或B】為真或【A 或C】為真。（3）如果C 為真，說明同（2）。綜合（1）、（2）、（3），【A 或B 或C】為有效模式的必要條件是【A 或B】或【A 或C】是有效模式。

黑體字之前的論證都是正確的。但黑體字的結(jié)論是錯(cuò)的。我們只能說， 綜合（1）、（2）、（3），如果【A 或B 或C】是有效模式，那么在任何解釋下，【A或B】和【A 或C】中至少有一個(gè)是真的，而這其實(shí)只是說【（A或B）或（A或C）】是有效模式。而說【（A或B）或（A 或C）】是有效模式，并不等于說 【A 或B】或【A 或C】是有效模式。簡(jiǎn)單的反例是：雖然“p 或非p”是有效模式，但“p”和“非p”都不是有效模式。邏輯上的事情有時(shí)很微妙，稍有疏忽就會(huì)出錯(cuò)。我原是一步一步說明的，但最后出現(xiàn)了跳躍，錯(cuò)誤正出現(xiàn)在此跳躍中。

非常感謝您通過一個(gè)反例（即證偽法）糾正我的這一錯(cuò)誤。

馬：你認(rèn)為下面的推理對(duì)不對(duì)？

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的。

翟：有效推理。從直觀上就很清楚。但我還是將它推導(dǎo)如下。

兩個(gè)前提和結(jié)論的同步結(jié)構(gòu)是：

前提一：（x)(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))

前提二：（x)(Hx→Fx)

結(jié)論：（x)(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))

Fx:x是動(dòng)物，Gxy:x是y頭上的毛，Hx:x是馬。

為了表明這是一個(gè)有效的推理，只需表明肯定前提而否定結(jié)論會(huì)導(dǎo)致矛盾即可。

1.（x）(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))...前提一

2.（x）(Hx→Fx)...前提二

3.-（x）(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...結(jié)論的否定

4.（Ex）-(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...3的前置式

5.-（Ha→(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz)))...4，特稱例化

6.Ha-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...5，真值函項(xiàng)變換

7.Ha...6，合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取肢也為真。

9.-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...6，合取的性質(zhì)

10.(y)-(Gya(Ez)(HzGyz))...9的前置式

11.Ha→Fa...2,全稱例化

12.Fa...7,11,肯定前件推理

13.Fa→(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...1,全稱例化

14.(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...12、13，肯定前件推理

15.Gba(Ez)(FzGbz)...14,特稱例化

16.Gba...15,合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取支為真。

17.-(Gba(Ez)(HzGbz))...10，全稱例化

18.-Gba∨-(Ez)(HzGbz)...17,真值函項(xiàng)變換（德摩根定律）

19.-Gba∨(z)-(HzGbz))...18,移置律（將析取式后一個(gè)析取支實(shí)現(xiàn)量詞前置）

20.(z)(-HzGbz∨-Gba)...19,移置律（將整個(gè)析取式實(shí)現(xiàn)量詞的前置）

21.-HaGba∨-Gba...20，全稱例化

22.-Gba...21,7，真值函項(xiàng)變換

23.Gba-Gba（矛盾）...22、16

馬：你的有效推理的定義是不是這樣：“從有效推理定義說，若前提矛盾或結(jié)論永真就可判定是有效推理，當(dāng)然這種推理乃是‘空虛’有效。經(jīng)典邏輯的有效式可寫成永真的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵式。前提矛盾或后件永真都是永真的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵式?！保◤埥ㄜ娬Z）

我理解的正確推理是符合推理規(guī)則的推理，就是如果前提真，并且符合推理規(guī)則，結(jié)論一定真；如果前提假，并且符合推理規(guī)則，則結(jié)論必然假⑧。

