許俊杰

（山西省水利水電勘測設(shè)計(jì)研究院 山西太原 030024）

0 引言

在工程控制網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)歸算到國家坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)，實(shí)測的邊長要進(jìn)行各項(xiàng)改正，改變各邊的真實(shí)長度，從而引起長度變形，不利于大比例尺地形圖測繪和施工放樣[1]。近些年，在我國的水利工程中，施工區(qū)域有著狹窄、跨區(qū)長的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)線路由于經(jīng)過一些地表起伏較大的區(qū)域，會產(chǎn)生不同的長度變形。為滿足水利工程建設(shè)的精度要求，控制測量時(shí)需選擇合適的坐標(biāo)系統(tǒng)，尤其需要采取有效的方法控制長度變形。坐標(biāo)系統(tǒng)選擇和長度變形控制對線路中線定樁、隧洞貫通、橋梁及渡槽的架設(shè)以及其他部分施工的精確度有著直接的影響[2]。

為避免重復(fù)測繪，使測量成果更有效利用，一般采用國家統(tǒng)一的3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系。這樣就使得工程測量控制網(wǎng)同國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系，利于測量成果相互轉(zhuǎn)換利用。通過深入分析長度綜合變形產(chǎn)生的原因，本文提出了在抵償高程面上應(yīng)用相似四參數(shù)模型經(jīng)過“二次坐標(biāo)變換”控制長度綜合變形，使整個(gè)測區(qū)變形盡可能分布均勻[3]。

1 長度綜合變形的控制

為了有效地控制投影長度變形，通常需要建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系，將實(shí)測數(shù)據(jù)在獨(dú)立坐標(biāo)系下進(jìn)行處理，另外，還需要將獨(dú)立坐標(biāo)系下的成果轉(zhuǎn)換到國家坐標(biāo)系下，以便為后續(xù)工程建設(shè)服務(wù)[4]。

1.1 長度綜合變形值

由大地測量理論可知，將實(shí)地測量的真實(shí)長度投影到高斯平面上，需要加上兩項(xiàng)改正，即實(shí)量邊長歸算至參考橢球面上的變形，與橢球面上的邊長歸算至高斯投影面上的變形之和，即為長度綜合變形量，不同投影面上的同一距離近似相等，長度綜合變形的計(jì)算公式為[5]

式中：Hm—長度所在高程面對于橢球面的高差；

s—實(shí)測水平距離；

R—測區(qū)中點(diǎn)的平均曲率半徑；

ym—距離的兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)的均值。

式（1）中右邊的第一項(xiàng)為實(shí)測距離到參考橢球面的改化，第二項(xiàng)為參考橢球面到高斯投影面的改正。由此可以得出，地面上的一段實(shí)測距離，在經(jīng)過兩次改正后，改變了真實(shí)長度。

為了便于計(jì)算，可以將橢球視為圓球，取其平均半徑R=6371km，又取將式（1）寫成相對變形的形式，則為[5]

式中，y表示測區(qū)中心的橫坐標(biāo) (自然值)，H表示測區(qū)平均高程，y與H均以km作單位。利用式（2）可以計(jì)算出測區(qū)所在坐標(biāo)系統(tǒng)的長度綜合變形的相對值。

工程控制網(wǎng)是工程施工測量和大比例尺測圖的基礎(chǔ)，就其實(shí)用性而言“長度綜合變形愈小愈好”。通常情況下，工程控制網(wǎng)的坐標(biāo)系統(tǒng)要求遵循長度綜合變形不超過2.5cm/km(相對變形為1：40000)的原則[6]，與四等平面控制網(wǎng)邊長的精度相適應(yīng)。

1.2 相似四參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

工程坐標(biāo)系的建立有多種方法，具體選擇什么方法，需要綜合多種因素作出選擇，其最終的目的是減弱長度綜合變形的大小。

長度綜合變形在距離中央子午線近的區(qū)域越小，反之越大。在測區(qū)面積較大的情況下，邊緣長度綜合變形仍然不能滿足高精度施工放樣要求?？傊L度綜合變形不夠“均勻”，為了從整體上進(jìn)一步控制長度綜合變形，本文應(yīng)用四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行“二次變換”來控制長度綜合變形。

將一個(gè)平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)平面坐標(biāo)系下可采用平面相似四參數(shù)模型，式（3）是平面相似四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型[7]

式中，dx，dy為平移參數(shù)，α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，m為尺度參數(shù)。xB，yB為目標(biāo)坐標(biāo)系下的平面直角坐標(biāo)，xA，yA為原坐標(biāo)系下平面直角坐標(biāo)。

為了求解四個(gè)參數(shù)至少需要2個(gè)重合點(diǎn)，將式（3）寫觀測方程的形式

經(jīng)最小二乘求得四個(gè)參數(shù)dx,dy,u,w，再由式（5）求轉(zhuǎn)換角a，進(jìn)一步求解出尺度參數(shù)m。

1.3 二次坐標(biāo)變換法

為了從整體上控制長度綜合變形，選用四參數(shù)模型進(jìn)行“二次坐標(biāo)變換”的方法從全局出發(fā)進(jìn)行坐標(biāo)變換。二次變換的計(jì)算步驟：