翟：你對(duì)我的理解是正確的。但你我之間其實(shí)并無分歧。照你的理解，一個(gè)推理是有效推理，當(dāng)且僅當(dāng)結(jié)論可以邏輯地從前提中推導(dǎo)出來，或只要前提真，那么結(jié)論就一定真。但我們?nèi)绾闻袛嗄芊襁壿嫷赝茖?dǎo)出來呢，或者如何判斷在前提真的情況下結(jié)論一定真呢？其核心方法仍是判斷由前提作前件而結(jié)論作后件的條件句是否為邏輯真。另外將條件句稱為（實(shí)質(zhì)）蘊(yùn)涵句是不準(zhǔn)確的。蘊(yùn)涵句是元語言層面的東西，它談的是兩個(gè)語句之間的關(guān)系。而條件句一般并不是關(guān)于語句的。當(dāng)然兩者之間有聯(lián)系，具體地說：任何一個(gè)條件句都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵句。舉例：“如果明天天不下雨，我就去爬山”這個(gè)條件句如果是真的，那么對(duì)應(yīng)的蘊(yùn)含句也是真的：語句“明天天不下雨”蘊(yùn)含語句“我明天去爬山”。

馬：我可以通過聯(lián)鎖三段論證明下面的推理無效，就是按照正確規(guī)則從前提推不出結(jié)論。

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的。

正確的推理：

動(dòng)物的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，馬的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

錯(cuò)誤的推理：

馬的毛有一個(gè)是動(dòng)物的（把前面的結(jié)論作為大前提）

馬是動(dòng)物

所以，馬的毛有一個(gè)是馬的

翟：“動(dòng)物的毛有一個(gè)是動(dòng)物的”與你的原先的前提“對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的”并不是一回事。前者說的是：存在著如此這般的對(duì)象，這個(gè)東西既是動(dòng)物的毛，同時(shí)又是動(dòng)物的毛，簡(jiǎn)化成：存在著動(dòng)物的毛。但后者并不蘊(yùn)含存在著動(dòng)物的毛這一點(diǎn)，它只是說，任何對(duì)象如果是動(dòng)物，那么將存在著既是它的毛又是動(dòng)物的毛（這意味著可能是別的動(dòng)物的毛），這里并沒有說到是否存在著毛的問題，至多只是有條件地肯定存在著這樣的東西。另外，這個(gè)推理嚴(yán)格說來并不是三段論推理，因?yàn)榈谝粋€(gè)前提實(shí)際上只有一個(gè)概念，即“動(dòng)物的毛”，另外整個(gè)推理有四個(gè)概念：動(dòng)物的毛、馬、動(dòng)物、馬的毛。更重要的是，這并不是一個(gè)有效推理。如果你將“馬是動(dòng)物”替換成“永動(dòng)機(jī)是動(dòng)物”（這是真的），結(jié)論將是“永動(dòng)機(jī)的毛有一個(gè)是動(dòng)物的”，這說的是存在著既是永動(dòng)機(jī)的毛又是動(dòng)物的毛的東西，但這樣的東西顯然是不存在的。

馬：“馬是動(dòng)物”是否等值于“馬的毛是動(dòng)物的毛”？或“馬的頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛”？

翟：馬是動(dòng)物：(x)(如果x是馬，那么x是動(dòng)物）

馬的毛是動(dòng)物的毛：（x)(如果x是馬的毛，那么x是動(dòng)物的毛），進(jìn)一步地：（x)(如果(Ey)(y 是馬而且x是y的毛），那么 (Ey)(y是動(dòng)物而且x是y的毛))

可以證明，這是一個(gè)有效推理。

具體地說，就是要證明體現(xiàn)：“(x)(Fx→Gx)”蘊(yùn)含“(x)((Ey)(FyDyx→(Ey)(GyDyx))”

類似的推理，16 世紀(jì)的邏輯學(xué)家Joachim Jungius曾經(jīng)考察過，不過他的例子是：

從“圓是圖形”推導(dǎo)出“畫圓的人是畫圖形的人”，這個(gè)推理涉及關(guān)系：x畫y。

他還有另外一個(gè)例子：從“偶數(shù)的平方是偶數(shù)”和“6 是偶數(shù)”推導(dǎo)出“6 的平方是偶數(shù)”。這看上去極像一個(gè)三段論，但事實(shí)上并不是。要說明這一推理，要用到關(guān)系：x是y的平方。

同樣，我們也可以從“馬是動(dòng)物”推出“馬的頭是動(dòng)物的頭”，再?gòu)暮笳咄瞥觥埃R的頭）的毛是（動(dòng)物的頭）的毛”。

馬：一般人承認(rèn)從“馬是動(dòng)物”推出“馬的毛是動(dòng)物的毛”，但沒有說明從“馬的毛是動(dòng)物的毛”能否推出“馬是動(dòng)物”。

翟：確實(shí)，反過來的推理并不成立。舉例：即使每一個(gè)美國(guó)人的財(cái)產(chǎn)都是中國(guó)人的財(cái)產(chǎn)，但美國(guó)人依然可以不是中國(guó)人。

馬：“每一個(gè)美國(guó)人的財(cái)產(chǎn)都是中國(guó)人的財(cái)產(chǎn)”是什么意思？

“馬的毛是動(dòng)物的毛”這個(gè)意思比較含糊。準(zhǔn)確理解應(yīng)為“馬身上長(zhǎng)的毛是動(dòng)物身上長(zhǎng)的毛”，這與“馬所擁有的東西是動(dòng)物所擁有的東西”（比如“馬的鞍子是動(dòng)物的鞍子”）是不同的。如果這樣理解，會(huì)怎么樣？

翟：每一個(gè)美國(guó)人的財(cái)產(chǎn)是中國(guó)人的財(cái)產(chǎn)。

（x)(如果x 是美國(guó)人的財(cái)產(chǎn)，那么x 是中國(guó)人的財(cái)產(chǎn)）

（x)(如果(Ey)(y 是美國(guó)人而且x 是y 的財(cái)產(chǎn)），那么(Ey)(y是中國(guó)人而且x是y的財(cái)產(chǎn)))

你可以看到，這與“（x)(如果(Ey)(y是馬而且x是y 的毛），那么(Ey)(y 是動(dòng)物而且x 是y 的毛))”（即“馬的毛是動(dòng)物的毛”），在結(jié)構(gòu)上是一樣的。

你所說的區(qū)別，多數(shù)情況下只是一種修辭上的區(qū)別。你的兩種說法，馬的毛是動(dòng)物的毛，馬身上長(zhǎng)的毛是動(dòng)物身上長(zhǎng)的毛，前者說：和馬發(fā)生某種關(guān)系的事物同時(shí)也是和動(dòng)物發(fā)生同樣關(guān)系（x 是y 的毛）的事物，后者說的也是：和馬發(fā)生關(guān)系的事物同時(shí)也是和動(dòng)物發(fā)生同樣關(guān)系的事物（x 長(zhǎng)在y 上）。雖然“x是y的毛”和“x長(zhǎng)在y上”的含義并不同，但它們將分別得到同樣的處理。當(dāng)然，如果這兩種關(guān)系發(fā)生在同一個(gè)論說中，比如“這雖然是屬于我的毛，但卻不是我身上長(zhǎng)著的毛”，將需要用不同的模式字母表示：Fxy而且-Gxy。

馬：我是問“每一個(gè)美國(guó)人的財(cái)產(chǎn)是中國(guó)人的財(cái)產(chǎn)”的內(nèi)涵是什么？好像美國(guó)人是強(qiáng)盜。你對(duì)此句的邏輯分析很細(xì)致，推理也對(duì)。我的疑惑是：你能舉出反例說明從“X 身上長(zhǎng)的Z 是Y 身上長(zhǎng)的Z”推不出“X是Y”嗎？

翟：我這個(gè)例子也是有感而發(fā)的。現(xiàn)在網(wǎng)上有一種議論，認(rèn)為美國(guó)人在發(fā)動(dòng)一種金融戰(zhàn)爭(zhēng)掠奪中國(guó)人的財(cái)富！