（1）首先由測區(qū)的GPS控制點(diǎn)或已有的國家等級控制點(diǎn)計(jì)算抵償高程面，計(jì)算公式

式中，ym是測區(qū)中心的橫坐標(biāo)，100 km，Hm和H抵，m。

（2）確定抵償面位置后，在測區(qū)中均勻選取2個(gè)以上的控制點(diǎn)，將接近測區(qū)中心的一個(gè)作為“原點(diǎn)”，使它保持國家統(tǒng)一坐標(biāo)值(x0，y0)不變，而把所選擇的其他控制點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)換算到相應(yīng)的抵償高程面上。換算公式為

（3）在步驟（2）中選擇的控制點(diǎn)既有國家控制點(diǎn)坐標(biāo)值，也有抵償面上的坐標(biāo)值，這些點(diǎn)作為重合點(diǎn)應(yīng)用四參數(shù)模型求轉(zhuǎn)換參數(shù)。

（4）將測區(qū)內(nèi)所有控制點(diǎn)利用已計(jì)算出的四參數(shù)轉(zhuǎn)換到抵償高程面上。具體的計(jì)算流程見圖1。

圖1二次變換計(jì)算流程

2 實(shí)驗(yàn)分析

以某大水網(wǎng)輸水工程坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為例，用GPS實(shí)測了11個(gè)控制點(diǎn)，分布見圖2。測區(qū)平均高為1300 m，中央子午線為111°，將GPS大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為3°帶高斯平面坐標(biāo)，結(jié)果為表1（表中數(shù)據(jù)已經(jīng)過處理）。

表1 高斯平面坐標(biāo)

圖2 控制點(diǎn)分布圖

測區(qū)中心的橫坐標(biāo)y=120 km，由式（6）計(jì)算得抵償高程面為H抵=170 m。由圖2可知，15號點(diǎn)基本位于測區(qū)中心，因此選15號點(diǎn)作為原點(diǎn)，保持它在高斯平面上的坐標(biāo)值(x0，y0)不變，選擇其中4個(gè)點(diǎn)（2、17、13、22）按式（7）計(jì)算各點(diǎn)在抵償高程面上的坐標(biāo)，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 抵償高程面上的坐標(biāo)

在高斯平面坐標(biāo)系和具有抵償投影面的高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系中有4個(gè)重合點(diǎn)，計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四參數(shù)（dx=-0.576m,dy=-3.231m,a=-0.76′，m=1.000027）。然后利用四參數(shù)模型轉(zhuǎn)換其他點(diǎn)坐標(biāo)上，結(jié)果見表3。

表3 二次變換后坐標(biāo)

為了驗(yàn)證“二次變換”的可行性，實(shí)測了測區(qū)邊緣的兩條邊長進(jìn)行驗(yàn)證，即已知2號點(diǎn)到5號點(diǎn)、13號點(diǎn)到16號點(diǎn)兩條邊的實(shí)測長度，分別計(jì)算其在經(jīng)過二次變換后的抵償高程面上的長度S1和高斯平面坐標(biāo)系下的長度S2及相對變形，計(jì)算結(jié)果如表4。從表中的結(jié)果可以看出，經(jīng)過二次變換后的坐標(biāo)反算距離與實(shí)測距離接近，其長度綜合變形小于2.5cm/km的要求。

表4 長度變形對比

3 結(jié)論

通過變更投影面來抵償長度綜合變形將測區(qū)內(nèi)的控制點(diǎn)成果投影到抵償面上，該方法換算簡便、概念直觀，而且所得新坐標(biāo)與原國家坐標(biāo)系坐標(biāo)十分接近，利于測區(qū)內(nèi)外間的聯(lián)系。然而由于受地形、測區(qū)控制點(diǎn)分布及測區(qū)面積大小的影響，測區(qū)內(nèi)的長度綜合變形并不“均勻”，在邊界上長度變形甚至超限。為解決這一問題，本文提出了利用平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行坐標(biāo)的二次變換，達(dá)到從整體上控制長度綜合變形的目的。

四參數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要提供當(dāng)?shù)貦E球和地圖通用模型就可利用最少的點(diǎn)計(jì)算出轉(zhuǎn)換參數(shù)。而且在利用這種方法進(jìn)行平面點(diǎn)位轉(zhuǎn)換時(shí)，點(diǎn)位高程和平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換分開進(jìn)行，高程誤差不會傳播給平面坐標(biāo)，而平面位置的誤差也不會影響到高程的轉(zhuǎn)換精度[8]。另外，為了實(shí)現(xiàn)一測多用，應(yīng)用四參數(shù)模型將獨(dú)立坐標(biāo)系下的成果轉(zhuǎn)換到國家坐標(biāo)系中。

[1]陳順寶，任建春，亓月，等.抵償任意帶高斯投影平面坐標(biāo)系選擇的研究[J].測繪通報(bào)，2005(07)：21-23.

[2]陸鵬程,李全海，朱丹.鐵路獨(dú)立坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[J].測繪科學(xué),2012,37(1):20-22.

[3]劉傳志.山區(qū)公路測設(shè)長度綜合變形問題的研究[J].測繪工程,2007,16(4):60-62.

[4]秦菊芳，胡有云，等.高等級公路測設(shè)綜合變形問題的研究[J].測繪通報(bào)，2002(9)：28-30.

[5]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2006.

[6]中國有色金屬工業(yè)協(xié)會.GB50026—2007工程測量規(guī)范[S].北京：中國計(jì)劃出版社，2008.

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[8]楊國清，張予東.平面控制網(wǎng)四參數(shù)法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與殘差內(nèi)插[J].測繪通報(bào),2010（11）:48-50.