你讓我舉一個(gè)毛的例子，那也能做到的。設(shè)想，人身上并沒有毛，但科學(xué)家經(jīng)過研究認(rèn)為，人身上要是有毛的話，可以防止某種疾病。于是人們紛紛以植入狗毛為榮。于是我們有下面的真前提：人身上長(zhǎng)的毛都是狗身上長(zhǎng)的毛⑨。但即使如此，人仍然不是狗。

馬：你這個(gè)例子好像有些詭辯。你增加了前提。你的推理前提是：

1.人身上植入了狗的毛

2.人身上長(zhǎng)的毛都是狗身上長(zhǎng)的毛

“人不是狗”的結(jié)論是從兩個(gè)前提合推出來的。

翟：我所說的是，從邏輯的角度看，單單從“人身上長(zhǎng)的毛是狗身上的毛”是推不出“人是狗”的，就像單單從“美國(guó)人的財(cái)富是中國(guó)人的財(cái)富”推不出“美國(guó)人是中國(guó)人”一樣。結(jié)合到你的例子，你也不能從“馬身上長(zhǎng)的毛是動(dòng)物身上長(zhǎng)的毛”推出“馬是動(dòng)物”一樣，盡管反過來的推理是成立的。

我的意思并不是說從“人身上長(zhǎng)的毛是狗身上長(zhǎng)的毛”再加上“人身上植入了狗的毛”可以推出“人不是狗”。事實(shí)上，這兩個(gè)前提并不能推出這一結(jié)論。顯然，第一個(gè)前提和第二個(gè)前提在邏輯上并無相關(guān)性?！爸踩搿睂?duì)第一個(gè)前提來說完全是一個(gè)陌生的詞項(xiàng)。

馬：可能的情況是：假如“人身上長(zhǎng)的毛都是狗身上長(zhǎng)的毛”真，可以推出“人是狗”真。實(shí)際情況是，“人身上長(zhǎng)的毛都是狗身上長(zhǎng)的毛”是假的（因?yàn)槊豢赡芡瑫r(shí)長(zhǎng)在人和狗身上），它不能推出“人是狗”真。因?yàn)?，即使合乎推理?guī)則，前提錯(cuò)，結(jié)論一定錯(cuò)。如果你能舉個(gè)前提是真的句子，而合乎規(guī)則地推出假的結(jié)論，我才相信現(xiàn)有的邏輯力量。我總懷疑有些東西，現(xiàn)有的邏輯概括不了。

翟：前提：人的身上覆蓋著的東西都是除人之外的動(dòng)植物的身上覆蓋的東西（按，實(shí)指衣服。但應(yīng)該指出這個(gè)前提只在早期農(nóng)業(yè)文明社會(huì)中是真的）。

結(jié)論：人是除人之外的動(dòng)植物。

這大概是合乎你心意的例子了吧。由此例，你一定會(huì)更真切地感覺到，從該前提推導(dǎo)出該結(jié)論的規(guī)則（當(dāng)然我不清楚這是什么樣的規(guī)則，但這并不重要）一定是錯(cuò)的。因?yàn)槟阏J(rèn)可正確的規(guī)則能從真前提導(dǎo)致真結(jié)論，但現(xiàn)在卻導(dǎo)致了假結(jié)論，因此規(guī)則一定是錯(cuò)的。

馬：你舉的例子固然好，但只是一種類型，與“馬的毛是動(dòng)物的毛”是不一樣的。我們現(xiàn)在使用的邏輯是蘊(yùn)涵式命題邏輯或講普遍與特殊關(guān)系的詞項(xiàng)邏輯?，F(xiàn)在遇到的問題是，里面有個(gè)整體與部分的關(guān)系?！懊笔恰榜R”的一部分，也是某個(gè)動(dòng)物的一部分。這個(gè)關(guān)系，現(xiàn)在的邏輯怎么概括？你要是舉反例，也應(yīng)該是我講的這個(gè)類型。

翟：我知道你的意思。你的區(qū)別在邏輯上是可以得到處理的。任何無毛的東西都不是馬（毛是馬的不可侵害的一部分），但卻存在著不穿衣服的人（衣服不是人的不可分割的一部分），用符號(hào)化的語言表示就是：

(x)(如果x沒有毛，那么x不是馬），

（Ex）(x沒有衣服而且x是人）。

三、馬雷與杜國(guó)平的問答

馬：我們能不能說“A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B 永真或者A∨C 永真”？A、B、C 代表單一命題和代表復(fù)合命題對(duì)于這個(gè)論斷有區(qū)別嗎？

杜國(guó)平（以下簡(jiǎn)稱“杜”）：

“A∨B∨C永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B永真或者A∨C永真。”這是不正確的。舉一例即可證明：p∨q∨非q 永真，但是p∨q 不永真，p∨非q 也不永真。A、B、C代表單一命題和代表復(fù)合命題對(duì)于這個(gè)論斷沒有區(qū)別。

馬：你認(rèn)為下面的推理對(duì)不對(duì)？

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的。

杜：這個(gè)推理可能應(yīng)該問題不大，但是如果嚴(yán)格表述的話，最好是：

對(duì)于任何動(dòng)物而言，如果它頭上有毛，那么它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的；

馬是動(dòng)物；

所以，對(duì)于任何馬而言，如果它頭上有毛，那么它頭上的毛一定有一個(gè)是馬的

馬：對(duì)于任何動(dòng)物而言，如果它頭上有毛，則它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，如果它頭上有毛，則它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的。

對(duì)于任何真的析取式而言，如果它有析取支，則它的析取支一定有一個(gè)是真的

永真是一種真

所以，對(duì)于任何永真的析取式而言，如果它有析取支，則它的析取支一定有一個(gè)是永真的。

后一個(gè)推理與前一個(gè)推理是一樣的，為什么它的結(jié)論是錯(cuò)的？

杜：這個(gè)問題比較復(fù)雜。第一，“對(duì)于任何動(dòng)物而言，如果它頭上有毛，則它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的；馬是動(dòng)物；所以，對(duì)于任何馬而言，如果它頭上有毛，則它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的?！边@是一個(gè)自然語言中的有效推理式。它的有效性還依賴于一些沒有列出來的常識(shí)判斷，例如“動(dòng)物的頭是動(dòng)物的一個(gè)部分”等。這也是通常所說的預(yù)設(shè)。而后一個(gè)推理則純粹是構(gòu)造的，它是否有效只能根據(jù)純粹的形式。第二，后一個(gè)推理的前提“永真是一種真”在邏輯上是不正確的，“真”是一個(gè)語義指派的情況，而“永真”是所有語義指派下的情況。

馬：你說得有道理。但玉章證明下面的推理是有效推理。他證明錯(cuò)了嗎？

對(duì)于任何動(dòng)物而言，它的頭上的毛是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛是馬的

“有效推理。從直觀上就很清楚。但我還是將它推導(dǎo)如下。

兩個(gè)前提和結(jié)論的同步結(jié)構(gòu)是：

前提一：（x)(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))

前提二：（x)(Hx→Fx)

結(jié)論：（x)(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))

Fx:x是動(dòng)物，Gxy:x是y頭上的毛，Hx:x是馬。

為了表明這是一個(gè)有效的推理，只需表明肯定前提而否定結(jié)論會(huì)導(dǎo)致矛盾即可。

1.（x）(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))...前提一

2.（x）(Hx→Fx)...前提二

3.-（x）(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...結(jié)論的否定

4.（Ex）-(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...3的前置式

5.-（Ha→(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz)))...4，特稱例化

6.Ha-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...5，真值函項(xiàng)變換

7.Ha...6，合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取肢也為真。

9.-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...6，合取的性質(zhì)

10.(y)-(Gya(Ez)(HzGyz))...9的前置式

11.Ha→Fa...2,全稱例化

12.Fa...7,11,肯定前件推理

13.Fa→(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...1,全稱例化

14.(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...12、13，肯定前件推理

15.Gba(Ez)(FzGbz)...14,特稱例化

16.Gba...15,合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取肢為真。

17.-(Gba(Ez)(HzGbz))...10，全稱例化

18.-Gba∨-(Ez)(HzGbz)...17，真值函項(xiàng)變換（德摩根定律）

19.-Gba∨(z)-(HzGbz))...18,移置律（將析取式后一個(gè)析取枝實(shí)現(xiàn)量詞前置）

20.(z)(-HzGbz∨-Gba)...19,移置律（將整個(gè)析取式實(shí)現(xiàn)量詞的前置）

21.-HaGba∨-Gba...20，全稱例化

22.-Gba...21, 7，真值函項(xiàng)變換

23.Gba-Gba（矛盾）...22、16”

杜：1.你開始的問題是：“對(duì)于任何動(dòng)物而言，如果它頭上有毛，則它頭上的毛一定有一個(gè)是動(dòng)物的，馬是動(dòng)物，所以，對(duì)于任何馬而言，如果它頭上有毛，則它的頭上的毛一定有一個(gè)是馬的?！焙髞斫o出的證明是：“對(duì)于任何動(dòng)物而言，它的頭上的毛是動(dòng)物的，馬是動(dòng)物，所以，對(duì)于任何馬而言，它的頭上的毛是馬的?！边@兩者的表述是不同的。

2.“（x)(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))”錄入可能有誤，缺少連接詞⑩；

3.你給出的形式證明我不知道是哪里給出的，應(yīng)該問題不大，但是已經(jīng)對(duì)自然語言的意思進(jìn)行了某些修正。證明應(yīng)該沒有什么問題。符號(hào)可能有誤。

馬：“馬是動(dòng)物”是否等值于“馬的毛是動(dòng)物的毛”？或“馬的頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛”？

1.存在一根毛，如果它是動(dòng)物頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

2.存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬的毛的動(dòng)物的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

3.對(duì)所有毛而言，如果它是動(dòng)物頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛

所以，對(duì)所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

4.對(duì)所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬的毛是動(dòng)物的毛

所以，對(duì)所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

你認(rèn)為這四個(gè)推理式都有效嗎？

杜：“馬是動(dòng)物”肯定不等值于“馬的毛是動(dòng)物的毛”，也不等值于“馬的頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛”。準(zhǔn)確地說，這三者都相互不等值。

1.存在一根毛，如果它是動(dòng)物頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

有效。

2.存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬的毛是動(dòng)物的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

不有效。

3.對(duì)所有毛而言，如果它是動(dòng)物頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛

所以，對(duì)所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

有效。

4.對(duì)所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬的毛是動(dòng)物的毛

所以，對(duì)所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

不有效。

馬：如果“馬是動(dòng)物”等值于“馬的毛是動(dòng)物的毛”，也等值于“馬身上長(zhǎng)的毛是動(dòng)物身上長(zhǎng)的毛”，則推理

動(dòng)物的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，馬的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

馬的毛有一個(gè)是動(dòng)物的

馬是動(dòng)物

所以，馬的毛有一個(gè)是馬的

就可以分別精確表達(dá)為

存在一根毛，如果它是動(dòng)物頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬頭上的毛是動(dòng)物頭上的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

（你認(rèn)為有效）

存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動(dòng)物的毛

馬的毛是動(dòng)物的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

（你認(rèn)為不有效）

這樣就可以理解從“動(dòng)物的毛有一個(gè)是動(dòng)物的”推不出“馬的毛有一個(gè)是馬的”。

你說，“馬是動(dòng)物”肯定不等值于“馬的毛是動(dòng)物的毛”。你能不能找到反例？“馬的毛是動(dòng)物的毛”意思是說“馬身上長(zhǎng)的毛是動(dòng)物身上長(zhǎng)的毛”（區(qū)別與“馬擁有的東西是動(dòng)物擁有的東西”這個(gè)意思，比如“馬的衣服是動(dòng)物的衣服”）。一般認(rèn)為，從“馬是動(dòng)物”能推出“馬的毛是動(dòng)物的毛”。但反過來為什么就不能？

杜：馬的主人是牛的主人，但是馬不是牛。

馬：你這個(gè)反例太好了！但我說的是：X身上長(zhǎng)的M是Y身上長(zhǎng)的M，能不能推出X是Y？

杜：要反駁“X 身上長(zhǎng)的M 是Y 身上長(zhǎng)的M，推出X 是Y”，只需要舉一個(gè)反例即可，不管這個(gè)反例多么特殊。

對(duì)于連體雙胞胎（共用一只耳朵，記為A器官），X身上長(zhǎng)的A器官是Y身上長(zhǎng)的A器官，由此不能推出X是Y，因?yàn)閄和Y是雙胞胎，但不是一個(gè)人。

馬：我疑惑的是，當(dāng)一個(gè)東西同時(shí)長(zhǎng)在所謂“兩個(gè)”對(duì)象的身上時(shí)，其實(shí)這“兩個(gè)”對(duì)象就不存在了，只能說是“一個(gè)”連接體。我們一般習(xí)慣于把連體雙胞胎看成兩個(gè)對(duì)象，其實(shí)只是一個(gè)連體胎。我們不能說“雙頭人”是兩個(gè)人，也不能說不是兩個(gè)人，只能說是一個(gè)連體人。正因?yàn)槿绱耍@類人在身份認(rèn)證、生活習(xí)慣、結(jié)婚生子等方面都與常人不同。如果是兩個(gè)人，就不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)情況了。

如果X 和Y 是一個(gè)對(duì)象或一類對(duì)象，從“X 身上長(zhǎng)的M是Y身上長(zhǎng)的M“可以推出“X是Y”。

注釋：

①姓名以最先發(fā)出郵件的時(shí)間排序。就問答形式和內(nèi)容而言，排名不分先后，每位問答者都應(yīng)視為并列的第一作者。在問答和注釋中，專家姓名以姓氏表示。

②翟后來通過郵件就黑體部分批注說：“回答非常好！”

③格·克勞斯著《形式邏輯導(dǎo)論》，金培文、康宏逵譯，上海人民出版社1981年版。

④翟后來通過郵件就黑體部分批注說：“永真”和“真”確實(shí)是兩個(gè)不同的概念。前者的適用對(duì)象是模式，可稱為“永真式”（或有效模式）：一個(gè)模式是永真的，當(dāng)且僅當(dāng)該模式的所有替換例都是真的；后者適用對(duì)象是語句，可稱為“真語句”，但真語句中有一類可稱為永真句。我記得和你說過，“永真句”中的“永真”是個(gè)派生的概念：一個(gè)語句是永真的，當(dāng)且僅當(dāng)該語句是某個(gè)永真式的替換例。在奎因的書里，永真式和永真句分別被稱為有效模式和邏輯真。奎因的術(shù)語是更好的。永真句這個(gè)概念有誤導(dǎo)性，仿佛有些語句是永遠(yuǎn)真的，另一些語句則有時(shí)真有時(shí)假，但事實(shí)上，除了所謂場(chǎng)合句（比如“這里有許多人”）外，語句的真值是恒定的。

⑤翟后來通過郵件就黑體部分批注說：我上面的解說要比這清楚些。特別是，為了說清楚有效模式、邏輯真這些概念，無須節(jié)外生枝地使用有爭(zhēng)議的“可能世界”概念?！翱赡苁澜纭弊鳛橐粋€(gè)比喻的說法是很形象的，但卻是一個(gè)不具解釋力的概念，它比要解釋的概念“邏輯真”來，并不更清楚些。（張又對(duì)此批注：玉章對(duì)“可能世界”的疑慮，可能是受奎因的影響。但多年研究已表明，“邏輯真理”至少不比“可能世界”更容易澄清，而我認(rèn)為反過來倒更為可行。要解決條件句疑難等古老而常新的難題，是繞不開可能世界語義學(xué)的。）

⑥翟后來通過郵件就黑體部分批注說：我也反對(duì)王路的做法，但理由有所不同。在張看來王是把概念弄錯(cuò)了，而在我看來王是小題大做。真就是真理，兩者的本意都是指真語句?！坝勒媸健敝械摹罢妗笔且粋€(gè)派生的概念：永真式就是所有替換例都為真語句的模式。（張又對(duì)此批注：王路的出發(fā)點(diǎn)是區(qū)分認(rèn)識(shí)論的truth 概念和語義學(xué)的truth 概念，這是有道理的；然而，這種區(qū)分應(yīng)是對(duì)同一種對(duì)象的不同把握，否則就難以說清語義學(xué)對(duì)認(rèn)識(shí)論的貢獻(xiàn)了。從經(jīng)典語義學(xué)看，truth 有無窮多，而真值只有兩個(gè)真與假；truth 就是“為真的東西”，若直接譯為“真語句”“真命題”或“真陳述”，那都是假定了一種關(guān)于真值載體的哲學(xué)觀點(diǎn)，故還是譯為“真理”為好。）

⑦翟后來通過郵件就黑體部分批注說：條件式。當(dāng)然，每一個(gè)條件句都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含句。而邏輯真的條件句則對(duì)應(yīng)一個(gè)嚴(yán)格蘊(yùn)含句。

⑧張后來通過郵件針對(duì)這一點(diǎn)發(fā)表如下看法：有一個(gè)地方請(qǐng)注意，你在與玉章的討論中說：符合推理規(guī)則的推理，就是如果前提真，并且符合推理規(guī)則，結(jié)論一定真；如果前提假，并且符合推理規(guī)則，則結(jié)論必然假。

其中分號(hào)后的一句話要去掉，前提假、符合推理規(guī)則，結(jié)論真的事例很多；有效演繹前提到結(jié)論保真，但并不保假。

玉章說要區(qū)分條件句和蘊(yùn)涵句，這是很有啟發(fā)的；條件句和蘊(yùn)涵句同義在學(xué)界約定俗成，但這種用法的確造成了很多問題。

我今年在《學(xué)術(shù)研究》發(fā)表了一篇關(guān)于蘊(yùn)涵問題的論文，因涉及量化，可能對(duì)你的著作中有關(guān)問題的研究有用，寄上供參考。蘊(yùn)涵問題我考慮了整30年，終于在2010年徹底想通，最近要發(fā)系列論文。這是應(yīng)《學(xué)術(shù)研究》約稿寫的第一篇。（指《從形式蘊(yùn)涵看“實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵怪論”》，載《學(xué)術(shù)研究》2012年第4期——馬雷注）

⑨翟后來通過郵件就黑體部分作出評(píng)注：嚴(yán)格說來，這里對(duì)假定條件的概括是錯(cuò)誤的。正確的概括是：人身上植入的毛（曾經(jīng)）是狗身上長(zhǎng)的毛。但這樣一來，這就不再是一個(gè)反例了。我舉的另外兩例確實(shí)是反例，但相比而言，杜在和你的對(duì)話中所舉的反例才是一個(gè)既直觀又自然的好例子。

⑩翟后來通過郵件就黑體部分作出批注：就像代數(shù)中的乘法符號(hào)可以被省略一樣。同樣，在邏輯中，合取的符號(hào)也可被省略。這個(gè)式子相當(dāng)于：（x)(Fx→（Ey)(Gyx∧(Ez)(Fz∧Gyz)))